人教版八年級數(shù)學(xué) 13.1軸對稱（學(xué)習(xí)、上課課件）

13．1軸對稱第十三章軸對稱13．1.1軸對稱逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2軸對稱圖形軸對稱成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)1.定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱.直線兩旁的部分全等知識點(diǎn)軸對稱圖形1知1－講知1－講特別解讀軸對稱圖形的三個(gè)條件：1.一個(gè)整體圖形；2.一條直線——對稱軸；3.直線兩旁的部分完全重合.知1－講示圖(如圖13.1-1)知1－講2.常見的軸對稱圖形及其對稱軸名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸角1條角平分線所在的直線等腰三角形1條底邊上的高(底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線等邊三角形3條各邊上的高(各邊上的中線或各內(nèi)角平分線)所在的直線知1－講名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸等腰梯形1條過上、下底中點(diǎn)的直線長方形2條對邊中點(diǎn)的連線所在的直線正方形4條①對角線所在的直線；②過對邊中點(diǎn)的直線知1－講名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸正五邊形5條過頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的直線正六邊形6條①過相對的頂點(diǎn)的直線；②過相對邊中點(diǎn)的直線圓無數(shù)條過圓心的直線知1－講特別提醒：正n

邊形都是軸對稱圖形，有n

條對稱軸.知1－講方法點(diǎn)撥判斷軸對稱圖形的方法：根據(jù)圖形的特征，如果能找到一條直線，沿著這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，即可確定這個(gè)圖形是軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形.知1－講[中考·蘭州]下列圖形(如圖13.1-2)：其中軸對稱圖形的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.2D.1例1知1－練解題秘方：根據(jù)軸對稱圖形的定義識別.解：第一、二、四個(gè)圖形，可找到一條直線，沿其折疊后直線兩旁的部分能夠互相重合，因此都是軸對稱圖形；第三個(gè)圖形找不到這樣的直線，因此不是軸對稱圖形.故軸對稱圖形的個(gè)數(shù)是3.答案：B知1－練1-1.[中考·連云港]在美術(shù)字中，有些漢字可以看成是軸對稱圖形．下列漢字中，是軸對稱圖形的是()C知1－練1-2.[中考·眉山]下列英文字母為軸對稱圖形的是()A．WB．LC．SD．QA知1－練1.定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn).這兩個(gè)圖形全等知識點(diǎn)軸對稱2知2－講特別解讀軸對稱的三個(gè)條件：1.有兩個(gè)圖形；2.存在一條直線；3.一個(gè)圖形沿著這條直線折疊后與另一個(gè)圖形重合．知2－講示圖(如圖13.1-3)知2－講2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱軸對稱軸對稱圖形區(qū)別對象不同兩個(gè)圖形一個(gè)圖形意義不同兩個(gè)圖形的特殊位置關(guān)系一個(gè)具有特殊形狀的圖形對稱點(diǎn)位置不同對稱點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上對稱點(diǎn)在同一個(gè)圖形上知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形區(qū)別對稱軸位置不同兩個(gè)圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點(diǎn))軸對稱圖形的對稱軸一定經(jīng)過這個(gè)圖形的內(nèi)部對稱軸數(shù)量不同只有一條對稱軸有一條或多條對稱軸知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形聯(lián)系(1)定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊；(2)把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對稱圖形.把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條對稱軸對稱知2－講拓展延伸：(1)軸對稱或軸對稱圖形上的每對對稱點(diǎn)到對稱軸的距離分別相等；(2)軸對稱或軸對稱圖形上的對應(yīng)線段或其延長線若相交，則交點(diǎn)必在對稱軸上.知2－講特別解讀軸對稱的兩個(gè)特性：1.成軸對稱的兩個(gè)圖形全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定成軸對稱；2.軸對稱是圖形的一種全等變換.知2－講如圖13.1-4的四組圖形中，成軸對稱的有()A.4組B.3組C.2組D.1組例2知2－練解題秘方：根據(jù)軸對稱的定義，沿著某條直線折疊，直線兩旁的兩個(gè)圖形能完全重合，即成軸對稱.解：根據(jù)軸對稱的定義，可以判斷只有④中的兩個(gè)圖形沿著某一條直線折疊后，兩個(gè)圖形能夠重合.答案：D方法點(diǎn)撥：反面觀察法，即從紙的反面觀察圖形，若觀察到的和正面一樣，就是成軸對稱.知2－練2-1.[模擬·武漢江岸區(qū)]下列四個(gè)圖案中，左右兩個(gè)圖形成軸對稱的是()D知2－練[情境題生活應(yīng)用]一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖13.1-5所示，根據(jù)所學(xué)知識，你能確定該車的車牌號碼嗎？例3知2－練解題秘方：根據(jù)水中倒影與實(shí)際車牌號碼上、下對稱的特點(diǎn)求解.方法點(diǎn)撥：解決從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數(shù)字)問題，我們可以把從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數(shù)字)寫在紙上，把紙面翻過來，從紙的背面即可看到實(shí)際中的車牌號(或數(shù)字).解：車牌號碼為MT7936.知2－練3-1.小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖，則實(shí)際時(shí)間是()A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01C知2－練1.成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，如圖13.1-6所示.特別地：成軸對稱的兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段所在直線平行或者重合或者相交于某一點(diǎn)，且該點(diǎn)一定在對稱軸上.知識點(diǎn)成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)3知3－講2.經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知3－講3.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，如圖13.1-7所示.知3－講特別解讀1.軸對稱圖形或成軸對稱的兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.2.軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分全等，并且這兩部分關(guān)于對稱軸成軸對稱；成軸對稱的兩個(gè)圖形也全等.知3－講[新考向知識情境化]如圖13.1-8所示的飛機(jī)模型是軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸.請解決下列問題：(1)∠3和∠4有什么關(guān)系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關(guān)系？(3)寫出圖中其他相等關(guān)系(不少于三對)．例4解題秘方：緊扣軸對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行說明.知3－講(1)∠3和∠4有什么關(guān)系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關(guān)系？(3)寫出圖中其他相等關(guān)系(不少于三對)．解：∠3=∠4，AB=A′B′．直線l是DD′的垂直平分線.AD=A′D′，∠1=∠2，DC=D′C′．(答案不唯一)知3－講4-1.如圖，△ABC

