人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 14.3因式分解（學(xué)習(xí)、上課課件）

14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.1提公因式法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知識(shí)點(diǎn)正方形的定義知1－講11.

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.積中各因式都是整式，且相同因式的積要寫成冪的形式知1－講2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形.即：多項(xiàng)式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果的正確性.因式分解整式乘法知1－講特別解讀1.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式的因式不能再分解為止.知1－練例1

知1－練解題秘方：緊扣因式分解的定義進(jìn)行識(shí)別.答案：D

知1－練1－1.[中考·常德]下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是(

)A.a(m＋n)＝am＋anB.a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C.10x2－5x＝5x(2x－1)D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6xC知1－練

例2知1－練解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.答案：B解：利用整式的乘法法則將各選項(xiàng)中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項(xiàng)B.2－1.[中考·永州]下列因式分解正確的是()A.ax＋ay＝a(x＋y)＋1B.3a＋3b＝3(a＋b)C.a2＋4a＋4＝(a＋4)2D.a2＋b＝a(a＋b)B知1－練知1－練例3仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知把二次三項(xiàng)式x2－4x＋m分解因式后有一個(gè)因式是x＋3，求其另一個(gè)因式及m的值.知1－練

知1－練解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出，并與已知多項(xiàng)式比較，從而解決問題.知1－練問題：(1)若二次三項(xiàng)式x2－5x＋6可分解為(x－2)(x＋a)，則a＝_________；(2)若二次三項(xiàng)式2x2＋bx－5可分解為(2x－1)(x＋5)，則b＝________；－39知1－練(3)仿照以上方法解答下面的問題：已知把二次三項(xiàng)式2x2＋5x－k分解因式后有一個(gè)因式為2x－3，求其另一個(gè)因式及k的值.知1－練

展開后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等知1－練3－1.[中考·濱州]把多項(xiàng)式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是()A.

a＝2，b＝3B.

a＝－2，b＝－3C.

a＝－2，b＝3D.

a＝2，b＝－3B3－2.[中考·菏澤]若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)對(duì)x恒成立，則n＝_________.4知1－練3－3.已知二次三項(xiàng)式2x2＋3x－k分解因式后有一個(gè)因式是x－5，求另一個(gè)因式及k的值.知1－練知2－講知識(shí)點(diǎn)公因式21.

定義：一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.知2－講特別解讀1.公因式必須是多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式.只在某個(gè)或某些項(xiàng)中含有而其他項(xiàng)中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.公因式可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式的冪的形式.3.要善于發(fā)現(xiàn)隱蔽的公因式，如(a－b)與(b－a)是一對(duì)相反數(shù)，它們可以變形為相同的因式.知2－講2.確定公因式需五看看系數(shù)：若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；看字母：公因式的字母是各項(xiàng)相同的字母；看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；知2－講看整體：若多項(xiàng)式的各項(xiàng)中含有的相同因式是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；看首項(xiàng)符號(hào)：若多項(xiàng)式中首項(xiàng)符號(hào)是“－”號(hào)，則公因式的符號(hào)一般為負(fù).小括號(hào)不要輕易地去掉知2－練例4指出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練解：(1)中各項(xiàng)的公因式為3y；(2)中各項(xiàng)的公因式為4xy2；(3)中各項(xiàng)的公因式為(x－y)2；(4)中各項(xiàng)的公因式為－9a2b.知2－練4－1.多項(xiàng)式8a3b2＋12ab3c各項(xiàng)的公因式是()A.abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC知2－練4－2.

[中考·永州]2a2與4ab的公因式為_______.4－3.4x(m－n)＋8y(n－m)2各項(xiàng)的公因式是________.2a4(m－n)知3－講知識(shí)點(diǎn)用提公因式法分解因式31.定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－講2.

提公因式法的一般步驟知3－講特別解讀1.提公因式法實(shí)質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積的形式，其中的一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是多項(xiàng)式除以這個(gè)公因式所得的商.知3－講特別提醒：(1)多項(xiàng)式第一項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一般提出負(fù)號(hào)，且各項(xiàng)都變號(hào)；(2)公因式的提取要徹底，分解因式的另一個(gè)因式中，不能有相同項(xiàng)和公因式.知3－練例5將下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.解題秘方：(1)(2)緊扣提公因式法的步驟分解因式，(3)(4)根據(jù)(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n－1＝－(b－a)2n－1(n為正整數(shù))進(jìn)行變形后再分解.知3－練(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1).確定公因式首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，一般提出負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)4ab與公因式相同，提取公因式后，此項(xiàng)為“1”，此處容易漏掉“1”這一項(xiàng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.知3－練解：3a(a－2b)＋6b(2b－a)＝3(a－2b)(a－2b)＝3(a－2b)2；利用互為相反數(shù)湊公因式看作一個(gè)整體寫成冪的形式5m(y－x)2－10(x－y)3＝5m(x－y)2－10(x－y)3＝5(x－y)2[m－2(x－y)]＝5(x－y)2(m－2x＋2y).知3－練解法提醒：當(dāng)各項(xiàng)含有相同(或互為相反數(shù))的因式時(shí)，應(yīng)把它作為一個(gè)整體看成公因式中的因式，相同的直接提，互為相反數(shù)的變成相同的再提.知3－練5－1.下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.

