2025年高考數(shù)學一輪復習：階段滾動檢測（四）

階段滾動檢測(四)

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(2024?萍鄉(xiāng)模擬)已知“也c是空間中兩兩垂直的單位向量，則|3“+加2c|=()

A.聲B.14C，V2D.2

【解析】選A.依題意得，悶=|〃=|c|=l,a-b=a?c=cb=0;所以|3a+b-2c|=

J(3a+b-2c)2=J9a2+b=+4c?+6a?b-12a-4b<*9+1+4

2.在三棱錐P-ABC中，點0為AABC的重心，點D,E,F分別為側(cè)棱PA,PB,PC的

中點，若a=左6CE,c=無，則OP=()

111111

A-。a+-。b+^。cB.-。-a-。-b-。-c

"21,2—22,2

C.-~u-~b-~cD.分力+々c

jJjjj

【解析】選D.取5C的中點為M,如圖所示:

p

-?-4-A1-A-?

貝U“=AF=PF-PA、PC-PA,

-A-?-?]-A-?

b=CE=PE-PC=-PB-PC

25

-?-*-A]-A-A

C—BD=PD-PB^PA-PB

2

相力口可得?+Z>+c=-|(PA+-PB+-PC)=>PA+-PB+PC=-2(?+Z>+c),

所以O(shè)P=AP-A0=-PA-|AM

AB+AC)=-PA-|(PB-PA+PC-PA)

=-j(PA+PB+PC)=|(a+Z>+c).

3.(2024?無錫模擬)已知m,n,l是三條不重合的直線,a/是兩個不重合的平面，則下

列說法不正確的是()

A.若a//S/tuaJJHJm〃B

B.若加ua簿u￡,a〃尸，貝Um//n

C.若m//"，加_La,則nA.a

D.若m,n是異面直線，相〃a,n//a,/_L加且/_]_凡則/J_a

【解析】選B.對于A:兩個平面平行，一個平面內(nèi)的一條直線平行于另外一個平

面，故A正確；

對于B:兩個平行平面內(nèi)的兩條直線位置可以是平行或異面，即m//n不一定正確,

故B錯誤；

對于C:兩條平行線中的一條直線垂直于某個平面，則另外一條直線也垂直于此

平面，故C正確；

對于D:如圖，

因為加〃%所以存在直線a,aua且滿足a//m,

又L加，所以l±a,

同理存在直線b,bua且滿足b//n,

又所以

因為m,n是異面直線，

所以相交,設(shè)aC6=4

又a力ua,所以/故D正確.

4.西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一,是一款非常實用的泡茶工具

（如圖1）.西施壺的壺身可近似看成一個球體截去上下兩個相同的球缺的幾何體.

2

球缺的體積屋.”便為球缺所在球的半徑,％為球缺的高）.若一個西施壺的

壺身高為8cm,壺口直徑為6cm（如圖2）,則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚

度，兀取3.14)()

6cm

8cm

圖i圖2

A.494mLB.506mL

C.509mLD.516mL

【解析】選A.作出幾何體的軸截面如圖所示,

依題意48=6cm,(9為球心Q為壺口所在圓的圓心，所以AD=D8=3cm,因為

DE=8cm,

所以QD=OE=4cm,且0。_1_48,。8=出/彳=5仁111),所以球的半徑氏=5cm,所以

球缺的高為=5-4=1cm,

r-r-.xn(3/?-/l)/l2TT(3X5-1)X1214-rt2、

所以球缺的體積為一3一7—3------、-(cm3),

所以該壺壺身的容積約為9,53-2*苧］?2494mL.

5.(2024?北京模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形〃。=2/民巳4_L平

面45CQ,下列敘述中錯誤的是()

p.

A.48〃平面PCD

B.PB±BC

C.PCLBD

D.平面P4D，平面ABCD

【解析】選C.對于選項A:在矩形45CD中，因為45〃CQ,C7)u平面PCD4B仁

平面。皿,所以AB//平面故選項A正確；

對于選項B:P/_L平面/5C7),3Cu平面所以PA在矩形ABCD中

_L3cH3np4=力4民24<=平面必4所以3。，平面。胡，而Mu平面PA4,所以

依J_5C,故選項B正確；

對于選項C:因為尸/_L平面45CQ,而0>u平面/5CZ),所以。4，瓦),所以遢?

