蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 圓的對(duì)稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

專題2.5圓的對(duì)稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（23-24九年級(jí)上廣西南寧?期末）如圖，在。。中，AB=CD，ZAOB=35°,則NCOD的度數(shù)是（）

C.40°D.35°

2.（23-24九年級(jí)下?四川達(dá)州?階段練習(xí)）如圖，A8是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,OC=15,CD=24,

則OE=()

A.6B.6加C.9D.12

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在0。中,弦A2的長(zhǎng)為8,圓心。到AB的距離OE=4,則。。的半

B.40C.5D.5A/2

4.（23-24九年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在中，ZABC=40°,以A8為直徑的0。交2C

于點(diǎn)。，交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若點(diǎn)E在3。的垂直平分線上，則/C的度數(shù)為（）

E

A

BDC

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.（22-23九年級(jí)上?廣東東莞?期末）垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂

直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了方法和依據(jù).下列可以運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題的

6.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，是0。的直徑，弦8交A3于P點(diǎn)，AP=\,BP=5,ZAPC=45°,

則CD的長(zhǎng)為（）

C.277D.

7.（2022?臺(tái)灣?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是團(tuán)。的弦AB上一點(diǎn).若AC=6,BC=2,AB的弦心距為3,則0c

的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.VTTD.713

8.（2024?四川廣元?二模）如圖，某考古學(xué)家要修復(fù)一面殘破的銅鏡，欲找到其圓心并確定其半徑，按以

下步驟操作：①作弦A3,分別以A,8為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,作

直線MN；②作弦2C,分別以3,C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)尸，Q,作直線

PQ.直線MN,PQ的交點(diǎn)O即為圓心.連接OC,0C即為半徑.若直線PQ交3c于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、

E,且3C=10,DE=1,則銅鏡的半徑0c長(zhǎng)是（）

9.（22-23九年級(jí)上?北京海淀?期末）勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓

弧，由三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，該勒洛三角形繞其中心。旋轉(zhuǎn)一定角度。后能與自身重合，則

該角度。可以為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

10.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知。。的半徑為4,點(diǎn)A、B、P分別為。。上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)（三點(diǎn)均不重合），

且線段A3長(zhǎng)為3,則點(diǎn)P到線段A8的最大值為（）

A."B.21c.叵+4D.叵+4

4422

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（23-24九年級(jí)上,遼寧大連?期中）如圖，是。。的直徑，AD=CD，NCO3=40。，則-4的度數(shù)

是°，

12.（23-24九年級(jí)上?山東聊城?期末）如圖，。。的直徑AB=10cm,C是圓。上一點(diǎn)，點(diǎn)。平分BC，DE=2cm,

貝?。┫褹C=___________

A

13.（2024?湖南永州?二模）道縣西洲公園是由一座三孔石拱橋?qū)⑽髦夼c瀟水西岸連在一起的.圖為石拱橋

的中孔側(cè)面圖，拱是圓弧形，橋的跨徑所在弦AB=16m,拱高CD=4m,則拱所在圓的半徑為m.

14.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，0O的半徑是8,A3是。。的直徑，M為A5上一動(dòng)點(diǎn),

AC=CD=BD，則CM+DM的最小值為.

15.（21-22九年級(jí)上,山西?期末）如圖，將半徑為10cm的圓形紙片沿一條弦AB折疊，折疊后弧A3的中點(diǎn)

C與圓心O重疊，則弦A8的長(zhǎng)度為cm.

16.（21-22九年級(jí)上?四川?期末）如圖，點(diǎn)。是半圓的圓心，。是以A8為直徑的半圓上的一點(diǎn)，以O(shè)D為

對(duì)角線作正方形經(jīng)過(guò)C,E的直線分別與半圓弧交于RG.己知CE=6,則/G的長(zhǎng)為.

D

G

A

OB

17.（20-21九年級(jí)?江蘇咱主招生）已知圓。，AB=8,CD=2,OD±AB,求

D

18.（2023?浙江?一模）在RSAOC中，NACO=90。,。。交Q4,OC于點(diǎn)BD,BE〃AC交。。于￡.若

ZOAC=30°,DC=65,AB=180,則跖=cm.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分M23-24九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在。。中,分別為半徑。4、03上的點(diǎn)，且=.C

為弧AB上一點(diǎn)，連接CD、CE、CO,且CD=CE.求證：C為48的中點(diǎn).

