海南省澄邁縣某中學2024-2025學年高三數(shù)學第一次模擬考試試題（含解析）

海南省澄邁縣澄邁中學2024-2025學年高三數(shù)學試題第一次模擬考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S"，若$8=16,a6=l,則數(shù)列｛4｝的公差為()

3322

A.-B.——C.-D.——

2233

2.函數(shù)丁=/(乃(X6火)在(-8,1］上單調(diào)遞減，且/(%+1)是偶函數(shù)，若/(2%-2)>/(2),則x的取值范圍是

()

A.(2,+co)B.(-oo,1)U(2,+co)

C.(1,2)D.(-oo,1)

3.袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果

兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是()

40708038

A.B.------C.------D.

243243243243

已知。+初(。力￡夫)是上的共輯復數(shù)，則。+匕=(

4.)

1-1

11

A.-1B.——C.-D.1

22

5.如圖，在三棱錐￡>—ABC中，DC,平面ABC,AC±BC,AC=BC=CD=2,E,F,G分別是棱AB,

AC,AD的中點，則異面直線BG與跖所成角的余弦值為

A.0B.—C.—D.1

33

47r

6.如圖所示，用一邊長為魚的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為《-的雞

蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）

A/2-I6+1

2"2

A/6-10-1

2,2

7.已知m為實數(shù)，直線4：iwc+y-1-Q,l2：（3m-2）x+my-2=0,貝（）““2=1”是“/1///2”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.已知全集。=R,集合M={x[—3<x<l},N={x||x|,,l},則陰影部分表示的集合是（）

C.(-oo,-3)U(-l,+oo)D.(-3,-1)

9.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達5處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在3處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點間的距離

A.6血海里B.6石海里C.8近海里D.83海里

10.已知函數(shù)/(X)=X2—2X,集合A={X"(X)<0},B={x\f\x)<0},則4口8=()

A.[-1,0]B.[-1,2]

c.[0,1]D.

11.已知函數(shù)/■(x)=(2a+2)lnx+2ox2+5.設(shè)a<-l,若對任意不相等的正數(shù)再，/，恒有"七)一"/)28,

X]—X?

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-2,-1)

C.(-00,-3]D.(-00,-2]

12.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(l+i)(2+i),則其共朝復數(shù)三()

A.l+3zB.l-3zC.-l+3iD.-l-3z

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(力=。-與g(x)=-尤-1的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點，則實數(shù)"的取值范圍為.

14.(x+2y)(x—y)5展開式中dV的系數(shù)為.

22

15.已知曲線Q：二—==l(x〉0),點A,B在曲線。上，且以A3為直徑的圓的方程是(x-2y+(y-l)2=l.則

2aa

a_.

16.如果函數(shù)/(可=(m—2卜2+2(n—8卜+1(機，且加之2,心0)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，那么加的最

大值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(%)=,一1|+卜—同(。wR).

(1)當a=4時，求不等式/(HP5的解集；

(2)若對xeR恒成立，求”的取值范圍.

18.(12分)如圖，在四棱柱C—A5EF中，平面A3所，平面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,

ZABE=9Q°,BE=EF=1,點M為6C的中點.

(I)求證：砌〃平面ACF；

(II)求二面角E—BC—/的余弦值.

(III)在線段石尸上是否存在一點N,使直線CN與平面8CT所成的角正弦值為*,若存在求出EN的長，若不

21

存在說明理由.

19.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形ABC。中，E是AD的中點，歹是CD的中點，現(xiàn)將三角形D跖沿翻

折成如圖2所示的五棱錐P-ABCFE.

(1)求證：AC〃平面PEF；

(2)若平面平面ABCFE,求直線P3與平面Q4E所成角的正弦值.

20.(12分)已知橢圓。：5+3=1(?！?〉0)的離心率為孝,

且過點

(I)求橢圓C的方程;

(II)設(shè)。是橢圓C上且不在X軸上的一個動點，。為坐標原點，過右焦點廠作。。的平行線交橢圓于〃、N兩個

|MN|

不同的點，求的值.

|OQ|2

21.(12分)底面ABC。為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若D4=OH=D5=4,

AE=CG=3.

(1)求證：EG工DF；

(2)求二面角A—5―C的正弦值.

22

22.(10分)已知橢圓￡:=+==1(?！?〉0)的左，右焦點分別為片，乃，|月月|=2,M是橢圓E上的一個動

ab

點，且△/月月的面積的最大值為JL

(1)求橢圓E的標準方程，

(2)若A(q,O),3(0,。)，四邊形A5C。內(nèi)接于橢圓E,AB//CD,記直線A。，3c的斜率分別為匕，k2,求證:人向

為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

依題意，S&==8(%；=］6,故%+4=4,故/=3，故d=-3%=_|,,故選：口.

本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.

2.B

【解析】

根據(jù)題意分析/Xx)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，即可得至！Jf(x)的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到x的取值

范圍。

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x)滿足/(x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，

若函數(shù)y=f(x)在(f,1］上單調(diào)遞減，則/(%)在［1,+8)上遞增，

所以要使/(2左一2)>/(2),貝U有|2x—2—1|>1,變形可得|2尤—3|>1,

解可得：》>2或尤<1,即％的取值范圍為u(2,+8)；

故選：B.

