專題04 一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程及其應(yīng)用（解析版）

專題04一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程及其應(yīng)用目錄熱點題型歸納 1題型01一元一次方程的解法 1題型02二元一次方程（組）的解法 4題型03一次方程（組）的實際應(yīng)用 9題型04分式方程及其解法 16題型05分式方程的實際應(yīng)用 21中考練場 26 題型01一元一次方程的解法【解題策略】一元一次方程概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù)，且a≠0).解法：解法依據(jù)是等式的基本性質(zhì).性質(zhì)①：若a=b，則a±m(xù)=b±m(xù)；性質(zhì)②：若a=b，則am=bm；若a=b，則(d≠0).解一元一次方程的步驟去分母:在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）去括號:去括號法則（可先分配再去括號）移項:把未知項移到議程的一邊（左邊），常數(shù)項移到另一邊（右邊）合并同類項:分別將未知項的系數(shù)相加、常數(shù)項相加系數(shù)化為“1”:在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（即方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）6、檢根x=a:方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計算出結(jié)果。①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解。注：當(dāng)題目要求時，此步驟必須表達(dá)出來。在解方程過程中，各部分都存在容易出錯的一些“小陷阱”，現(xiàn)將各步驟的注意事項總結(jié)如下：【易錯警示】在解方程過程中，各部分都存在容易出錯的一些“小陷阱”，現(xiàn)將各步驟的注意事項總結(jié)如下：去分母①不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；②分子是多項式的一定要先用括號括起來去括號括號外是負(fù)因數(shù)時，一是要注意變號，二是要注意各項都不要漏乘公因數(shù)移項移項要變號合并同類項單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”系數(shù)化為1不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）【典例分析】例1.（2023·湖南）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為(

)A.3 B.?3 C.7 D.?7【答案】A

【解析】解：∵x=1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解，

∴2×1+m=5，

∴m=3，

故選：A．

根據(jù)方程的解的定義把x=1代入方程即可求出m的值．

本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．例2.（2023·浙江）小紅在解方程7x3=解：2×7x=(4x?1)+1，

…(1)請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．

(2)寫出你的解答過程．【答案】解：(1)如圖：

(2)去分母：2×7x=(4x?1)+6，

去括號：14x=4x?1+6，

移項：14x?4x=?1+6，

合并同類項：10x=5，

系數(shù)化1：x=12．【解析】(1)根據(jù)等式的性質(zhì)，解一元一次方程的步驟即可判斷；

(2)首先去分母、然后去括號、移項、合并同類項、次數(shù)化成1即可求解．

此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．【變式演練】1.（2024·廣西模擬）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為

(

)A.3 B.?3 C.7 D.?7【答案】A

【解析】解：∵x=1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解，

∴2×1+m=5，

∴m=3，

故選：A．

根據(jù)方程的解的定義把x=1代入方程即可求出m的值．

本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．2.（2024·河北模擬）米老鼠在解方程2x?13=x+a2?1的過程中，去分母時方程右邊的?1忘記乘6，因而求得的解為x=2．

(1)請你幫助米老鼠求出a的值；【答案】解：(1)把x=2代入方程2(2x?1)=3(x+a)?1得：2×(2×2?1)=3(2+a)?1，

解得：a=13；

(2)方程為2x?13=x+132?1，

2(2x?1)=3(x+13【解析】(1)把x=2代入方程2(2x?1)=3(x+a)?1得出2×(2×2?1)=3(2+a)?1，再求出方程的解即可；

(2)去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．

本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解．3.（2024·陜西模擬）解方程：8x+45=1+11x+1【答案】解：8x+45=1+11x+17，

7(8x+4)=35+5(11x+1)，

56x+28=35+55x+5，

56x?55x=35+5?28，【解析】按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．題型02二元一次方程（組）的解法【解題策略】二元一次方程的概念：含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次方程【易錯警示】二元一次方程的解必須是兩個未知數(shù)同時確定的組合，用大括號括起來即可；1個二元一次方程的解不唯一，可能有無數(shù)個；二元一次方程中用一個未知數(shù)來表示另一個未知數(shù)，依據(jù)的是等式的基本性質(zhì)；二元一次方程組的概念：由兩個一次方程組成，并且含有兩個未知數(shù)的方程組，叫做二元一次方程組二元一次方程組解法：名稱步驟具體操作代入消元法①將方程組中的一個方程變形，使得一個未知數(shù)能用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示；②用這個代數(shù)式代替另一個方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；③把這個未知數(shù)的值代入代數(shù)式，求得另一個未知數(shù)的值；④寫出方程組的解；加減消元法①將其中一個未知數(shù)的系數(shù)化為相同（或互為相反數(shù)）②通過相減（或相加）消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程③解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值；④將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任一個方程，求得另一個未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解；【典例分析】例1．（2023·浙江）（二元一次方程的解）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y=8的是(

)A.x=1,y=2 B.x=2,y=1 C.x=?1,y=2【答案】A

【解析】略例2.（2023·廣東）（二元一次方程組的概念）下列方程組中，是二元一次方程組的是．(

)A.1x+2y=4x?5y=3 B.a+b=4【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查二元一次方程組的概念有關(guān)知識，根據(jù)二元一次方程組的概念對選項逐一判斷即可．

【解答】

解：A.第一個方程不是整式方程，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項錯誤；

B.該方程組中含有3個未知數(shù)，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項錯誤；

C.方程組中第二個方程最高次數(shù)為2次，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項錯誤．