20.（8分）（22-23九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，已知在半圓A03中，AD=DC,ZCAB=30°,AB=8,

求AD的長(zhǎng).

D

21.（10分）（2024?江蘇南京?二模）如圖，AB.CQ是。。的兩條弦，AC與血相交于點(diǎn)E,AB=CD.

（1）求證：AC=BD；

（2）連接8C,作直線EO,求證：EOLBC.

22.（10分）（22-23九年級(jí)上?湖北?期中）如圖，為。。的直徑，8為。。的弦，于點(diǎn)E,延

長(zhǎng)CO交AO于點(diǎn)RCF1AD,求證：AD=CD.

23.（10分）（23-24九年級(jí)上?廣東廣州?期中）如圖，以的8C邊上一點(diǎn)。為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A、B

兩點(diǎn)，且與3c邊交于點(diǎn)E,。為防的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AO交于若AC=PC.

（1）連接A。，求證：NQ4c=90。；

（2）若BF=4,DF=回,求。。的半徑.

A

BC

D

24.（12分）（2023?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A8是。。的直徑，弦與AB相交于點(diǎn)E,ZBOD2ZA.

（1）寫(xiě)出圖中一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形」

（2）求證：ABLCD-,

（3）若。。的半徑為4,AE：EB=3:1,求CD的長(zhǎng).

C

AB

OE

D

參考答案：

1.D

【分析】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組

量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，由此即可得到答案.

【詳解】解：；AB=C￡>，ZAOB=35°,

ZCOD^ZAOB=35°.

故選：D.

2.C

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定

理.

先根據(jù)垂徑定理得到CE=DE=12,然后利用勾股定理可計(jì)算出0E的長(zhǎng).

【詳解】M：-.-CDLAB,

:.CE=DE=-CD^n,

2

在RbOCE中，OE=S/0C2-CE2=A/152-122=9-

故選：C.

3.B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到AE,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：回在0。中，弦A3的長(zhǎng)為8,圓心。到A3的距離OE=4,

0OEJ_AB,AE=—AB=4,

2

在RtAAOE中，Ok=yjOE2+AE2=742+42=4立，

故選：B.

4.A

【分析】本題考查了垂徑定理以及垂直平分線的性質(zhì).過(guò)點(diǎn)E作所，8。于點(diǎn)P,由點(diǎn)E在3。的垂直平

分線上可知2E=￡>E，直線所必過(guò)圓心，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NB。尸的度數(shù)；根據(jù)NABC=40。

得出NAOE的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/CER的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF_L3D于點(diǎn)/，連接AD,

???點(diǎn)E在的垂直平分線上，

團(tuán)BE=DE，直線所必過(guò)圓心，EF±BD,

ZABC=40°,

NBOF=ZAOE=ABAD=50°,

AO^OE,

ZOEA=；（180。-50。）=65。

,-.ZC=90°-ZOEA=90°-65°=25°.

故選：A.

5.C

【分析】過(guò)圓心作弦的垂線，則可運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題，從而對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：可以運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題的圖形是

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

對(duì)的兩條弧.

6.C

【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理.根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)。作8于點(diǎn)E,連接。。，從而得出AOPE

是等腰直角三角形，結(jié)合圖形由線段之間的關(guān)系推出尸E=OE=&,從而利用勾股定理推出?！?近，再

由垂徑定理得到CE=￡>E,從而推出C￡>=2OE=2?.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OEJ-CD于點(diǎn)E,連接OO,

D

OD=OA=3,

:.OP=OA-AP=3-1=2,

???NOPE=ZAPC=45。,

.?.△O尸石是等腰直角三角形，

;.PE=OE=6，

在RtVOED中，DE=y/OD2-OE2=V9-2=V7，

vOElCD,

CE=DE,

CD=2DE=2-/1.

故選：C.

7.D

【分析】過(guò)點(diǎn)。作8,4?于點(diǎn)。，根據(jù)垂徑定理得出AD,繼而得出DC,勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)D,

0AC=6,BC=2,A8的弦心距為3,

SAB=AC+CB=8,OD^3,AD=^AB=4,

0DC=AC-AD=6-4=2,

在RtaOCD中，OC^yjOD2+DC2=A/32+22=V13>

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】本題考查了垂直平分線的作圖原理以及圓的垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.利用題

目條件得到PQ^BC,然后在RtAOCD中利用垂徑定理解答即可.

