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文檔簡介
遼寧沈陽市郊聯體2025屆高三數學第一學期期末達標測試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知實數,滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.82.在中,,則()A. B. C. D.3.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.若復數滿足(是虛數單位),則的虛部為()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.7.已知半徑為2的球內有一個內接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.8.關于函數有下述四個結論:()①是偶函數;②在區(qū)間上是單調遞增函數;③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④9.設集合,則()A. B. C. D.10.命題“”的否定為()A. B.C. D.11.已知命題:“關于的方程有實根”,若為真命題的充分不必要條件為,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.12.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.282二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數列中,為其前項和,,,則_________,_________.14.已知,,且,若恒成立,則實數的取值范圍是____.15.記復數z=a+bi(i為虛數單位)的共軛復數為,已知z=2+i,則_____.16.已知,為正實數,且,則的最小值為________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,點為圓:上一動點,過點分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長至點,使得,點的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,且,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數).點在曲線上,點滿足.(1)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求動點的軌跡的極坐標方程;(2)點,分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點,且滿足,求的值.19.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)設為曲線上位于第一,二象限的兩個動點,且,射線交曲線分別于,求面積的最小值,并求此時四邊形的面積.20.(12分)已知,,,,證明:(1);(2).21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,平面平面,點為棱的中點.(Ⅰ)在棱上是否存在一點,使得平面,并說明理由;(Ⅱ)當二面角的余弦值為時,求直線與平面所成的角.22.(10分)在中,角的對邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
畫出可行域,計算出原點到可行域上的點的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值,考查數形結合的數學思想方法,屬于基礎題.2、A【解析】
先根據得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點,且滿足,那么為的重心.3、B【解析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當,不充分故是必要不充分條件,答案選B【點睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡單題.4、D【解析】
根據拋物線的定義,結合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設,則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.5、A【解析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數可得復數,從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數的除法運算和復數的概念,屬于基礎題.復數除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數,轉化為乘法運算.6、B【解析】
列出循環(huán)的每一步,進而可求得輸出的值.【詳解】根據程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進行循環(huán),…,當,時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結構和條件結構的應用,主要考查學生的運算能力和轉換能力,屬于基礎題型.7、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側重考查數學運算的核心素養(yǎng).8、C【解析】
根據函數的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析,由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于,所以為偶函數,故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調遞增函數,所以②錯誤.當時,,且存在,使.所以當時,;由于為偶函數,所以時,所以的最大值為,所以③錯誤.依題意,,當時,,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個零點.由于為偶函數,所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述,正確的結論序號為①④.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.9、C【解析】
解對數不等式求得集合,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查對數不等式的解法,考查集合交集的概念和運算,屬于基礎題.10、C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎題.11、B【解析】命題p:,為,又為真命題的充分不必要條件為,故12、B【解析】
將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長交于點,其中,,,所以表面積.故選B項.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8(寫為也得分)【解析】
由,得,.當時,,所以,所以的奇數項是以1為首項,以2為公比的等比數列;其偶數項是以2為首項,以2為公比的等比數列.則,.14、(-4,2)【解析】試題分析:因為當且僅當時取等號,所以考點:基本不等式求最值15、3﹣4i【解析】
計算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點睛】本題考查了復數的運算,共軛復數,意在考查學生的計算能力.16、【解析】
由,為正實數,且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解:,為正實數,且,可知,,.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式的性質應用,恰當變形是解題的關鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)設,,,通過,即為的中點,轉化求解,點的軌跡的方程.(2)設直線的方程為,先根據,可得,①,再根據韋達定理,點在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無解,問題得以解決【詳解】(1)設,,則,,由題意知,所以為中點,由中點坐標公式得,即,又點在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設直線的方程為,因為,故,即①,聯立,消去得:,設,,,,,因為四邊形為平行四邊形,故,點在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無解,故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法,考查數學轉化思想方法,是中檔題.18、(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲線的參數方程消去t后,要注意x的范圍,再利用普通方程與極坐標方程的互化公式運算即可;(2)設,,由(1)可得,,相加即可得到證明.【詳解】(1),∵,∴,∴,由題可知:,:().(2)因為,設,,則,,.【點睛】本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化,考查學生的計算能力,是一道容易題.19、(1);(2)面積的最小值為;四邊形的面積為【解析】
(1)將曲線消去參數即可得到的普通方程,將,代入曲線的極坐標方程即可;(2)由(1)得曲線的極坐標方程,設,,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根據題意知,進而可得四邊形的面積.【詳解】(1)由曲線的參數方程為(為參數)消去參數得曲線的極坐標方程為,即,所以,曲線的直角坐標方程.(2)依題意得的極坐標方程為設,,,則,,故,當且僅當(即)時取“=”,故,即面積的最小值為.此時,故所求四邊形的面積為.【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先由基本不等式可得,而,即得證;(2)首先推導出,再利用,展開即可得證.【詳解】證明:(1),,,(當且僅當時取等號).(2),,,,,,,.【點睛】本題考查不等式的證明,考查基本不等式的運用,考查邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)見解析(2)【解析】
(Ⅰ)取的中點,連結、,得到故且,進而得到,利用線面平行的判定定理,即可證得平面.(Ⅱ)以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,設,求得平面的法向量為,和平面的法向量,利用向量的夾角公式,求得,進而得到為直線與平面所成的角,即可求解.【詳解】(Ⅰ)在棱上存在點,使得平面,點為棱的中點.理由如下:取的中點,連結、,由題意,且,且,故且.所以,四邊形為平行四邊形.所以,,又平面,平面,所以,平面.(Ⅱ)由題意知為正三角形,所以,亦即,又,所以,且平面平面,平面平面,所以平面,故以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,設,則由題意知,,,,,,設平面的法向量為,則由得,令,則,,所以取,顯然可取平面的法向量,由題意:,所以.由于平面,所以在平面內的射影為,所以為直線與平面所成的角,易知在中,,從而,所以直線與平面所成的角為.【點睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問題,意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與
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