D.符合二元一次方程組的概念，故是二元一次方程組，故該選項正確．例3.（2023·四川）（二元一次方程組的解）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?y=4m+1x+y=2m?5的解滿足x?y=4，則m的值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B

【解析】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為3x?y=4m+1①x+y=2m?5②，

①?②，得：

∴2x?2y=2m+6，

∴x?y=m+3，

∵x?y=4，

∴m+3=4，

∴m=1．

故選：B．

把方程組的兩個方程相減得到2x?2y=2m+6，結(jié)合x?y=4，得到m的值．

本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個方程相加得到m例4.（2023·天津）（代入消元法）方程組y=2x3x+y=15的解是(

)A.x=2y=3 B.x=4y=3 C.x=4y=8【答案】D

【解析】【分析】

本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入消元法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單．

此題利用代入消元法求解即可．

【解答】

解：y=2x①3x+y=15②,

①代入②得，3x+2x=15，

解得x=3，

將x=3代入①得，y=2×3=6，

所以方程組的解是x=3y=6．

例5.（2023·四川）（加減消元法）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x?y=4m+1,x+y=2m?5的解滿足x?y=4，則m的值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B

【解析】略【變式演練】1.（2023·廣東）若二元一次方程3x?y=7，2x+3y=1，y=kx?9有公共解，則k的取值為(

)A.3 B.?3 C.?4 D.4【答案】D

【解析】【分析】

本題先通過解二元一次方程組，求得后再代入關(guān)于k的方程而求解的．

由題意建立關(guān)于x，y的方程組，求得x，y的值，再代入y=kx?9中，求得k的值．

【解答】

解：解3x?y=72x+3y=1得：x=2y=?1，

代入y=kx?9得：?1=2k?9，

解得：k=4．

故選：2.（2023·四川）關(guān)于x，y的方程組3x+y=2m?1,x?y=n的解滿足x+y=1，則4m÷2A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D

【解析】解：∵方程組3x+y=2m?1①x?y=n②，

∴①?②得，2x+2y=2m?n?1，

∴x+y=2m?n?12，

∵x+y=1，

∴2m?n?12=1，

∴2m?n=3，

∴4m÷2n=22m÷2n=22m?n=3.（2023·廣東）用加減法消元解方程組x+3y=8①x?y=1②的過程中，正確的是(

)A.①+②，得4y=9 B.①+②，得2y=9

C.①?②，得4y=7 D.①?②，得2y=7【答案】C

【解析】【分析】

此題考查了解二元一次方程組，解方程組時利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

根據(jù)解二元一次方程組的步驟解方程組即可．

【解答】

解：用加減法消元解方程組x+3y=8①x?y=1②的過程中，正確的是①?②，得4y=7，

故選：C題型03一次方程（組）的實際應(yīng)用【解題策略】1、列方程解應(yīng)用題的一般步驟：步驟“點睛”“審”（即審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；“設(shè)”（即設(shè)未知數(shù)）一般原則是：問什么就設(shè)什么；或未知量較多時，設(shè)較小的量，表示較大的量“列”【即列方程（組）】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程“解”【即解方程（組）】根據(jù)一次方程（組）的解法解出方程，注意解方程的過程不需要在解答中體現(xiàn)“驗”（即檢驗）非題目要求，此步可以不寫檢驗分兩步，一是檢驗方程是否解正確；二是檢驗方程的解是否符合題意“答”（即寫出答案）最后的綜上所述2、常見類型及關(guān)系式：常見運用題型解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗根;⑦作答.工作(或工程)問題：工作量=工作效率×工作時間利息問題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息行程問題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問題:s甲+s乙=s總;追及問題：(同地異時)前者走的路程=追者走的路程;(異地同時)前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程利潤問題：利潤=賣價-進(jìn)價；利潤率=×100%.數(shù)字問題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個位數(shù)字分配問題等【典例分析】例1．（2023·河北）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖所示.珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數(shù)，需重新投.計分規(guī)則如下：

投中位置A區(qū)B區(qū)脫靶一次計分(分)31?2在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次.脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分;

(2)第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】(1)由題意得4×3+2×1+4×(?2)=6(分)，

答：珍珍第一局的得分為6分;

(2)由題意得3k+3×1+(10?k?3)×(?2)=6+13，

解得：k=6，

則k的值為6．

【解析】(1)根據(jù)題意列式計算即可求解;

(2)根據(jù)題意列一元一次方程即可求解．

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．例2.（2023·遼寧）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費2800元；第二次購進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費1200元．

(1)求購進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；

(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進(jìn)A種禮品盒多少盒？【答案】解：(1)設(shè)購買每盒A種禮品盒要x元，每盒B種禮品盒要y元，由題意得，

10x+15y=28006x+5y=1200，

解得：x=100y=120，

答：購買每盒A種禮品盒要100元，每盒B種禮品盒要120元；

(2)設(shè)需要購買m個A種禮品盒，則購買(40?m)個B種禮品盒，由題意得，

100m+120(40?m)≤4500，

解得：m≥15，

答：最少需要購買15個A【解析】(1)設(shè)購買每盒A種禮品盒要x元，每盒B種禮品盒要y元，由題意即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該公司需要購買m個A種禮品盒，則購買(40?m)個B種禮品盒，由題意即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．