【詳解】解：由題意知：PQ垂直平分3C,

PQX.BC,BD=CD=^BC=5,

?.■E在圓上，

OE=OC,

OD=OE—DE=OC—1,

在Rt^OCD中，

OD1+CD1=OC2

(OC-1)2+52=OC2,

解得OC=13,

故選：C.

9.C

【分析】連接0408,可得AB=AC=3C，從而得至UN4?C=gx36O°=12O°,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接0AoC,

團(tuán)AABC是等邊二角形，

團(tuán)AB=AC=BC,

即AB=AC=BC^

0ZAOC=-x360°=120°.

3

回該角度。可以為120。.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關(guān)系，圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧，弦，圓

心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.D

【分析】

本題考查了垂徑定理、勾股定理，過(guò)點(diǎn)尸作垂線垂直于A3,交A3于點(diǎn)Q,則點(diǎn)尸到線段A3的值等于線

段尸2,易得當(dāng)尸。經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)線段最長(zhǎng)，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作垂線垂直于A8,交A8于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到線段A8的值等于線段尸Q,當(dāng)尸。經(jīng)過(guò)

圓心。時(shí)線段最長(zhǎng).

連接。5,為直角三角形,

OQ=4OB--BQ1=^16-1

J55

PQ=PO+OQ=^-+4

故選D.

11.55

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)；可求NAOC=140。，從而

可求NAOD=70。，由等腰三角形的性質(zhì)可求；掌握''同弧所對(duì)的圓心角相等〃是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：.?./(%出=40。，

/.ZAOC=180°-ZBOC,

=140°,

AD=CD，

ZAOD=ACOD,

ZAOD=-ZAOC

2

=70°,

?/OA=OD,

.-.ZA=^(180o-ZAOD)

=55°；

故答案：55.

12.6cm

【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，三角形中位線定理.由題意可知點(diǎn)。平分，OE為URC的中

位線，根據(jù)直徑求出半徑，進(jìn)而求出OE的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線原理即可解答.

【詳解】解：回點(diǎn)D平分BC，

回。。平分3C,

國(guó)OE為AABC的中位線,

0OE=-AC,

2

又回0。的直徑AB=10cm,

0OD=5cm,

0DE=2cm,

0OE=3cm，

回弦AC=2OE=6cm，

故答案為：6cm.

13.10

【分析】將拱形圖進(jìn)行補(bǔ)充，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和垂徑定理解答.本題考查了垂徑定理和勾

股定理；這兩大定理是在圓有關(guān)運(yùn)算中經(jīng)常用到的.

【詳解】解：依題意，拱橋的跨度AB=16m,拱高CD=4m,

B.-.AD=-xAB=8m,

2

利用勾股定理可得:

AD2AO2-OD2,

即64=AO2-（AO-4）2

解得49=10m.

即圓弧半徑為10m.

故答案為：10

14.16

【分析】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，垂徑定理.作點(diǎn)C關(guān)于A2的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'D與A3相

交于點(diǎn)〃，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)”為CM+DM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得

AC=AC.然后求出CD為直徑，從而得解.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'。與A3相交于點(diǎn)V,

此時(shí)，點(diǎn)以為。0+00的最小值時(shí)的位置，

由垂徑定理，AC=AC-

團(tuán)BO=AC'，

^AC=CD=BD，AB為直徑，

團(tuán)CZ）為直徑.則C'D=AB=2x8=16（cm）.

故答案為：16.

15.10A/3

【分析】連接0C交AB于點(diǎn)。，再連接0A.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定OCLAB,0D=CD；再根據(jù)垂徑定理

確定AO=8D；再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求出AB的長(zhǎng)度.

【詳解】解：如下圖所示，連接0C交于點(diǎn)。，再連接。人

A

團(tuán)折疊后弧45的中點(diǎn)C與圓心。重疊，

0OC1AB,OD=CD.

^AD=BD.

團(tuán)圓形紙片的半徑為10cm,

0OA=OC=10cm.