x2＋y2 D.

x2－xy＋y2B知3－練

D知3－練5－3.將多項(xiàng)式(m－n)3－m(m－n)2－n(n－m)2因式分解，結(jié)果為(

)A.2(m－n)3B.2m(m－n)2C.－2n(m－n)2D.2(n－m)3C知3－練5－4.分解因式：(1)3x3－9x2－3x；(2)－15a－10ab＋5abc；解：原式＝3x·x2－3x·3x－3x·1＝3x(x2－3x－1)；原式＝－(15a＋10ab－5abc)＝－(5a·3＋5a·2b－5a·bc)＝－5a(3＋2b－bc)；知3－練(3)x(x－y)－y(y－x)；(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋2b)2.提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆變形檢驗(yàn)整式乘法14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.2公式法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式知識(shí)點(diǎn)用平方差公式分解因式知1－講11.平方差公式法：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式知1－講2.平方差公式的特點(diǎn)(1)等號(hào)的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式，各項(xiàng)都是平方的形式且符號(hào)相反；(2)等號(hào)的右邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，其中一個(gè)二項(xiàng)式是這兩個(gè)數(shù)的和，另一個(gè)二項(xiàng)式是這兩個(gè)數(shù)的差.知1－講3.運(yùn)用平方差公式分解因式的步驟一判：判斷是不是平方差，若負(fù)平方項(xiàng)在前面，則利用加法的交換律把負(fù)平方項(xiàng)交換放在后面；二定：確定公式中的a和b，除a和b是單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母外，其余情況都必須用括號(hào)括起來(lái)，表示一個(gè)整體；三套：套用平方差公式進(jìn)行分解；四整理：將每個(gè)因式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)化成最簡(jiǎn)形式.知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積的條件后，結(jié)果寫成這兩個(gè)數(shù)的平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項(xiàng)式，可以分解成兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差的形式.3.能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：系數(shù)是平方，指數(shù)要成雙，減號(hào)在中央.知1－練例1

解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用平方差公式分解因式.知1－練

解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；

看成一個(gè)整體要分解到不能再分解為止知1－練解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.分別看成一個(gè)整體知1－練1－1.下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是(

)A.a2＋b2 B.2a－b2C.a2－b2 D.－a2－b2C知1－練1－2.

[期末·重慶合川區(qū)]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝_______________.(3m－n)(m－3n)知1－練1－3.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；知1－練(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知2－講知識(shí)點(diǎn)用完全平方公式分解因式21.完全平方式：形如a2±2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式.能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：首平方，尾平方，積的2倍在中央知2－講完全平方式的條件：(1)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式；(2)首末兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)(或式子)的平方且符號(hào)相同，中間項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式子)的積的2倍，符號(hào)可以是“＋”，也可以是“－”.知2－講2.完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－講3.

公式法分解因式如果把乘法公式的等號(hào)兩邊交換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用這些公式把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.包括用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2

分解因式知2－講4.因式分解的一般步驟(1)當(dāng)多項(xiàng)式有公因式時(shí)，先提取公因式；當(dāng)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式時(shí)(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當(dāng)不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時(shí)，可根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當(dāng)乘積中每一個(gè)因式都不能再分解時(shí)，因式分解就結(jié)束了.知2－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項(xiàng)的符號(hào)確定，乘積項(xiàng)的符號(hào)可以是“＋”，也可以是“－”，而兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知2－練例2已知9a2＋ka＋16是一個(gè)完全平方式，則k的值是__________.解題秘方：根據(jù)平方項(xiàng)確定乘積項(xiàng)，進(jìn)而確定字母的值.解：∵9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一個(gè)完全平方式，∴ka＝±2×3a·4＝±24a.∴

k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式±24知2－練2－1.若x2＋2(m－3)x＋16是關(guān)于x的完全平方式，則m＝________．－1或7知2－練

解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.例3(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－練解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2；(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

知2－練完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.

知2－練

A知2－練3－2.多項(xiàng)式x2－4x＋4因式分解的結(jié)果是(

)A.x(x－4)＋4B.(x＋2)(x－2)C.(x＋2)2D.(x－2)2D知2－練3－3.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知2－練分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解題秘方：先觀察有沒有公因式，若有，要先提取公因式，然后通過(guò)觀察項(xiàng)數(shù)確定能用哪個(gè)公式分解因式.例4知2－練(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：

－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2)