2025屆江蘇省蘇州市常熟市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆江蘇省蘇州市常熟市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于,兩點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.2.的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則()A. B.C. D.3.若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,則()A.13 B.39C.45 D.214.焦點(diǎn)坐標(biāo)為,(0,4),且長(zhǎng)半軸的橢圓方程為()A. B.C. D.5.如圖,過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)、,交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn),若,且,則的值為()A. B.C. D.6.在正四面體中,點(diǎn)為所在平面上動(dòng)點(diǎn),若與所成角為定值,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)7.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影,則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.8.若點(diǎn)在橢圓上,則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.9.已知且,則的值為()A.3 B.4C.5 D.610.如圖已知正方體,點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)且,,則()A.當(dāng)時(shí),平面 B.當(dāng)時(shí),平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí), D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),11.是等差數(shù)列,,,的第()項(xiàng)A.98 B.99C.100 D.10112.若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為4,則的最大值是()A. B.C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)的斜率為,該切線(xiàn)的方程為_(kāi)_______.14.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則_____15.設(shè)橢圓,點(diǎn)在橢圓上,求該橢圓在P處的切線(xiàn)方程______.16.?dāng)?shù)列滿(mǎn)足前項(xiàng)和,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,側(cè)面PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,M,N分別為AB,AP的中點(diǎn).過(guò)MN的平面與側(cè)面PBC交于EF(1)求證:;(2)若平面平面ABC,,求直線(xiàn)PB與平面PAC所成角的正弦值18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足_______請(qǐng)?jiān)冖?;②,;③三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上,完成上述問(wèn)題.注:若選擇不同的條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前項(xiàng)和19.(12分)已知拋物線(xiàn)C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-1).(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)過(guò)拋物線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M:的一條切線(xiàn),切點(diǎn)為A,求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值.20.(12分)設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A,關(guān)于x的不等式的解集為B(1)求集合A,B;(2)若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍21.(12分)已知二次曲線(xiàn)的方程:(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線(xiàn)的條件;(2)若雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長(zhǎng),求雙曲線(xiàn)方程;(3)為正整數(shù),且,是否存在兩條曲線(xiàn),其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿(mǎn)足,若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由22.(10分)已知橢圓的離心率,左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程,聯(lián)立方程組,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得,進(jìn)而求得取值范圍,當(dāng)斜率不存在是,可得,兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得的值.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,,,聯(lián)立方程,得,恒成立,則,,,,,所以,當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),直線(xiàn)方程為,所以,,,綜上所述:,故選:B.2、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng),先求得x的指數(shù)為1時(shí)r的值,再求得a的值.【詳解】由題意得:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,令,則,故選:B3、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,則.故選:B.4、B【解析】根據(jù)題意可知,即可由求出,再根據(jù)焦點(diǎn)位置得出橢圓方程【詳解】因?yàn)?,所以,而焦點(diǎn)在軸上,所以橢圓方程為故選:B5、B【解析】分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)、,設(shè),根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及直角三角形的性質(zhì)可求得,結(jié)合已知條件求得,分析出為的中點(diǎn),進(jìn)而可得出,即可得解.【詳解】如圖,分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn)、,設(shè),則由己知得,由拋物線(xiàn)的定義得,故,在直角三角形中,,,因?yàn)椋瑒t,從而得,所以,,則為的中點(diǎn),從而.故選:B.6、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合,面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面,平面位置不同,生成的相交軌跡可以為拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、橢圓、圓.令與圓錐的軸線(xiàn)重合,如圖所示,則圓錐母線(xiàn)與所成角為定值,所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意,不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線(xiàn)平行,即軌跡不可能是雙曲線(xiàn).可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為,即時(shí),軌跡為拋物線(xiàn),時(shí),軌跡為橢圓,,所以軌跡為橢圓.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于難題.7、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影,所以的豎坐標(biāo)為0,橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選:D8、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓,則,解得,而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),所以橢圓離心率.故選:C9、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】由已知,解得故選:C10、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法一一計(jì)算可得;【詳解】解:由題可知,如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,因?yàn)椋?,所以,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以對(duì)于A(yíng):若平面,則,則,解得,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若平面,則,即,解得,故B錯(cuò)誤;當(dāng)為直角三角形時(shí),有,即,解得或(舍去),故C錯(cuò)誤;設(shè)到的距離為,則,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),,故正確故選:11、C【解析】等差數(shù)列,,中,,,由此求出,令,得到是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)【詳解】解:等差數(shù)列,,中,,令,得是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)故選:C12、A【解析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式,結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為,半徑為,所以直線(xiàn)過(guò)圓心,即,由于為正數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線(xiàn)斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo),然后利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,設(shè)切點(diǎn)為,可得,解得,即有切點(diǎn),則切線(xiàn)的方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,和求切線(xiàn)方程,難度不大,關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,14、【解析】設(shè),則,利用復(fù)數(shù)相等,求出,的值,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè),則,則由得,即,則,得,則,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,利用待定系數(shù)法,結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵15、【解析】由題意可知切線(xiàn)的斜率存在,所以設(shè)切線(xiàn)方程為,代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn),令判別式等于零,可求出的值,從而可求得切線(xiàn)方程【詳解】由題意可知切線(xiàn)的斜率存在,所以設(shè)切線(xiàn)方程為,將代入中得,,化簡(jiǎn)整理得,令,化簡(jiǎn)整理得,即,解得,所以切線(xiàn)方程為,即,故答案為:16、【解析】由已知中前項(xiàng)和,結(jié)合,分別討論時(shí)與時(shí)的通項(xiàng)公式,并由時(shí),的值不滿(mǎn)足時(shí)的通項(xiàng)公式,故要將數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式【詳解】∵數(shù)列前項(xiàng)和,∴當(dāng)時(shí),,又∵當(dāng)時(shí),,故,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中正確理解由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)公式的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)由題意先證明平面PBC,然后由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可證明.(2)由平面平面ABC,取BC中點(diǎn)O,則平面ABC,可得,由條件可得,以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,AO,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镸,N分別為AB,AP的中點(diǎn),所以,又平面PBC,所以平面PBC,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC,取BC中點(diǎn)O,連接PO,AO,因?yàn)槭堑冗吶切?,所以,所以平面ABC,故,又因,所以,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,AO,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得:,,,,,所以,,,設(shè)平面PAC的法向量為,則,則,令,得,,所以,所以直線(xiàn)PB與平面PAC所成角的正弦值為18、(1)條件選擇見(jiàn)解析,;(2).【解析】(1)選①,可得出,由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;選②,分析可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,根據(jù)已知條件求出的值,利用等差數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;選③,在等式中令可求得的值,即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問(wèn)1詳解】解:選①,因?yàn)椋瑒t,則,當(dāng)時(shí),,也滿(mǎn)足,所以,對(duì)任意的,;選②,因?yàn)?,則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,,解得,則;選③,對(duì)任意的,,則,可得,因此,.【小問(wèn)2詳解】解:因?yàn)?,因此?19、(1),焦點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)【解析】(1)將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求解出的值,則拋物線(xiàn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知;(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)切線(xiàn)垂直于半徑,根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)距離公式表示出,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最小值.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為:,焦點(diǎn)坐標(biāo)為;【小問(wèn)2詳解】解:設(shè),因?yàn)闉閳A的切線(xiàn),所以,,所以,所以當(dāng)時(shí),四邊形有最小值且最小值為.20、(1),(2)【解析】(1)直接解不等式即可,(2)由題意可得,從而可得解不等式組可求得答案【小問(wèn)1詳解】由,得,故由,得,故【小問(wèn)2詳解】依題意得:,∴解得∴m的取值范圍為21、(1)時(shí),方程表示橢圓,時(shí),方程表示雙曲線(xiàn);(2);(3)存在,且或或.【解析】(1)當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正,且不相等時(shí),方程表示橢圓;當(dāng)且僅當(dāng)分母異號(hào)時(shí),方程表示雙曲線(xiàn)(2)將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立化簡(jiǎn)得:,利用雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn),可確定的范圍,從而可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸,進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)方程;(3)由(1)知,,是橢圓,,,,是雙曲線(xiàn),結(jié)合圖象的幾何性質(zhì),任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn),任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn),從而可求【詳解】(1)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),方程表示橢圓;當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),方程表示雙曲線(xiàn)(2)化簡(jiǎn)得:△或所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為,當(dāng)時(shí),雙曲線(xiàn)實(shí)軸最長(zhǎng)為此時(shí)雙曲線(xiàn)方程為(3)由(1)知,,是橢圓,,,,是雙曲線(xiàn),結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn),任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn)設(shè),,,2,,,6,7,由橢圓與雙曲線(xiàn)定義及;所以所以這樣的,存在,且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:曲線(xiàn)方程的確定可分為兩類(lèi):若已知曲線(xiàn)類(lèi)型,則采用待定系數(shù)法;若曲線(xiàn)類(lèi)型未知時(shí),則可利用直接法、定

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