江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B.5 C. D.-5【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的定義干脆得解；【詳解】解：因復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部是，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.2.已知隨機(jī)變量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，則P(﹣2＜Z＜2)＝（）A.2a B.2a﹣1 C.1﹣2a D.2(1﹣a)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】∵隨機(jī)變量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3.若4名學(xué)生報(bào)名參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)愛(ài)好小組，每人選報(bào)1項(xiàng)，則不同的報(bào)名方式有（）A.34種 B.43種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分步計(jì)算原理，每個(gè)人選報(bào)一科，則每個(gè)人有3種報(bào)名方法，共有種方法.【詳解】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4人共有34種方法.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，考查了理解分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題目.4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，且E(X)＝2.5，則a﹣b＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分布列學(xué)問(wèn)以及期望列出方程求解即可.【詳解】由題意得：，解得，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與均值，考查了理解辨析和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題目.5.如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P為B1C1的中點(diǎn).則異面直線AC與BP所成的角為（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】取A1B1中點(diǎn)Q，可得∠BPQ就是異面直線AC與BP所成的角或補(bǔ)角，進(jìn)而可證明△BPQ是等邊三角形，從而求得.【詳解】A1B1中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ就是，異面直線AC與BP所成的角或補(bǔ)角，又∵為正四棱柱，且,為中點(diǎn)，∴兩兩垂直，全等，∴，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，即異面直線AC與BP所成的角為60°，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.6.甲、乙兩人投籃，投中概率分別為0.6，0.7，若兩人各投2次，則兩人投中次數(shù)不等的概率是（）A.0.6076 B.0.7516 C.0.3924 D.0.2484【答案】A【解析】【分析】先求出兩人投中次數(shù)相等的概率，再依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率公式可得兩人投中次數(shù)不相等的概率.【詳解】?jī)扇送吨写螖?shù)相等的概率P＝，故兩人投中次數(shù)不相等的概率為：1﹣0.3924＝0.6076.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)立事務(wù)的概率公式和獨(dú)立事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.7.4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，則恰有2個(gè)空盒的放法有（）A.144種 B.120種 C.84種 D.60種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，先選出兩個(gè)空盒，之后可以一個(gè)盒放1個(gè)，另一個(gè)盒放3個(gè)，還可以每盒2個(gè)，得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，可分兩種狀況，可得，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，在解題的過(guò)程中，留意分析清晰對(duì)應(yīng)的結(jié)果，屬于簡(jiǎn)潔題目.8.已知函數(shù)(aR)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(，) B.(，) C.(，) D.(，)【答案】C【解析】【分析】將有三個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三解，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，只需保證與圖象有三個(gè)交點(diǎn)即可.【詳解】若，則，令，則，當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在和上遞增，在上遞減，又，作出函數(shù)的圖像如圖所示：要使直線y＝a與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則a＞.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，難度較大.解答時(shí)留意參變分別思想的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值的問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解參數(shù)的取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.已知m，n是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，下列命題是真命題的有（）A.若m⊥，m⊥，則∥B.若m，n，m∥n，則∥C.若m，n是異面直線，m，m∥，n，n∥，則∥D.若⊥，⊥，則∥【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由垂直于同始終線的兩平面平行，可得若m⊥，m⊥，則∥，所以A正確；由兩條分別在不同平面的直線平行，不能說(shuō)明這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)誤；由兩條分別在不同平面的異面直線平行，可得這兩個(gè)平面平行，可得“若m，n是異面直線，m，m∥，n，n∥，則∥”，故C正確；由垂直于同一平面的兩平面不肯定平行，可得D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證實(shí)力.10.關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)排列與組合的計(jì)算公式一一驗(yàn)證選項(xiàng)正誤即可.【詳解】依據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的計(jì)算公式，可知A，B選項(xiàng)正確；，而，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合公式，屬于基礎(chǔ)題，解決此類(lèi)問(wèn)題也可利用特別值驗(yàn)證公式是否正確.11.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位安排利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周.則（）A.某學(xué)生從中選3門(mén)，共有30種選法B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C.課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D.課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最終一周，共有504種排法【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)排列組合的相鄰關(guān)系和不相鄰關(guān)系，以及有限制排列的關(guān)系，逐個(gè)分析選項(xiàng)即可.【詳解】6門(mén)中選3門(mén)共有種，故A錯(cuò)誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法，故B錯(cuò)誤；課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法，故C正確；課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最終一周，共有種排法，故D正確．故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的遞減區(qū)間是(，1) B.函數(shù)在(e，)上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最小值為1 D.若，則m＋n＞2【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算以及函數(shù)的定義域，然后依據(jù)的符號(hào)推斷原函數(shù)的單調(diào)性以及最值，可知ABC正誤，然后采納換元法，以及導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，可知D正誤，最終可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，由于函?shù)的定義域?yàn)?0，)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x(e，)時(shí)，，所以函數(shù)在(e，)上單調(diào)遞增，B正確；令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值為，故C正確；選項(xiàng)D，姑且令m＜n，由得，欲證m＋n＞2，只要證明，令，即成馬上可，令，所以當(dāng)時(shí)，，所以在遞增所以，故不等式成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟識(shí)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)換元法的運(yùn)用，使問(wèn)題便于計(jì)算，考查分析問(wèn)題實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.