華師版八年級(jí)數(shù)學(xué) 13.3等腰三角形（學(xué)習(xí)、上課課件）

13.3等腰三角形第13章全等三角形13.3.1等腰三角形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的定義等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的定義及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的定義知1－講11.定義有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.幾何語(yǔ)言：如圖13.3-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形.2.相關(guān)概念等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.知1－講特別提醒1.確定等腰三角形的兩條腰時(shí)，應(yīng)找三角形中相等的兩邊，腰與三角形本身的位置無(wú)關(guān).2.等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角，但底角只能是銳角.知1－練例1若某個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和6，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng).解題秘方：根據(jù)等腰三角形的定義確定腰和底邊的長(zhǎng)，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷并計(jì)算.知1－練解：∵等腰三角形的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)不確定，∴需分兩種情況討論.當(dāng)4為腰長(zhǎng)時(shí)，該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，4，6，∵4＋4>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長(zhǎng)＝4＋4＋6＝14；當(dāng)6為腰長(zhǎng)時(shí)，該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，6，6，∵4＋6>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長(zhǎng)＝6＋6＋4＝16.綜上可知，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為14或16.知1－練特別提醒：等腰三角形的邊分腰和底邊，若沒(méi)有說(shuō)明，則必須分類討論，同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)系.知1－練1-1.[中考·河北]四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為()A.2B.3C.4D.5B知2－講知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)21.性質(zhì)1

等腰三角形的兩底角相等.(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”)幾何語(yǔ)言：如圖13.3-2，在△ABC中，∵

AB＝AC，∴∠B＝∠C.知2－講特別提醒●適用條件：必須在同一個(gè)三角形中.●“等邊對(duì)等角”是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便.知2－講2.

性質(zhì)2

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重合.(簡(jiǎn)稱“三線合一”)特別提醒●適用條件：1.必須是等腰三角形；2.必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才互相重合.●作用：是證明線段相等、角相等、線段互相垂直的重要依據(jù).知2－講幾何語(yǔ)言：如圖13.3-2，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴

AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．知2－講3.對(duì)稱性等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸．知2－練如圖13.3-3，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.例2解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.知2－練(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度數(shù)；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.

知2－練(3)若BC＝3cm，求BD的長(zhǎng).

知2－練2-1.[中考·益陽(yáng)]如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE＝GF，∠1＝122°.求∠2的度數(shù)．知2－練解：∵AB∥CD，∠1＝122°，∴∠DFE＝∠1＝122°，∴∠EFG＝180°－∠DFE＝58°.∵GE＝GF，∴∠FEG＝∠EFG＝58°，∴∠2＝180°－∠FEG－∠EFG＝64°.知2－練如圖13.3-4，已知AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.解題秘方：證明線段相等，可證明其所在的三角形全等；條件中出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，也可利用等腰三角形的性質(zhì)證明.例3知2－練證明：方法一∵

AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE(A.S.A.).∴BD＝CE.方法二如圖13.3-4，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.∵AD＝AE，∴DF＝EF.又∵AB＝AC，∴BF＝CF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.知2－練3-1.[中考·淄博]如圖，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D，E分別在腰AC，AB上，且BE＝CD，連結(jié)BD，CE．求證：BD＝CE．知2－練知3－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的定義及性質(zhì)31.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2.性質(zhì)

(1)等邊三角形的三條邊都相等.(2)等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線.(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等.知3－講特別提醒等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：任意兩邊都可以作為腰；任意一個(gè)角都可以作為頂角.知3－練如圖13.3-5，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是三邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，請(qǐng)計(jì)算△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).例4解題秘方：緊扣等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°求解.知3－練解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°，同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°，∴△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.知3－練4-1.如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為(

)A.80°B.70°C.60°D.50°A知3－練如圖13.3-6，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上.若DE＝DB，求CE的長(zhǎng).例5知3－練解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化.知3－練

知3－練

知3－練5-1.[中考·益陽(yáng)]如圖，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE＝AD，則∠ADE＝_______°.75知3－練如圖13.3-7，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且AE＝CD，AD與BE相交于點(diǎn)F.例6解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等且為60°的性質(zhì)進(jìn)行解答.知3－練(1)求證：△ABE≌△CAD；

知3－練(2)求∠BFD的度數(shù).解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD＝∠DAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°.知3－練6-1.如圖，△ABC為等邊三角形，D為邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，連結(jié)AE，判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.知3－練解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(S.A.S.)．∴∠B＝∠EAC.又∵∠B＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形特殊性質(zhì)兩邊相等等邊對(duì)等角三線合一等邊三角形都具有三邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等特性13.3等腰三角形第13章全等三角形13.3.2等腰三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的判定等邊三角形的判定知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1－講11.

判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”).幾何語(yǔ)言：如圖13.3-17，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知1－講2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.不同點(diǎn)：性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對(duì)的角相等.判定：兩角相等→這兩角所對(duì)的邊相等.知1－講特別提醒等腰三角形的定義也是一種判定方法，判定定理就是轉(zhuǎn)化為定義再判斷，也是證明在同一個(gè)三角形中兩條線段相等的方法.知1－練例1如圖13.3-18，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，若AQ＝AR，則△ABC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.知1－練解題秘方：利用“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個(gè)內(nèi)角相等即可.知1－練解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB＝∠RPC＝90°.∴∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形.知1－練1-1.如圖，點(diǎn)E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G.求證：△ABC是等腰三角形.知1－練證明：∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF.

又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF，

∴△GDF≌△CEF(A.A.S.)．∴DG＝EC.∵BD＝CE，∴BD＝DG.∴∠DGB＝∠B.∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB.

∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形．知2－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定21.

判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖13.3-19，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.知2－講2.

判定定理2

有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖13.3-19，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等邊三角形.知2－講3.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖三角形等邊三角形三角形等腰三角形等邊三角形知2－講特別提醒1.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，判定定理2都成立.2.等邊三角形的判定方法：(1)若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；(2)若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；(3)若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.知2－練如圖13.3-20，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形.例2知2－練解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過(guò)求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF

是等邊三角形.知2－練證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵CO，BO分別平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.由OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，易證△OGE≌△BGE，△OHF≌△CHF，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.知2－練∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝60°.∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF.∴△OEF是等邊三角形.知2－練教你一招：1.從角的角度證明三角形是等邊三角形，一是證明三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；二是求出三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)都是60°.2.在已知的等邊三角形內(nèi)部判定某個(gè)三角形是等邊三角形，原等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°，為求新三角形的內(nèi)角度數(shù)提供了條件.知2－練2-1.如圖，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CE＝CD，DB＝DE，∠E＝30°.求證：△ABC是等邊三角形．知2－練證明：∵DB＝DE,∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°.∴∠BCD＝∠CDE＋∠E＝60°.∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.

∴△ABC是等邊三角形．知2－練2-2.如圖，△ABC為等邊三角形，∠1＝∠2＝∠3.求證：△DEF是等邊三角形.知2－練證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC，