統(tǒng)編版2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

統(tǒng)編版（2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定2．設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.3．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.26．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個不同零點，則等于（）A. B.C.14 D.168．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.9．為了調(diào)查全國人口的壽命，抽查了11個省（市）的2500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量10．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測.把這批公務(wù)員按001到780進行編號，若054號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.52211．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.412．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.14．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.15．圓和圓的公切線的條數(shù)為______16．展開式中，各項系數(shù)之和為1，則實數(shù)_______．（用數(shù)字填寫答案）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的方程是.（1）求C的焦點坐標和準線方程；（2）直線l過拋物線C的焦點且傾斜角為，與拋物線C的交點為A，B，求的長度.18．（12分）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是銳角三角形，求c的值19．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點F為棱PD的中點，二面角的余弦值為.（1）求PD的長；（2）求異面直線BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.20．（12分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標記在長方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值22．（10分）已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.2、D【解析】因為，所以，，，，故選D3、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.4、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯(lián)立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點坐標為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.5、B【解析】由拋物線可得焦點坐標，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據(jù)點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.6、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點.當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點.故滿足題意的直線有2條.故選：B7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個不同零點，所以，由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故選：C8、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進行求解.【詳解】連接與，因為，則為所求，又是正三角形，.故選：C.9、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.10、D【解析】根據(jù)題意，求得組數(shù)與抽中編號的對應(yīng)關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測，故需要分為組，每組人，設(shè)第組抽中的編號為，設(shè)，由題可知：，故可得，故可得.當時，.故選：.11、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺溯S上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A12、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質(zhì)即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關(guān)于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關(guān)于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；14、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：15、3【解析】判斷出兩個圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：316、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數(shù)和，即可求出詳解】解：令，得各項系數(shù)之和為，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）焦點為，準線方程：（2）【解析】（1）拋物線的標準方程為，焦點在軸上，開口向右，，即可求出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）現(xiàn)根據(jù)題意給出直線的方程，代入拋物線，求出兩交點的橫坐標的和，然后利用焦半徑公式求解即可【小問1詳解】（1）拋物線的標準方程是，焦點在軸上，開口向右，，∴，∴焦點為，準線方程：.【小問2詳解】∵直線l過拋物線C的焦點且傾斜角為，，∴直線L的方程為，代入拋物線化簡得，設(shè)，則，所以故所求的弦長為1218、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理邊化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后檢驗可得.【小問1詳解】，即或【小問2詳解】因為是銳角三角形，所以因為所以由余弦定理得：即，解得或若，則，所以，不滿足題意；若，因為，且，所以，此時是銳角三角形.所以.19、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長；（2）由空間向量法求異面直線所成的角；（3）由空間向量法求線面角【小問1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線，建立如圖坐標系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，，即，平面的一個法向量是，因為二面角余弦值為.所以，（負值舍去）所以；【小問2詳解】由（1），，，，所以異面直線BF與PA所成角的余弦值為【小問3詳解】由（1）平面的一個法向量為，又，，所以直線AF與平面BCF所成角的正弦值為20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因為，則平面，由平面可得，故此時矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標原點，以，所在直線分別為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系．求出平面的一個法向量、平面的法向量，由二面角的空間向量求法可得答案.【小問1詳解】因為四邊形是等腰梯形，，所以，所以，即因為平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】以為坐標原點，以，所在直線分別為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，則，所以，，，由（1）可知平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量為，因為，，所以得令，則，，所以，則，所以平面與平面的夾