此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的數(shù)量關(guān)系，列出方程組和不等式．例3（2023·江蘇）某商場銷售A、B兩種商品，每件進(jìn)價均為20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．

(1)求A、B兩種商品的銷售單價；

(2)經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價不變，A種商品售價不低于B種商品售價.設(shè)A種商品降價m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】解：(1)設(shè)A種商品的銷售單價為a元，B種商品的銷售單價為b元，

由題意可得：20a+10b=84010a+15b=660，

解得a=30b=24，

答：A種商品的銷售單價為30元，B種商品的銷售單價為24元；

(2)設(shè)利潤為w元，

由題意可得：w=(30?m?20)(40+10m)+(24?20)(40+10m)=?10(m?5)2+810，

∵A種商品售價不低于B種商品售價，

∴30?m≥24，

解得m≤6，

∴當(dāng)m=5時，w取得最大值，此時w=810，

答：m取5時，商場銷售A、【解析】(1)根據(jù)售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

(2)根據(jù)題意和(1)中的結(jié)果，可以寫出利潤與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)A種商品售價不低于B種商品售價，可以得到m的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組、寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．例4.（2023·四川）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣.”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學(xué)獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．

(1)求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；

(2)若學(xué)校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【答案】解：(1)設(shè)甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，

根據(jù)題意得：2x+y=1003x+2y=165，

解得：x=35y=30．

答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；

(2)設(shè)該校購買甲種書m本，則購買乙種書(100?m)本，

根據(jù)題意得：35m+30(100?m)≤3200，

解得：m≤40，

∴m的最大值為40．

答：該校最多可以購買甲種書40【解析】(1)設(shè)甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據(jù)“購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該校購買甲種書m本，則購買乙種書(100?m)本，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過3200元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式演練】1.（2023·遼寧）為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校要求男女同學(xué)練習(xí)跑步.開始時男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s，當(dāng)?shù)竭_(dá)終點時男、女均停止跑步，女生從開始勻速跑步到停止跑步共用時120s.已知x軸表示從開始勻速跑步到停止跑步的時間，y軸代表跑過的路程，則：

(1)男女跑步的總路程為______；

(2)當(dāng)男、女相遇時，求此時男、女同學(xué)距離終點的距離．【答案】1000m

【解析】解：(1)男生勻速跑步的路程為4.5×100=450(m)，450+50=500(m)，

則男女跑步的總路程為500×2=1000(m)，

故答案為：1000m；

(2)設(shè)從開始勻速跑步到男、女相遇時的時間為x?s，

女生跑步的速度為(500?80)÷120=3.5(m/s)，

根據(jù)題意得：80+3.5x=50+4.5x，

解得x=30，

∴此時男、女同學(xué)距離終點的距離為4.5×(100?30)=315(m)，

答：此時男、女同學(xué)距離終點的距離為315m．

(1)根據(jù)男女同學(xué)跑步的路程相等，即可求解；

(2)求出女生跑步的速度，列方程求解即可．

此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)列出方程．2.（2023·廣東模擬）五月初，某地遭遇了持續(xù)強(qiáng)降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出現(xiàn)嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災(zāi)物品共4?000件送往災(zāi)區(qū)，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用450元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用400元購買乙種物品的件數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價格分別是多少元？(2)經(jīng)調(diào)查，災(zāi)區(qū)對乙種物品件數(shù)需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這4000件物品，需籌集資金多少元？【答案】解：(1)設(shè)甲種救災(zāi)物品每件的價格為x元/件，則乙種救災(zāi)物品每件的價格為(x?10)元/件，

可得：450x=400x?10，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗，x=90是原方程的解，

答：甲種救災(zāi)物品每件的價格為90元/件，乙種救災(zāi)物品每件的價格為80元/件．

(2)設(shè)甲種物品件數(shù)y件，可得：

y+3y=4000，

解得：y=1000，

所以籌集資金=90×1000+80×3000=330000

元，

答：籌集資金【解析】本題考查了列分式方程解實際問題的運用，列一元一次方程解決實際問題，正確列出方程是解題關(guān)鍵．

(1)設(shè)甲種救災(zāi)物品每件的價格為x元/件，則乙種救災(zāi)物品每件的價格為(x?10)元/件，根據(jù)已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用450元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用400元購買乙種物品的件數(shù)相同，可列方程求解．

(2)設(shè)甲種物品件數(shù)為y件，根據(jù)災(zāi)區(qū)對乙種物品件數(shù)需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，可列出方程求解．3.（2023·重慶）某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．

(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？

(2)由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？【答案】解：(1)設(shè)購買炸醬面x份，牛肉面y份，

根據(jù)題意得：x+y=17015x+20y=3000，

解得：x=80y=90．

答：購買炸醬面80份，牛肉面90份；

(2)設(shè)購買牛肉面m份，則購買炸醬面(1+50%)m份，

根據(jù)題意得：1200m?1260(1+50%)m=6，

解得：m=60，

經(jīng)檢驗，【解析】(1)設(shè)購買炸醬面x份，牛肉面y份，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購買牛肉面m份，則購買炸醬面(1+50%)m份，利用單價=總價÷數(shù)量，結(jié)合每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．4.（2023·廣東）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．

(1)求A，B玩具的單價；

(2)若該商場要求購置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購置玩具的總額不高于40000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？【答案】解：(1)設(shè)每件A玩具的進(jìn)價為x元，則每件B玩具的進(jìn)價為(x+25)元，

根據(jù)題意得：2(x+25)+x=200，

解得：x=50，

可得x+25=50+25=75，

則每件A玩具的進(jìn)價為50元，每件B玩具的進(jìn)價為75元；

(2)設(shè)商場可以購置A玩具y個，

根據(jù)題意得：50y+75×2y≤40000，

解得：y≤200，

則該商場最多可以購置200個A玩具．

【解析】(1)設(shè)每件A玩具的進(jìn)價為x元，則每件B玩具的進(jìn)價為(x+25)元，根據(jù)購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元元列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)商場最多可以購置A玩具y個，根據(jù)B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購置玩具的總額不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到結(jié)果．

此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．5.（2023·江蘇）某校舉行“二十大知識學(xué)習(xí)競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元(單價均為整數(shù))．

(1)若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．

(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件(軟面筆記本單價不變)：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出.班長小華打算購買m本硬面筆記本(m為正整數(shù))，他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．【答案】解：(1)設(shè)甲商店硬面筆記本的單價為x元，則甲商店軟面筆記本的單價為(x?3)元，

根據(jù)題意得：240x=195x?3，

解得：x=16，

經(jīng)檢驗，x=16是所列方程的解，且符合題意．

答：甲商店硬面筆記本的單價為16元；

(2)設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為y元，則乙商店軟面筆記本的原價為(y?3)元，

根據(jù)題意得：my=(m+5)(y?3)，

整理得：5y?3m=15，

∴y=35m+3．

∵m<30m+5≥30，且m，y【解析】(1)設(shè)甲商店硬面筆記本的單價為x元，則甲商店軟面筆記本的單價為(x?3)元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為y元，則乙商店軟面筆記本的原價為(y?3)元，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，可列出關(guān)于y，m的二元一次方程，結(jié)合m<30m+5≥30且m，y均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)題型04分式方程及其解法【解題策略】一、分式方程1．分母里含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母為零的未知數(shù)的值即為增根；分式方程的增根有兩個特征：(1)增根使最簡公分母為零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步驟：(1)去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)解這個整式方程，求得方程的根；(3)檢驗，把解得整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母為零，則它不是原方程的根，而是方程的增根，必須舍去；如果使最簡公分母不為零，則它是原分式方程的根．☆：分式方程會無解的幾種情況①解出的x的值是增根，須舍去，無解②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無意義，無解③同時滿足①和②，無解☆：求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：①讓最簡公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；③將增根帶入（當(dāng)有多個增根時，注意分類，不要漏解）；④解含參數(shù)字母的方程的解。【典例分析】例1．（2023·山東）（分式方程的解）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3的解，那么實數(shù)m的值為(

)A.?2 B.2 C.?4 D.4【答案】B

【解析】解：將x=1代入方程，得：m2?1?11?2=3，

解得：m=2．

故選：B．

將x=1代入原方程即可求出m的值．

例2.（2023·廣東）（分式方程的一般解法）方程1x?3=2x的解為A.x=?6 B.x=?2 C.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)分式方程的一般步驟解答即可．

【解答】

解：去分母，得x=2x?6，

∴x=6．

經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解．

故選D．例3.（2023·山西）（分式方程的一般解法）解方程：1x?1+1=3【答案】解：原方程可化為

1x?1+1=方程兩邊同乘2(x?1)，得2+2(x?1)=3．解得

x=32檢驗：當(dāng)

x=32

時，∴原方程的解是

x=32【解析】方程兩邊同時乘以2(x?1)

，則可以把方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即可求得x的值，把所求的值代入2(x?1)進(jìn)行檢驗即可．

本題主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，注意解分式方程一定要驗根．例4.（2023·上海）（分式方程的特殊解法—換元法）用換元法解方程x?1x2?x2x?1=3時，如果設(shè)A.y2+3y?1=0 B.y2?3y?1=0

C.【答案】B

【解析】解：設(shè)x?1x2=y，

方程x?1x2?x2x?1=3化為y?1y=3，

整理得：y例5.（2023·山東模擬）（分式方程的增根）關(guān)于x的分式方程mx?2?32?x=1有增根，則A.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m=?3【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．

【解答】

解：去分母得：m+3=x?2，

由分式方程有增根，得到x?2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m+3=0，

解得：m=?3，

故選：D．例6.（2023·廣東）（由實際問題抽象出分式方程）隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動車平均提速60km/?，動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同.設(shè)動車提速后的平均速度為x?km/?，則下列方程正確的是(

)A.360x=480x+60 B.360x?60=【答案】B

【解析】解：∵隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動車平均提速60km/?，且動車提速后的平均速度為x?km/?，

∴動車提速前的平均速度為(x?60)km/?．

根據(jù)題意得：360x?60=480x．

故選：B．

根據(jù)動車提速前后速度間的關(guān)系，可得出動車提速前的平均速度為(x?60)km/?，利用時間=路程÷速度，結(jié)合動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同，即可列出關(guān)于【變式演練】1.（2023·黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程mx?2+1=x2?x的解是非負(fù)數(shù).則mA.m≤2 B.m≥2

C.m≤2且m≠?2 D.m<2且m≠?2【答案】C

【解析】解：分式方程去分母得：m+x?2=?x，

解得：x=2?m2，

由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到2?m2≥0，且2?m2?2≠0，

解得：m≤2且m≠?2，

故選：C．2.（2023·全國模擬）用換元法解方程2xx?1?3=x?1x時，設(shè)xx?1=yA.2y2?3y?1=0 B.3y2?2y+3=0【答案】A

【解析】解：2xx?1?3=x?1x，

設(shè)xx?1=y，則原方程化為：2y?3=1y，

2y2?3y=1，

2y23.（2023·四川模擬）關(guān)于x的分式方程mx?2?32?x=1有增根，則mA.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．

【解答】

解：去分母得：m+3=x?2，

由分式方程有增根，得到x?2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m+3=0，

解得：m=?3，

故選：D．4.（2023·江蘇）解方程：2x?5x?2=3x?3【答案】解：去分母得：2x?5=3x?3?3(x?2)，

去括號得：2x?5=3x?3?3x+6，

移項得：2x?3x+3x=5?3+6，

合并同類項得：2x=8，

把x的系數(shù)化為1得：x=4，

檢驗：把x=4代入最簡公分母x?2=4?2=2≠0，

故原分式方程的解為：x=4．

【解析】兩邊同時乘以最簡公分母(x?2)去分母，然后去括號、移項、合并同類項、把x的系數(shù)化為1，即可算出x的值，然后再檢驗．

此題主要考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是不要忘記檢驗，沒有分母的項不要漏乘，這是同學(xué)們最容易出錯的地方．5.（2023·湖北）為了落實“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球.已知每個籃球的價格比每個足球的價格多20元，用1500元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購進(jìn)足球的數(shù)量多5個.如果設(shè)每個足球的價格為x元，那么可列方程為(

)A.1500x+20?800x=5 B.1500x?20【答案】A

【解析】解：設(shè)每個足球的價格為x元，可列方程為：

1500x+20?800x=5．

故選：A．

根據(jù)足球價格表示出籃球的價格，再利用1500元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用800題型05分式方程的實際應(yīng)用【解題策略】一、分式方程的應(yīng)用：解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗根。二、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審，②設(shè)，③列，④解，⑤驗，⑥答其中，檢驗這一步必須有!分式方程的應(yīng)用題與一元一次方程應(yīng)用題類似，不同的是要注意檢驗：(1)檢驗所求的解是否是所列分式方程的解；(2)檢驗所求的解是否符合實際．三、常見類型及關(guān)系式：【典例分析】例1．（2023·吉林）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評.某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計劃平均每大制作多少個擺件？

【答案】解：設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，

根據(jù)題意，得3000x?30001.5x=5，

解得：x=200，

經(jīng)檢驗，x=200是原分式方程的根，且符合題意，【解析】設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)“結(jié)果提前5天完成任務(wù)”列分式方程，求解即可．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并能根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．例2.（2023·遼寧）(2023·錦州中考)2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運動員的拼搏精神感染了眾多球迷．某?；@球社團(tuán)人數(shù)迅增，急需購進(jìn)A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價比B品牌籃球單價的2倍少48元，采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價分別是多少元．【答案】解：設(shè)B品牌籃球單價為x元，則A品牌籃球單價為(2x?48)元，

由題意，可得：96002x?48=7200x，

解得：x=72，

經(jīng)檢驗，x=72是所原方程的解，

所以A品牌籃球的單價為：2×72?48=96(元)．

答：A品牌籃球單價為96元，B【解析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)B品牌籃球單價為x元，由題意可得A品牌籃球單價為(2x?48)元，根據(jù)“采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球分別需要花費9600元和7200元”，列出相應(yīng)的方程，解答即可．例3.（2023·山東模擬）為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計劃提前10天完成任務(wù)．(1)求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；(2)施工進(jìn)行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確?？偣て诓怀^40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？【答案】(1)解：設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)x米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)(1+20%)x米，

由題意，得

3600x?3600(1+20%)x=10

，解得x＝60．

經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，

此時，60×(1+20%)＝72（米）．

故實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度是72米．???????

(2)解：設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，

由題意，得(40-20)(72+m)≥3600-72×20，

解得m≥36．

【解析】1.

本題考查了列分式方程解實際問題的運用，在解答時找到相等關(guān)系并建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)x米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)(1+20%)x米，根據(jù)比原計劃提前10天完成任務(wù)建立方程求出其解就可以了；

2.

本題考查了列一元一次不等式解實際問題的運用，在解答時找到不相等關(guān)系并列出不等式是解題的關(guān)鍵．

設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，根據(jù)總工期不超過40天建立不等式求出其解即可．【變式演練】1.（2023·吉林模擬）2022年我國已成為全球最大的電動汽車市場，電動汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢．經(jīng)過對某款電動汽車和某款燃油車的對比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動汽車平均每公里的充電費比燃油車平均每公里的加油費少0.6元．若充電費和加油費均為200元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動汽車平均每公里的充電費．【答案】

解：

設(shè)這款電動汽車平均每公里的充電費為x元，

則燃油車平均每公里的加油費為(x+0.6)元，根據(jù)題意，得200x=200x+0.6×4經(jīng)檢驗，x=0.2是原方程的解，且符合題意．答：這款電動汽車平均每公里的充電費為0.2元【解析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