其中第16題共有2空，第一個(gè)空3分，其次個(gè)空2分；其余題均為一空，每空5分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知i為虛數(shù)單位，設(shè)，，若為實(shí)數(shù)，則m＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，然后利用復(fù)數(shù)的分類(lèi)，簡(jiǎn)潔計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，要使為實(shí)數(shù)，則，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi)以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查學(xué)問(wèn)的理解以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14.已知函＝tanx，那么＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)的解析式，計(jì)算即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，留意導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．15.若的二項(xiàng)綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則常數(shù)a的值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式和綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)列方程，解方程求得的值.【詳解】的第r＋1項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為，則r＝3，，解得a＝2.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.16.棱長(zhǎng)為12的正四面體ABCD與正三棱錐E—BCD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐E—BCD的體積為_(kāi)______，該正三棱錐內(nèi)切球的半徑為_(kāi)______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)，正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)，列出方程組，求得的值，利用體積公式，即可求得三棱錐的體積與表面積，再結(jié)合等體積法，即可求得內(nèi)切球的半徑，得到答案.【詳解】由棱長(zhǎng)為12的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上，所以多面體的外接球即為正四面體的外接球，且其外接球的直徑為，設(shè)，正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)x，則，解得，由題意得證四面體的高為，外接球的半徑為，設(shè)正三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為，所以,則正三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，可得正三棱錐的表面積為，體積為V＝，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由，解得.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)各種，以及正三棱錐內(nèi)切球的半徑的求法，三棱錐的體積的計(jì)算，其中解答中嫻熟應(yīng)用組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查空間想象實(shí)力，以及推理與計(jì)算實(shí)力.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.江蘇省新高考方案要求考生在物理、歷史科目中選擇一科，我市在對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生的選科意愿調(diào)查中，共調(diào)查了名學(xué)生，其中男、女生各人，男生中選歷史人，女生中選物理人.（1）請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（2）推斷性別與選科是否相關(guān).附：.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；（2）有的把握認(rèn)為，學(xué)生選科與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)可得出列聯(lián)表；（2）計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得列聯(lián)表如下表所示：選物理選歷史合計(jì)男生女生合計(jì)（2）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.，所以我們有的把握認(rèn)為，學(xué)生選科與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表的完善，同時(shí)也考查了利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知的綻開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14：3.（1）求正整數(shù)n；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先列出的第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之比為14：3求出的值；（2）將（1）中求出的值代入原式，依據(jù)其綻開(kāi)式的特點(diǎn)，代特值計(jì)算.【詳解】解：（1）由第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14∶3得，，所以，（舍）.（2）由得，，①當(dāng)時(shí)，代入①式得；因?yàn)?，所以，令得，，，所?【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題及利用賦值法求解項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)問(wèn)題，難度一般.解答時(shí)，留意項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)分、留意利用賦值法求解項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題.19.今年年初，我市某醫(yī)院安排從3名醫(yī)生、5名護(hù)士中隨機(jī)選派4人參與湖北新冠肺炎疫情狙擊戰(zhàn).（1）求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；（2）設(shè)選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為.【解析】【分析】（1）分別對(duì)“4人中有2名醫(yī)生2名護(hù)士”、“4人中有3名醫(yī)生1名護(hù)士”記事務(wù)，然后依據(jù)互斥事務(wù)以及組合學(xué)問(wèn)，進(jìn)行求解可得結(jié)果.（2）列出的全部可能結(jié)果，并計(jì)算相應(yīng)概率，然后列出分布列，最終依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）記選派的4人中至少有2名醫(yī)生為事務(wù)A，記4人中有2名醫(yī)生2名護(hù)士為事務(wù)，記4人中有3名醫(yī)生1名護(hù)士為事務(wù)，且與互斥.則當(dāng)事務(wù)A發(fā)生時(shí)，有或發(fā)生，所以有.又；；所以.故選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率為.（2）由題意選派的醫(yī)生人數(shù)可以是0，1，2，3.所以；；；.所以，隨機(jī)變量的概率分布表為0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為=.故的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事務(wù)的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，考查分析實(shí)力以及運(yùn)算實(shí)力，屬中檔題.20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與直線6x﹣3y﹣7＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）求在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假設(shè)切點(diǎn)，計(jì)算，然后依據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，計(jì)算可得，最終可得（2）計(jì)算，然后分，進(jìn)行探討，依據(jù)符號(hào)推斷原函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最大值即可.【詳解】解：（1）設(shè)切點(diǎn)，因切線方程為，所以，①又，②由①得③，將③代入②得，，得或，當(dāng)時(shí)，代入③得；當(dāng)時(shí)，代入③得.因，所以實(shí)數(shù)=1.（2）因，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上有【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的推斷常采納分類(lèi)探討的方法，重在對(duì)分析問(wèn)題實(shí)力的考查，屬難題.21.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，A1B＝A1A＝AC＝2，AB＝.（1）求證：平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）求二面角B1—A1B—C大小的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正三角形證明，再利用勾股定理證明，可證明平面，即可證明平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦即可.【詳解】（1）取