麗=0,而PC=PA+AC,PC-BD=(PA+AC)-BD=PA-BD+AC-BD=AC-BD,

在矩形ABCD中MC與BD不垂直，所以AC-麗加,即PC-BD#0,PC與BD不垂

直,故選項C不正確；

對于選項D:PO平面/5CZ)//u平面p/Q,所以平面平面45cZ),故選項

D正確.

6.(2024?北京模擬)已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為8^/3,

則直線4c與小B所成角的余弦值為（）

【解析】選D.如圖，連接4GQG,則40=45=2,正四棱柱/5CD4氏GA的體

積P^2x2x44]=又同，

貝U44=2力,因為4C〃4G,

則NC//為異面直線4c與4B所成角,

可得4iB=BCi=J2?+(2/)2=4HIG=(22+22=2"〉

故……

7.已知球O的半徑為2,三棱錐。-/5。底面上的三個頂點均在球0的球面上,

NA4C4,5。=",則三棱錐體積的最大值為（）

111J2

A;B-3C-2DT

【解析】選A.設(shè)ZU5C所在外接圓的半徑為廠,由得而=2/彳手|=2廠,-1,

sinz-D/icA/J

T

設(shè)三棱錐的高為九則層=22）=22一1=3,所以h=0,在&LBC中,如圖:

A點在劣弧^上運動,

BC

顯然當A點為一的中點時，高AD最大,

BC

的最大值為竿xtan*,

所以八45。面積的最大值為》》出廠，故三棱錐0-ABC體積的最大值為卜

44,

【加練備選】

（2024德州模擬）在三棱錐P-ABC中,ZU5C是以AC為斜邊的等腰直角三角

形,AP/C是邊長為2的正三角形,二面角P-AC-B的大小為150。,則三棱錐P-

/5C外接球的表面積為（）

28Tl52it

A?亍

28A/21TTc52gTT

C-27-D-~81~

【解析】選A.如圖，取4。的中點區(qū)連接

o

「

A

2

由題意48=5。得4。=企,刃=。。=2,

所以BHLAC,PHLAC,

所以/BHP為二面角P-AC-B的平面角，

所以NAf/P=150。，

因為ZU5C是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且心2,

所以AH=BH=CH=1,H為AABC外接圓的圓心，

又△P4C是邊長為2的等邊三角形，

所以HP=Q過點、〃作與平面ABC垂直的直線,則球心。在該直線上，

設(shè)球的半徑為民連接OB,OP,

可得。氏四力"=a2_1,

在△QPH中,NO/m=60。,利用余弦定理可得OP^Of^+HP^HOHPcos60°,

所以甯=我2一1+3一2義評二義國義；,解得R21,

所以外接球的表面積為4兀滅2手.

8.（2024?長春模擬）芻薯是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示,其底面

ABCD為矩形，頂棱PQ和底面平行，書中描述了芻疊的體積計算方法:求積術(shù)曰，

1

倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一,即修=%（2/5+尸0?。力（其中h是

芻疊的高,即頂棱PQ到底面ABCD的距離），已知AB=2BC=84PAD和△05。均

為等邊三角形，若二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均為120。,則該芻薯的體積

為（）

A.30GB.2073

C.yV^D,48+473

【解析】選D.如圖:分別取AD,BC的中點M,N,連接PM,QN,MN,

由底面ABCD為矩形，所以MN//AB,

因為頂棱PQ和底面ABCD平行，且平面平面245。門平面

ABCD^AB,

所以民所以PQ//MN,

即P,Q,N,M四點共面，過P,Q分別作直線MN的垂線，垂足為P；Q；

因為底面ABCD為矩形，易得ADLMN,

因為△丑4D為等邊三角形，且M為4D的中點，所以

因為尸Mu平面PP'Q'Q,

所以平面PPQ0,

因為PPu平面PPQ2所以4DLPP；

又因為PPLP。；且。0。40=必。寞，40(=平面ABCD,

所以PP_L平面45C7),

所以PP為PQ到底面ABCD的距離h,

同理可證:5CJ_平面PP。。,。?！蛊矫鍭BCD,

所以NP胚V為二面角P-AD-B的平面角,NQW為二面角Q-BC-A的平面角.