EI(?D=5cm.

0AD=7<M2-OD2=5V3cm.

EIBD=5A/3cm.

EIAB=A￡>+3D=10/cm.

故答案為：10月.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

16.66

【分析】如圖所示，連接。。交FG于氏連接。/，由正方形的性質(zhì)得到OLfflCE,OD=CE=6,0D=20H,

由垂徑定理得到FgFH,再利用勾股定理求出FH的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。。交尸G于連接OE

回四邊形OCQE是正方形，

0OD0CE,OD=CE=6,0D=20H,

^\FG=2FH,OH=3fOF=OD=6f

^FH=y/OF2-OH2=373-

0FG=2FH=6也,

故答案為：6A/3.

D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.6

【分析】過(guò)E作ER30C,交C。的延長(zhǎng)線于R利用勾股定理計(jì)算出0C和。4,再證明HAOCHSEOR得

到所=AC=4,最后利用三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)E作E兆。C,交CO的延長(zhǎng)線于居

EL4B=8,OD^AB,

SAC=BC=4,

設(shè)OC=x,0CZ)=2,

0AO=x+2,在團(tuán)OAC中，

42+X2=(X+2)2,

解得：x=3,即003,

^\OA=OE=5f

fHEACO二團(tuán)/，^\AOC=^EOFfAO=OEf

國(guó)AOCffiEOb(AAS),

I?1EF=AC=4,

IZBOCE的面積為:XocXEF=6,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，解題的關(guān)鍵是作出輔

助線，利用勾股定理列出方程，求出。C的值.

18.50A/3

【分析】設(shè)。。的半徑為x,則。4=180+尤，OC=65+x,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)列方程求

得x=50,再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得3歹=25百，根據(jù)垂徑定理即可求解.

【詳解】解：設(shè)。。的半徑為無(wú)，則。4=180+x,OC=65+x,

0RtAAOC中,ZACO=90°,ZOAC=30°,

0OA―2OCt即180+x=2(65+x),

解得x=50,

團(tuán)OB=OD-50,

設(shè)BE交OC于點(diǎn)、F,

^BE//AC,

?NOFB=NC=90°,ZOBF=ZA=30°9

SOF^-OB=25,

2

?BF=y/OB2-OF2=25百，

SZOFB=90°,

0EF=BF=25A/3,

SBE=50&(cm).

故答案為：5073.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

19.見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是圓心角，弧，弦的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.由SSS證明△OCD/△OCE,得出對(duì)應(yīng)角相等NCOD=/COE,由圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出

結(jié)論.

【詳解】證明：SOA=OB,AD=BE,

團(tuán)OD=OE,

在△OCD和△OCE中，

OD=OE

<CD=CE,

OC=OC

0AOC￡>^AOCE（SSS）,

QNCOD=NCOE,

團(tuán)AC=BC，即C為AS的中點(diǎn).

20.AD=4

【分析】連接0。交AC于E,根據(jù)垂徑定理的推論得出OOLAC,根據(jù)題意得出NAOE=60。,繼而得

出△Q4D為等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：連接交AC于E,如圖，

團(tuán)AD=CD,

團(tuán)AD=CD，

SOD1AC,

⑦ZAEO=9。。,

團(tuán)NC4B=30。，

團(tuán)NAO石=60。，

而。4=QD,

團(tuán)△QW為等邊三角形，

0A￡>=AO=-AB=-x8=4.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出8LAC是解題的關(guān)鍵.

2L⑴證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出AB+CD=Cr>+AO，則AC=89；

(2)因?yàn)锳B=CD,所以AB=CL>，即NACB=NO3C結(jié)合03=0C,得出E、。都在BC的垂直平分線上，

即可作答.

【詳解】(1)證明：SAB=CD,

AB=CD

SAB+CD=CD+AD，

即BD=AC-

0AC=BD.

(2)證明：連接03、OC、BC.

0AB=CA

^AB=CD

SZACB=ZDBC.

團(tuán)EB=EC

BOB=OC

回瓜。都在5c的垂直平分線上.

^EO±BG

22.證明見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE,AD=2AF,再證出AAObZACOE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

AF=CE,由此即可得證.

【詳解】證明：A3為。。的直徑，

:.CD=2CE,ZOEC=