高中數(shù)學(xué) 3.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-1

1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.掌握橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡(jiǎn)單問(wèn)題．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝____，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝____焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸是________，對(duì)稱(chēng)中心是________離心率一、選擇題1．橢圓25x2＋9y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A．5,3，eq\f(4,5)B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5)D．10,6，eq\f(3,5)2．焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m等于()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)4．如圖所示，A、B、C分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(－1＋\r(5),2)B．1－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D.eq\f(\r(2),2)5．若直線mx＋ny＝4與圓O：x2＋y2＝4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．至多一個(gè)B．2C．1D．06．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))題號(hào)123456答案二、填空題7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過(guò)點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為_(kāi)_____________．8．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率等于_____________________________________________．9．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題10.如圖，已知P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點(diǎn)，H是直線x＝－eq\f(a2,c)(c是橢圓的半焦距)與x軸的交點(diǎn)，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.11．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，橢圓的離心率等于eq\f(\r(2),2)，△AOF2的面積為2eq\r(2)，求橢圓的方程．能力提升12．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,3)13．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(－eq\r(3)，0)，且右頂點(diǎn)為D(2,0)．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．1．橢圓的范圍實(shí)質(zhì)就是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用．2．橢圓既是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形．橢圓的對(duì)稱(chēng)性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用．3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)量，通過(guò)解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．1．2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)知識(shí)梳理焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2eq\r(a2－b2)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)，0<e<1作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A3.B4．A[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝eq\f(c,a)，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).]5．B[∵eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴eq\r(m2＋n2)<2.∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的內(nèi)部，∴過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有兩個(gè)交點(diǎn)．]6．C[∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).]7.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，將點(diǎn)(－5,4)代入得eq\f(25,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8.eq\f(2\r(5),5)解析由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，所以b＝1，c＝2，從而a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).9．2解析由題意可知，圓心O到直線mx＋ny＝4的距離大于半徑，即得m2＋n2<4，所以點(diǎn)M(m，n)在圓O內(nèi)，而圓O是以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓，故點(diǎn)(m，n)在橢圓內(nèi)，因此過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓必有2個(gè)交點(diǎn)．10．解依題意知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)．設(shè)P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程，得yP＝eq\f(b2,a).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即eq\f(b－0,0＋\f(a2,c))＝eq\f(\f(b2,a),c).∴ab＝c2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，∴e2＝eq\f(a2－c2,c2)＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝eq\r(\f(\r(5)－1,2)).11．解∵eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，∴AF2⊥F1F2，因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，則b2＝eq\f(1,2)a2，設(shè)A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入橢圓方程得eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴y＝eq\f(b2,a)，∵△AOF2的面積為2eq\r(2)，∴S△AOF2＝eq\f(1,2)x×y＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)c·eq\f(b2,a)＝2eq\r(2)，∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴b2＝8，∴a2＝2b2＝16，故橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.12．B[由題意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．]13．解(1)∵a＝2，c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，由中點(diǎn)坐