因為二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均為120°,

所以NP7kW=NQW=120。，

由AB=2BC=8APAD和△0BC均為等邊三角形，

易得pQ^p'M+MN+NQ^8+273'=3,

11

所以3(245+P0?C%q(2x8+8+2退)x4x3=48+4p.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

__1__

9.已知平面a的一個法向量為“1=(1,-2,-辦平面6的一個法向量為“2=(-1,0,-2),直

線I的方向向量為"=(1,0,2),直線m的方向向量為6=(0,1,-2),則()

A./〃a

B.a±^

C.l與m為相交直線或異面直線

D.a在b向量上的投影向量為他罰

1

【解析】選BC.對于A,因為“=(1,0,2),“1=(1,-2,-》且“?“1=1+0-1=0,所以a±?i,/

〃?；?ua,選項A錯誤；

對于B,因為"1=(1,-2,-；),“2=(-1,。,-2),且〃「〃2=-1+。+1=0,

所以“1_L〃2,平面打，⑸選項B正確；

對于C,因為?=(l,0,2),Z>=(0,l,-2),?與b不共線，所以直線I與m相交或異面，選項

C正確；

對于D,”在b向量上的投影向量為常丁喜丁章(0,1，一2)[0,一靠)，選項D

錯誤.

10.(2024?長沙模擬)已知S為圓錐的頂點M3為該圓錐的底面圓。的直徑，

ZSAB^5°,C為底面圓周上一點/切。=60。6。="，則()

A.該圓錐的體積為g

B.ACY

C.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180°

D.二面角A-BC-S的正切值為M

【解析】選AC.如圖，因為N"3=45。,

s

所以as/B為等腰直角三角形，

又則SA=SB=5

所以ABfsA?+s/=2,則70=50=1,

所以該圓錐的體積為修產(chǎn)6。三八正確；

易知A45C為直角三角形，且乙4cB=90。，

又NA4C=60。則N48C=30。，

所以^。與夕日口錯誤；

該圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其弧長/=2幾，

扇形半徑氏="="，設(shè)扇形圓心角為?,

所以a=^*n>7i,

所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180。。正確；

取BC的中點。，連接SQ0Q,則SD1BCQD為AABC的中位線，

11

所以O(shè)DLBCQD十C一

所以NODS為二面角A-BC-S的平面角，易知△SOD為直角三角形,

所以tanNODS'2,D錯誤

11.(2024?葫蘆島模擬)如圖,ZU5C為等腰直角三角形斜邊上的中線4)=24為

線段BD的中點，將ZU3C沿AD折成大小為］的二面角，連接5C,形成四面體C-

48D,若P是該四面體表面或內(nèi)部一點，則下列說法正確的是()

BED

A.若點P為CD的中點，則過A,E,P的平面將三棱錐A-BCD分成兩部分的體積

比為1：4

B.若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P的軌跡與平面ADC的交線長度為々

C.若點P在平面ACD上,且滿足尸4=2PQ,則點P的軌跡長度為可

D.若點P在平面ACD上,且滿足力=2PD,則線段PE長度的取值范圍是(手，手)

【解析】選BC.對A,如圖所示，由題意可知ADLDCADL

Z)民Z)CnZ)B=Z),Z)C,Z)Bu底面5cZ),故/Z)_L底面BCD.