和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論：①△

ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③

l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點(diǎn)不一定在l上.其中正確的有()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)B知3－講如圖13.1-9，△

ABC和△DEF關(guān)于直線l

對稱，已知∠A=115°，∠E=42°，DF=8．求∠F

的度數(shù)和AC

的長．例5解題秘方：緊扣成軸對稱的性質(zhì)確定對應(yīng)元素進(jìn)行計(jì)算.知3－講解：∵△ABC

和△DEF關(guān)于直線l

對稱，∴△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A，AC=DF.∵∠A=115°，DF=8，∴∠D=115°，AC=8.在△DEF中，∵∠D=115°，∠E=42°，∴∠F=180°－∠D－∠E=23°知3－講5-1.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠

BAD=150

°，∠B=40°，則∠ACD的度數(shù)是_______

.65°知3－講軸對稱軸對稱圖形軸對稱任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線軸對稱13．1軸對稱第十三章軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的判定尺規(guī)作圖——作垂線、作垂直平分線畫對稱軸1.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上.結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.2.幾何語言：如圖13.1-19，∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC.兩點(diǎn)之間的距離知識點(diǎn)線段的垂直平分線的性質(zhì)1知1－講特別解讀用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，它為證明線段相等提供了新方法.知1－講[中考·邵陽]如圖13.1-20，在△ABC中，AB

的垂直平分線分別交AB，BC

于點(diǎn)D，E，連接AE，若AE=4，EC=2，則BC

的長是()A.2B.4C.6D.8例1知1－練解題秘方：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)將要求的線段向已知條件轉(zhuǎn)化.解：∵DE是AB

的垂直平分線，AE=4，∴EB=EA=4.∴BC=EB＋EC=4＋2=6.答案：C知1－練1-1.如圖，AB

所在直線是CD的垂直平分線，若AC=2.3cm，BD=1.6cm，則四邊形ACBD

的周長是()A.3.9cmB.7.8cmC.3.2cmD.4.6cmB知1－練1.判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.條件：點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.結(jié)論：點(diǎn)在線段的垂直平分線上.2.幾何語言：如圖13.1-21，∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC

的垂直平分線上.知識點(diǎn)線段的垂直平分線的判定2知2－講特別解讀1.證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，證平分；二是取中點(diǎn)，證垂直.2.證明線段的垂直平分線，必須證明兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上.知2－講3.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.拓寬視野該點(diǎn)的位置與三角形的形狀有關(guān)，若是直角三角形，該點(diǎn)在斜邊的中點(diǎn)處；若是銳角三角形，該點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若是鈍角三角形，該點(diǎn)在三角形外部.知2－講如圖13.1-22，P

為∠MON

平分線上一點(diǎn)，PA⊥OM于A，PB⊥ON

于B，求證：OP

垂直平分AB．例2知2－練思路引導(dǎo)：知2－練證法一(判定定理法)：∵P

為∠MON

平分線上一點(diǎn)，∴∠AOP=∠BOP.∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∴△AOP≌△BOP(AAS)，點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上.∴OA=OB.∴點(diǎn)O