設(shè)這款電動汽車平均每公里的充電費為x元，則燃油車平均每公里的加油費為(x+0.6)元，根據(jù)“電動汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍列分式方程，解方程即可求解。2.（2023·廣東模擬）某工程隊接到了修建3000米道路的施工任務(wù)，修到一半的時候，由于采用新的施工技術(shù)，修建效率提高為原來的1.5倍，結(jié)果提前5天完成了施工任務(wù)，問原來每天修多少米道路？【答案】解：設(shè)原來每天修建x米道路，則采用新的施工技術(shù)后每天修建1.5x米道路，

依題意得：3000×12x?3000×121.5x=5，

解得：x=100，【解析】設(shè)原來每天修建x米道路，則采用新的施工技術(shù)后每天修建1.5x米道路，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結(jié)合結(jié)果提前5天完成了施工任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3.（2023·山東）為進(jìn)行某項數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，小明到一個批發(fā)兼零售的商店購買所需工具.該商店規(guī)定一次性購買該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價付款，否則按零售價付款.小明如果給學(xué)校九年級學(xué)生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？【答案】解：設(shè)這個學(xué)校九年級學(xué)生有x人，

根據(jù)題意得：3600x×50=3600x+60×60，

解得：x=300，

經(jīng)檢驗，x=300是所列方程的解，且符合題意．【解析】設(shè)這個學(xué)校九年級學(xué)生有x人，利用單價=總價÷數(shù)量，結(jié)合按批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．4.（2023·遼寧）甲、乙兩人加工同一種零件，每小時甲比乙多加工2個這種零件，甲加工25個這種零件所用的時間與乙加工20個這種零件所用的時間相等，求乙每小時加工多少個這種零件．【答案】解：設(shè)乙每小時加工x個這種零件，則甲每小時加工(x+2)個這種零件，

根據(jù)題意得：25x+2=20x，

解得：x=8，

經(jīng)檢驗，x=8是所列方程的解，且符合題意．

【解析】設(shè)乙每小時加工x個這種零件，則甲每小時加工(x+2)個這種零件，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結(jié)合甲加工25個這種零件所用的時間與乙加工20個這種零件所用的時間相等，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．1.（2023·海南）若代數(shù)式x+2的值為7，則x等于(

)A.9 B.?9 C.5 D.?5【答案】C

【解析】【分析】

本題考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常見的過程有去括號、移項、系數(shù)化為1等．根據(jù)題意，列出關(guān)于x的一元一次方程x+2=7，通過解該方程可以求得x的值．

【解答】

解：由題意，得x+2=7，

移項，得x=5．

故選C．2.（2023·江蘇）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解的為(

)A.x=1,y=2 B.x=2,y=0 C.x=0.5,y=3【答案】D

【解析】略3.（2023·北京）(2020·北京·中考真題)方程組x?y=13x+y=7的解為

．【答案】x=2y=1【解析】【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】解：兩個方程相加可得

4x=8

，∴

x=2

，將

x=2

代入

x?y=1

，可得

y=1

，故答案為：

x=2y=1

【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組的步驟是解題的關(guān)鍵．4.（2023·天津）方程組y=2x3x+y=15的解是(

)A.x=2y=3 B.x=3y=6 C.x=4y=3【答案】B

【解析】解：y=2x①3x+y=15②，

把①代入②得：3x+2x=15，

解得：x=3，

把x=3代入①得：y=6，

則方程組的解為x=3y=6．

故選：B．

方程組利用代入消元法求出解即可．5.（2023·江蘇）解二元一次方程組：x?y=13x+2y=8．【答案】解：x?y=1①3x+2y=8②，

①×2得：2x?2y=2③，

②+③得：5x=10，

解得：x=2，

把x=2代入①中得：2?y=1，

解得：y=1，

∴原方程組的解為：x=2y=1【解析】利用加減消元法進(jìn)行計算，即可解答．

本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．6.（2023·四川）解方程組3x+y=8?①2x?y=7?②．【答案】解：3x+y=8①2x?y=7②，

①+②得：5x=15，

解得：x=3，

將x=3代入①得：3×3+y=8，

解得：y=?1，

故原方程組的解為：x=3y=?1【解析】利用加減消元法解方程組即可．

本題考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．7.（2023·四川）涼山州雷波縣是全國少有的優(yōu)質(zhì)臍橙最適生態(tài)區(qū).經(jīng)過近20年的發(fā)展，雷波臍橙多次在中國西部農(nóng)業(yè)博覽會上獲得金獎，雷波縣也被譽名為“中國優(yōu)質(zhì)臍橙第一縣”，某水果商為了解雷波臍橙的市場銷售情況，購進(jìn)了雷波臍橙和資中血橙進(jìn)行試銷.在試銷中，水果商將兩種水果搭配銷售，若購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣．

(1)求雷波臍橙和資中血橙每千克各多少元？

(2)一顧客用不超過1440元購買這兩種水果共100千克，要求雷波臍橙盡量多，他最多能購買雷波臍橙多少千克？【答案】解：(1)設(shè)雷波臍橙每千克x元，資中血橙每千克y元，