1

由于E為線段BD的中點，點P為CD的中點，故S^EPFS博Be,

,13

又三棱錐A-DEP與三棱錐A-DBC等高，故VA-DEP^VA-DBGVA-EPCBFVA-DBG

故過4&P的平面將三棱錐/力CD分成兩部分的體積比為1：3,故A錯誤;

對B,若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P在過點E和平面ABC平行的平面

上,

如圖所示，設(shè)CD的中點為FAD的中點為G,連接則平面EFG〃平面

ABC,

則點P的軌跡與平面ADC的交線即為GF,

由于原ZU5C為等腰直角三角形,斜邊上的中線/。=2,故AC=2",

j

貝UGF^AC="^B正確；

對C,若點P在平面ACD上,且滿足PA=2PD以D為原點所在直線分別

為可軸建立平面直角坐標系，如圖，則4(0,2),。(2,0),

設(shè)Rx,歷,貝曠%2+(y_2,=2j%2+y2,

故P點在平面ADC上的軌跡即為圓弧(如圖所示),

NT

由爐+8+|)24可得圓心

則則點P的軌跡長度為白頭，故c正確；

對D,由題意可知5。，40乃。J_DC4D,QCu平面4DC,故5。J_平面ADC,

故PE^ED2+PZ)2=J1+PD2,由于P在圓弧-上,圓心為M,

NT

故當。在7時PD取最小值|,此時PE取最小值手；

當。在N時尸Z)取最大值竽，此時PE取最大值亨.

故線段PE長度的取值范圍是［孚,今卜故D錯誤.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.兩個非零向量”也定義|"x臼=同向sin<“力〉.若”=(1,0,1)/=(0,2,2)廁心臼=

答案：2々

【解析】設(shè)向量。力的夾角為“

因為”=(1,0,1)力=(0,2,2),

所以“|=",網(wǎng)=2避,“?=2,

所以廳2。舄,

COS\a\-\b\［2x2122,

因為［0,兀］，所以sin6>=Y，

所以I“x臼=10回sinX2->/2x^-=2^/3.

13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，尸Z_L底面/5CZX且底面各邊都相等，〃是尸。

上的一動點，當點M滿足時，平面MAD,平面OCT）.（只要填寫一個你

認為是正確的條件即可）

答案:（或BMLPC等，答案不唯一）

【解析】連接力。交助于點。（圖略）,因為左，平面平面/5C7）,所

以P4LBD

又由底面各邊都相等得4。J_0>,又從nzc=4所以班小平面R4C,所以BD±

PC.

所以當DAU。。（或尸。時，即有平面MBD,

而ocu平面PQ）,所以平面vaca平面PCD.

14.（2024?沈陽模擬）如圖,正方體/HCZMdiGA的棱長為2『是過頂點

B,DQi,Bi的圓上的一點,0為CG的中點.當直線PQ與平面ABCD所成的角最

大時，點P的坐標為；直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范

圍是.

答案:（1,1，士B+1）[0,^p]

【解析】過點。作瓦U平面交于點瓦交^于點凡易得

BD

,2(0,2,l),E(l,l，V3+l),F(l,l,-V3+l),

所以QE=(1,-1/\Z5),QF—(1,-1,-A/3).

由圖可知當點P在點E或點F的位置，即P的坐標為(1,1,±p+1)時直線PQ與

平面ABCD所成的角最大.

DL.______Cl

x

易得平面"8的一個法向量為"=(0,0,1).

設(shè)直線QE與平面ABCD所成的角為e,

QE?n

貝Usine=|cos<QE,">|=IIQEI-|n|-/f■，-弋

即直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為手.

當00〃平面ABCD時，直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值最小為0,

所以直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是[0,當].

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)如圖在直三棱柱48C-48cl中4c=3乃。=44]=448=5,點。為AB的

中I八占、

(1)求證:/—

【解析】⑴在A4BC中，因為/。=3〃3=5乃CM,

所以&45C為直角三角形4CL3C,

又在直三棱柱ABC-ABg中,CC」平面ABC,

所以cc」/ccGn3C=c,所以平面5CG,因為BC?平面BCG,所以

15C1；

(2)求三棱錐4-C。后的體積.