在AB

的垂直平分線上.∴OP

垂直平分AB.知2－練證法二(定義法)：∵P

為∠MON

平分線上一點(diǎn)，PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠AOP=∠BOP，PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△PAO

和Rt△PBO

中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴OA=OB.設(shè)OP與AB

相交于點(diǎn)C，∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS).∴∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC.∴OP⊥AB.∴OP

垂直平分AB.OP=OP，PA=PB，知2－練2-1.如圖，AD為△

ABC的角平分線，AE=AF.求證：線段AD

所在直線是線段EF

的垂直平分線．知2－練知2－練知2－練又∵AE＝AF，∴點(diǎn)A在線段EF的垂直平分線上．∴線段AD所在直線是線段EF的垂直平分線．知2－練如圖13.1-23，OE，OF

所在直線分別是△

ABC中AB，AC

邊的垂直平分線，∠OBC，∠

OCB的平分線相交于點(diǎn)I，試判斷OI與BC的位置關(guān)系，并給予證明.例3知2－練解題秘方：根據(jù)“三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，三個(gè)內(nèi)角的平分線也相交于一點(diǎn)”這兩條性質(zhì)進(jìn)行證明.知2－練解：OI⊥BC.證明如下：如圖13.1-23，延長OI

交BC于點(diǎn)M.∵OE垂直平分AB，OF

垂直平分AC，∴點(diǎn)O

在BC

的垂直平分線上.∴OB=OC.又∵BI

平分∠OBC，CI

平分∠OCB，∴OI

平分∠BOC，即∠BOI=∠COI.知2－練在△BOM

和△

COM中，∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO=180°，∴∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC.OB=OC，∠BOM=∠COM，OM=OM，知2－練3-1.如圖，點(diǎn)P

為△

ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠PAC=20°，∠

PCB=30°.知2－練(1)求∠PAB的度數(shù)；知2－練(2)直接寫出∠APB與∠ACB

的數(shù)量關(guān)系：_________________

.∠APB＝2∠ACB知2－練1.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線：如圖13.1-24，已知直線AB

和AB

外一點(diǎn)C，用尺規(guī)過點(diǎn)C

作AB

的垂線.知識點(diǎn)尺規(guī)作圖——作垂線、作垂直平分線3知3－講作法：第一步：任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K

和點(diǎn)C

在AB

的兩旁；特別提醒任取的一點(diǎn)必須與已知點(diǎn)在直線的兩側(cè)，目的是使畫的弧與已知直線有交點(diǎn)知3－講

確保CD=CE確保FD=FE知3－講第四步：作直線CF，如圖13.1-25．→要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論直線CF

即為所求．要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論知3－講2.作線段的垂直平分線已知：如圖13.1-26，線段AB．求作：用尺規(guī)作線段AB

的垂直平分線CD．知3－講

知3－講[中考·威海]過直線l外一點(diǎn)P

作直線l

的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖(如圖13.1-28)錯(cuò)誤的是()例4知3－練解題秘方：根據(jù)作圖痕跡結(jié)合線段垂直平分線的作法進(jìn)行分析判斷．知3－練解：選項(xiàng)A，如圖13.1-29，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=PB，∴點(diǎn)P

在線段AB

的垂直平分線上.∵QA=QB，∴點(diǎn)Q

在線段AB

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項(xiàng)不符合題意.知3－練選項(xiàng)B，如圖13.1-30，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴點(diǎn)A

在線段PQ

的垂直平分線上.∵PB=QB，∴點(diǎn)B

在線段PQ

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項(xiàng)不符合題意.選項(xiàng)C，無法證明PQ⊥l，故此選項(xiàng)符合題意.知3－練選項(xiàng)D，如圖13.1-31，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴點(diǎn)A

在線段PQ

的垂直平分線上.∵PB=QB，∴點(diǎn)B在線段PQ

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項(xiàng)不符合題意.答案：C知3－練

知3－練作直線MN

交AC

于點(diǎn)D，交BC

于點(diǎn)E，連接AE，則下列結(jié)論不一定正確的是()A.AB=AEB.AD=CDC.AE=CED.∠ADE=∠CDEA知3－練4-2.[中考·鹽城]如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．知3－練(1)求證：AC=AD;知3－練(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)A

作AF⊥CD，垂足為F(不寫作法，保留作圖痕跡).解：如圖，線段AF即為所求．知3－練1.畫對稱軸的依據(jù)：成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)，即對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.2.畫對稱軸的步驟(1)