根據(jù)題意得：3x+2y=782x+3y=72，

解得：x=18y=12．

答：雷波臍橙每千克18元，資中血橙每千克12元；

(2)設(shè)購買雷波臍橙m千克，則購買資中血橙(100?m)千克，

根據(jù)題意得：18m+12(100?m)≤1440，

解得：m≤40，

∴m的最大值為40．

答：他最多能購買雷波臍橙40【解析】(1)設(shè)雷波臍橙每千克x元，資中血橙每千克y元，根據(jù)“購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購買雷波臍橙m千克，則購買資中血橙(100?m)千克，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過1440元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．8.（2023·四川）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清沽能源裝備大會在德陽舉行.大會聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點和前瞻性問題，著力實現(xiàn)會展聚集帶動產(chǎn)業(yè)聚集，其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積4.82平方公里，計劃2025年基本建成，若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù).承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．

(1)乙隊單獨施工需要幾個月才能完成任務(wù)？

(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？【答案】解：(1)設(shè)乙隊單獨施工需要x個月才能完成任務(wù)，根據(jù)題意得，

1x×2+(118+1x)×10=1，解得x=27，

經(jīng)檢驗x=27是原方程的根，

答：乙隊單獨施工需要27個月才能完成任務(wù)；

(2)根據(jù)題意得，a18+b27=1，

整理得，a=54?2b3=18?23b，

∵a，b為正整數(shù)，且a≤6，b≤24，

∴b為3的倍數(shù)，

∴b=24時，a=2；b=21時，a=4；b=18時，a=6，

∴方案一：甲隊施工2個月，乙隊施工24個月；

方案二：甲隊施工4個月，乙隊施工21個月；

方案三：甲隊施工6個月，乙隊施工18個月；

設(shè)甲乙兩隊實際施工的費用為w萬元，得，

w=8a+5b=8×(18?23b)+5b=?1【解析】(1)設(shè)完成本項工程的工作總量為“1”，乙隊單獨施工需要x個月才能完成任務(wù)，由已知條件：乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．列出分式方程，求解即可．

(2)由已知條件：甲、乙兩個工程隊同時施工，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，可列出關(guān)于a、b的二元一次方程，從而得到a=18?23b，又根據(jù)a，b為正整數(shù)，得出甲乙兩隊實際施工的時間安排的三種方式；設(shè)甲乙兩隊實際施工的費用為w萬元，得w=8a+5b，又因為a=18?23b，進(jìn)而得到關(guān)于w和b的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了列方程解決工程問題，根據(jù)a、b的取值范圍及a、9.（2023·廣東）某地葡萄豐收，準(zhǔn)備將已經(jīng)采摘下來的11400公斤葡萄運送杭州，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型共選擇，每輛車運載能力和運費如表表示(假設(shè)每輛車均滿載)車型甲乙丙汽車運載量(公斤/輛)600800900汽車運費(元/輛)500600700(1)若全部葡萄都用甲、乙兩種車型來運，需運費8700元，則需甲、乙兩種車型各幾輛？(2)為了節(jié)省運費，現(xiàn)打算用甲、乙、丙三種車型都參與運送，已知它們的總輛數(shù)為15輛，你能分別求出這三種車型的輛數(shù)嗎？怎樣安排運費最?。俊敬鸢浮拷猓?1)設(shè)需要甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)題意可得600x+800y=11400解得x=3y=12(2)設(shè)需要甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)題意得600x+800y+900(15?x?y)=11400，整理得3x+y=21，∵x，y都是正整數(shù)，x+y<15x=4，5，6

，

方案一：甲車4輛，乙車9輛，丙車2輛，運費8800元方案二：甲車5輛，乙車6輛，丙車4輛，運費8900元方案三：甲車6輛，乙車3輛，丙車6輛，運費9000元∵

8800<8900<9000∴方案一運費最省，運費是8800元.

【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，考查了二元一次不定方程的正整數(shù)解．(1)根據(jù)題意，列出方程組，解之即可；(2)結(jié)合題意，列出相應(yīng)二元一次方程，對照題意，即可得解．10.（2023·山東）某商場購進(jìn)了A，B兩種商品，若銷售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．

(1)求A，B兩種商品每件的利潤；

(2)已知A商品的進(jìn)價為24元/件，目前每星期可賣出200件A商品，市場調(diào)查反映：如調(diào)整A商品價格，每降價1元，每星期可多賣出20件，如何定價才能使A商品的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】解：(1)設(shè)A商品每件的利潤為x元，B商品每件的利潤為元，

根據(jù)題意，得10x+20y=28020x+30y=480，

解得：x=12y=8，

答：A商品每件的利潤為12元，B商品每件的利潤為8元．

(2)設(shè)降價a元利潤為w元根據(jù)題意，得：

w=(12?a)(200+20a)，

=2400+240a?200a?20a，

=?20a2+40a+2400，

=?20(a?1)2+2420．

∵?20<0．

∴當(dāng)a=1時，w有最大值，最大值為2420，此時定價24+12?1=35(元)【解析】(1)根據(jù)題意列出二元一次方程組解答即可；

(2)根據(jù)“商品利潤=單件利潤×銷售數(shù)量“，列出二次函數(shù)解析式，將其化成頂點式，再結(jié)合“售價=進(jìn)價+利潤“解答即可．

本題主要考查了二元一次方程組和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意并能列出等量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．11.（2023·山西）風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)備由1個A部件和3個B部件組成，這種設(shè)備必須成套運輸．已知1個A部件和2個B部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個A部件和3個B部件的質(zhì)量相等．(1)求1個A部件和1個B部件的質(zhì)量各是多少；(2)該卡車要運輸這種成套設(shè)備通過此大橋，一次最多可運輸多少套這種設(shè)備．【答案】(1)設(shè)一個A部件的質(zhì)量為x噸，一個B部件的質(zhì)量為y噸．