【解析】(2)在A4BC中，過。作民垂足為凡

因為平面/班平面A8C,且平面4屬MC平面所以CKL平面

ACBC3x412

而。/二

AB55'

因為匕41-BrCD~^C-A]DBJ

11

而ADR弓/虧XX

S4〃/11%ZZ54=10,

112

所以廠10x——=8

35

16.(15分)如圖,四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為直角梯形么5〃8,

/ABC=90W=4,BC=CD=2,APAD為等邊三角形乃

⑴證明：5Q_L平面。40；

【解析】⑴取"中點瓦連接。區(qū)因為45〃。/),//5。=90。/5=4乃。=。/)=2,

所以四邊形EBCD為正方形,A4EQ為等腰直角三角形，

則NADE=45。,N50E=45。，

得/4DE+/BDE=90。,故BD±AD,

因為BD±PA,PA^AD^A,PAADC.W^PAD,

所以5￡>J_平面P4D.

(2)求點C到平面PBD的距離.

【解析】(2)設(shè)點。到平面心。的距離為九

由(1)得PD=BD=2&,BDUD,

1

貝面積為

取AD中點。,連接R9,則POLADS通，

因為平面平面PAD,

所以BD±PO^DABCD,

所以POJ_平面48C7),

_111

又△5CD的面積為25c，CZ)=2,二棱錐C-PBD的體積為VC-PBD^^ABDP'h—VP-BCD^

2^/6

S^BCD-PO^,

得力用.即點C到平面PBD的距離為當.

17.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形石下分別為PA,BC的中

點

⑴證明:爐〃平面PCD.

【解析】⑴取PQ的中點G,連接CG,EG,

因為瓦方分別為PA,BC的中點，

1

所以EG〃皿灰?。，

1

又因為底面ABCD為菱形，所以CF//AD,CF^AD,^EG//CF,EG=CF,

所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以EF//CG,

又CGu平面。8四《平面PCD,

所以成”平面PCD.

(2)若平面ABCD,ZADC^nQ°M電＞=240=4,求直線AF與平面DEF所

成角的正弦值.

P

【解析】(2)連接皿

因為平面48CZ),Q￡Z)/u平面ABCD,

所以PD±DF,PDIDA,

因為四邊形"CD為菱形,N4DC=120。，

所以△5CQ為等邊三角形，

因為少為的中點，所以DFLBC,

因為所以DFLDA,

所以DFQAQP兩兩垂直，

所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,

因為所以^(0,0,0),F(V3,0,0)^(0,2,0),E(0,1,2),

則DE=(0,1,2),DF=(V3,0,0),AF=(V3,-2,0),

設(shè)平面DEF的法向量機=(%,*),

m?DE=y+2z:=0

則I?DF=7§\=。，令Z=1得利=(0,-2,1),

設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為6,

Im?AF|「

.—?—?|4|4\/35

貝Usin8=|cos<?i,AF>|=Im|IAFI=—=——,

75X35

所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為警.

18.（17分）（2024?武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面

P4D_L底面ABCD,E為線段PA的中點過C,D,E三點的平面與線段PB交于點

凡且PA=PD=AB=2.

B

⑴證明:EKL4D；

【解析】(I)由題意得〃5〃cz),

又48u平面仁平面PAB,

所以CQ〃平面P4A

又C￡>u平面CDEF,平面CZ)E/S平面PAB=EF,

所以CD//EF.

又craao,所以

(2)若四棱錐P-ABCD的體積為|,則在線段PB上是否存在點G,使得二面角G-

84的正弦值為￡?若存在，求得的值;若不存在,請說明理由.

【解析】⑵取40的中點連接。。，

因為刃=電),所以POVAD,

又平面P4D_L平面48s，平面平面平面PAD,

所以。0J_平面45C7),

18

所以展43s堂⑶/。/。每，則/DPO=4,

又。O2+(14Q)2=4,

所以P0=yf2^4D—2y/2.

取BC的中點為H,以O(shè)A,OH,OP所在直線分別為x軸j軸,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

貝UP(0,0，V2),5(V2,2,0),Z)(-V2,0,0),C(-V2,2,0),

所以PB=(A/2,2<A/2),CD=(0,-2,0),

假設(shè)存在點G,設(shè)PG=7PBQao,lD,G(xi,為/J

所以(%\/1/『平)=入(*,2,-->^2),

則G(溝,2九裾(1J)),

所以55=(72(1+^),21,72(14)),

設(shè)平面GCD的法向量為〃I=(M，為向),

Hi,DG=0

ni?CD=0,

Z

'的(1+A)%2+2Ay2+V2(l-A)2=0

即

-2了2=°

可取“1=(11,0)+1),

又平面ABCD的一個法向量n2=(0,0,l),

因為二面角G-CD-B的正弦值為

|A+1|2非

所以|C0S<〃i,〃2>尸，解得月或2=3(舍去).

1(A-1)2+(A+l)25

所以線段PB上存在點G,使得二面角G-CD-B的正弦值為此時冷

【加練備選】

（2024?岳陽模擬）如圖1,平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和R3AD拼接而

成，其中AB=BC=1,BC〃AD,PA=PD=&,PA上PDyAB上AD,PC<D相交于點。，現(xiàn)

沿著AD折成四棱錐P45CQ（如圖2）.

圖1圖2

⑴當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求點A到平面PCD的距離.

【解析】⑴在題圖1中，在RtAFMD中，尸/=尸。=",尸力_LP￡>,

所以40=2,易知四邊形ABCO為正方形，

所以40=1,即O為AD的中點，

在題圖2中，當四棱錐P-ABCD的體積最大時，

即側(cè)面底面ABCD,

因為側(cè)面PAD,

所以POJ_底面/5CZ）以O(shè)為原點所在直線分別為％軸、》軸、z

軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

貝U。(0,0,1)M(0,-1,0),5(11,0),C(1,0,0)Q(0,1,0),

所以AP=(0,1,1),CP=(-l,0,l),-P^(0,l,-l),

方法一：設(shè)平面PCD的法向量為*(%,*),

Im?CP=0

所以L?PD=O9

所以｛-Ji:)。所以帆=(1,1,1),

IAP-m|”

所以點A到平面PCD的距離為?^

方法二:(等體積法)

由題意得△尸CD為等邊三角形，且PC=PD=CD=?APCD=gxQ^y=^,S4ACD=3

x2xl=l,

設(shè)點A到平面PCD的距離為d,

因為Vp-ACD^VA-PCD^

11

所以5s^ACD?P。奇SAPCD,",

所以9卜1=|*9々,所以后.

(2)線段PD上是否存在一點。，使得平面QAC與平面ACD的夾角的余弦值為

竽?若存在，求出意的值;若不存在,請說明理由.

【解析】（2）假設(shè)存在,且設(shè)的=7瓦（OS於1）,

因為PD=(O,1,-1)?

所以而=AP+PQ=(O,1,1)+^PD=(0,1+2,14),

且AC=(1,1,O),

設(shè)平面3。的法向量為"=S也C）,

lu,AC=O

所以?AQ=O,

ri—I\?(a+5=0

所以((1+2)b+(1-A)c=09

所以“=(1-丸/-1/+1),

易知平面ACD的一個法向量為尸（0,0,1）,

因為平面3。與平面4cZ）的夾角的余弦值為U，

5道

所以H+”

|cos<",y>%UP-9-,

IHIJ(1-/I，+〃-1：+(%++)2*1

化簡整理得6A2-132+6=0,

解得丸］或2=|（舍去），線段PD上存在滿足條件的點Q且限2.

19.（17分）（2024?鄭州模擬）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法,其運算法則如

CL]a3ijk

z

下:hb2%=4/2。3+42濟。1+43ble2-的人2。1-42ble3-4/3c2.若%iyxi廁

ciC2C3x2y?.z2

稱axb為空間向量a與b的叉乘，其中a=Xii+y/+zi4(XiM/iWR)/=%2i+y2/+z2A

(x2,y2,z2￡R),"J,A｝為單位正交基底.以O(shè)為坐標原點,分別以ij,k的方向為x

軸、歹軸、z軸的正方向建立空間直角