根據(jù)題意，得x+2y=2.82x=3y，解得x=1.2y=0.8．

答：一個A部件的質(zhì)量為1.2噸，一個B部件的質(zhì)量為0.8噸．

(2)設(shè)該卡車一次可運輸m套這種設(shè)備通過此大橋．

根據(jù)題意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30.解得m≤559．

因為m為整數(shù)，m取最大值，所以m=6．

【解析】(1)設(shè)一個A部件的質(zhì)量為x噸，一個B部件的質(zhì)量為y噸.，然后根據(jù)等量關(guān)系“1個A部件和2個B部件的總質(zhì)量為2.8噸”和“2個A部件和3個B部件的質(zhì)量相等”列二元一次方程組求解即可;

(2)設(shè)該卡軍一次可運輸m套這種設(shè)備通過此大橋.根據(jù)“載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行”列

不等式再結(jié)合m為整數(shù)求解即可．

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識點，正確列出二元一次方程組和不等式是解答本題的關(guān)鍵．12.（2023·湖北）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學(xué)生購買一套服裝.經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．

(1)男裝、女裝的單價各是多少？

(2)如果參加活動的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的23，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？【答案】解：(1)設(shè)男裝單價為x元，女裝單價為y元，

根據(jù)題意得：x+y=2206x=5y，

解得：x=100y=120，

答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．

(2)設(shè)參加活動的女生有a人，則男生有(150?a)人，

根據(jù)題意可得150?a≤23a120a+100(150?a)≤17000，

解得：90≤a≤100，

∵a為整數(shù)，

∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數(shù)，

故一共有11種方案，

設(shè)總費用為w元，則w=120a+100(150?a)=15000+20a，

∵20>0，

∴當(dāng)a=90時，w有最小值，最小值為15000+20×90=16800(元)，

此時，150?a=60(套)，

答：當(dāng)女裝購買90【解析】(1)設(shè)男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；

(2)設(shè)參加活動的女生有a人，則男生有(150?a)人，列不等式組找到a的取值范圍，再設(shè)總費用為w元，得到w與a的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)a取最小值時w有最小值，據(jù)此求解即可．

本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，找到題中的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13.（2023·廣東）在某文具用品商店購買3個籃球和1個足球共花費190元；購買2個籃球和3個足球共花費220元．

(1)求購買1個籃球和1個足球各需多少元？

(2)若計劃用不超過900元購買籃球和足球共20個，那么最多可以購買多少個籃球？【答案】解：(1)設(shè)購買1個籃球需要x元，1個足球需要y元，

根據(jù)題意得：3x+y=1902x+3y=220，

解得：x=50y=40．

答：購買1個籃球需要50元，1個足球需要40元；

(2)設(shè)可以購買m個籃球，則購買(20?m)個足球，

根據(jù)題意得：50m+40(20?m)≤900，

解得：m≤10，

∴m的最大值為10．

答：最多可以購買10【解析】(1)設(shè)購買1個籃球需要x元，1個足球需要y元，根據(jù)“購買3個籃球和1個足球共花費190元；購買2個籃球和3個足球共花費220元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)可以購買m個籃球，則購買(20?m)個足球，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過900元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．14.（2023·山東）若關(guān)于x的分式方程xx?1+1=m1?x的解為非負(fù)數(shù)，則mA.m≤1且m≠?1 B.m≥?1且m≠1

C.m<1且m≠?1 D.m>?1且m≠1【答案】A

【解析】解：xx?1+1=m1?x，

兩邊同乘(x?1)，去分母得：x+x?1=?m，

移項，合并同類項得：2x=1?m，

系數(shù)化為1得：x=1?m2，

∵原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

∴1?m2≥0，且1?m2≠1

解得：m≤1且m≠?115.（2023·上海）下列方程中，有實數(shù)根的是(

)A.x2+2x+1=0 B.x2+x+1=0

C.【答案】A

【解析】解：方程x2+2x+1=0的根的判別式Δ=3>0，故選項A中方程有實數(shù)根；

方程x2+x+1=0的根的判別式Δ=?3<0，故選項B中方程無實數(shù)根；

∵x≥0，

∴選項C中方程無實數(shù)根；

方程1x?1=xx?1無解，故選項D中方程無實數(shù)根；

故選：A．

16.（2023·海南）分式方程1x?5=1的解是(

)A.x=6 B.x=?6 C.x=5 D.x=?5【答案】A

【解析】【分析】

本題考查分式方程的解法；熟練掌握分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的求解方法解題，注意檢驗根的情況【解答】解：兩邊同時乘以(x?5)，可得：1=x?5，解得x=6，經(jīng)檢驗x=6是原方程的根．17.（2023·陜西）解方程：2xx+5?1=x+5【答案】解：原方程兩邊同乘x(x+5)去分母得：2x2?x(x+5)=(x+5)2，

去括號得：2x2?x2?5x=x2+10x+25，

移項，合并同類項得：?15x=25【解析】利用解分式方程的步驟解方程即可．

本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.（2023·四川）關(guān)于x的分式方程x+mx?2+12?x=3有增根，則【答案】?1

【解析】解：方程兩邊同乘(x?2)得：x+m?1=3(x?2)，

由題意得：x=2是該整式方程的解，

∴2+m?1=0，

解得：m=?1，