本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。

3.C

【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到

結(jié)果.

【詳解】

從6個球中摸出2個，共有方=15種結(jié)果，

兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

???摸一次中獎的概率是』=!，

153

5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是工，

3

,有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是-(|)3-(1)2=黑，

故選：C.

本題主要考查了〃次獨立重復試驗中恰好發(fā)生上次的概率，考查獨立重復試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，

相當于做了5次獨立重復試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題.

4.A

【解析】

先利用復數(shù)的除法運算法則求出生的值，再利用共軌復數(shù)的定義求出a+次，從而確定6的值，求出。+江

1-z

【詳解】

1+z_(1+7)2_2z_

口—(1+"(1_”_萬一〃

??a+bi==~if

b--1,

??a+b=:11,

故選：A.

本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軌復數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

根據(jù)題意可得3(7，平面4?！?gt;,EF//BC,則NCBG即異面直線BG與政所成的角，連接CG,在Rt^CBG中，

Be2J6

cosZ.CBG=——,易得8D=AD=AB=20，所以=所以cosNCBG=,故選B.

BCJ，63

6.D

【解析】

因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1，又因為雞蛋的體積為47r:，所

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離4=、卜]]=立，而截面到球體最低點距離為1-Y3,而蛋巢的高度為工,

V4222

_1,V3V3-1

故球體到蛋巢底面的最短距離為彳-1-==丫丁.

點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何

體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

7.A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

當m=l時，兩直線方程分別為直線li：x+y-1=0,b：x+y-2=0滿足li〃b,即充分性成立，

當m=0時，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

,.3m—2m-2

當lzm^O時，貝n！Ili〃12n---------=一豐—，

m1-1

3n7—2m

由------=一得m2-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由'W得m,2,則m=l,

1-1

即“m=l”是“h〃12”的充要條件，

故答案為：A

(1)本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能

力.⑵本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線囚x++q=0和直線生X+4丁+。2=。平行，則。也一。2乙=。且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.

8.D

【解析】

先求出集合N的補集再求出集合川與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由。=R,N={x||x|”l},可得用N={x|x<—1或x>l},

又M={x|-3<x<1}

故選：D.

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合A8可求，應用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACr>=110°,AZACB=110°-65°=45°,

180°-30°-45°=105°.又AB=24xO.5=12.

12BC

即變—11BC=6A/2-

T2

故選：A.

本題考查正弦定理的實際應用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

10.C

【解析】

分別求解不等式得到集合A,B，再利用集合的交集定義求解即可.

【詳解】

A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|2x-2W0}={x|x^l},

人口8={%|04<1}.

故選C.

本題主要考查了集合的基本運算，難度容易.

11.D

【解析】

求解/(X)的導函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)占,馬，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【詳解】

/（X）的定義域為（0,+8）,r（x）="±Z+4ax=生竺士刊，

XX

當1<-1時，r（x）<o,故/（X）在（。,+“）單調(diào)遞減；

不妨設(shè)玉<%2，而avT,知/（X）在（。,+8）單調(diào)遞減，

從而對任意為、無2￡（°，+8），恒有>8,

x{-x2

即|/（九1）—〃馬）上8忖—尤2卜

/（^）-/（X2）>8（X2-A1）,/（%）+8叫>/（^2）+8X2,

令g（x）=/（x）+8x,則g，（無）=衛(wèi)土2+46+8,原不等式等價于g（x）在（0,+。）單調(diào)遞減，即

JC

〃+1C,c

-----b2ox+4<0,

x

-4X-1（2x-lf中班（2x—

從而a<___=1----乙一2，因為^------L—2>-2，

2X2+12X2+12X2+1

所以實數(shù)a的取值范圍是（-8,-2]

故選：D.

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

12.B

【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出z,然后再根據(jù)共軌復數(shù)的概念直接寫出]即可.

【詳解】

由z=（1+i）（2+i）=1+3i,所以其共輾復數(shù)z=l-3z.

故選：B.

本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軌復數(shù)的概念，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.a<l

【解析】

先求得與g（X）關(guān)于x軸對稱的函數(shù)//（%）=X+1,將問題轉(zhuǎn)化為"X）=ae'與〃（％）=尤+1的圖象有交點，即方程

aex=x+l有解.對。分成a=。,a<0,a>0三種情況進行分類討論,由此求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

因為g(x)=-x-l關(guān)于x軸對稱的函數(shù)為〃(無)=尤+1,因為函數(shù)/'(x)=ae*與g(無)=一%—1的圖象上存在關(guān)于x軸的

對稱點，所以/(尤)=ae'與〃(無)=%+1的圖象有交點，方程ae*=x+l有解.

a=0時符合題意.

。/0時轉(zhuǎn)化為3=2(》+1)有解，即>=3,y=L(x+l)的圖象有交點，y=L(x+l)是過定點(—1,0)的直線，其

aaa

斜率為工，若。<0,則函數(shù)/=/與丁=工(％+1)的圖象必有交點，滿足題意；若a>0,設(shè)>=^,y=L(x+l)相

aaa

em1

m+1a,解得a=L切線斜率為4=1,由圖可知,

切時，切點的坐標為(加3m)，則<當即0<aWl時,

,1aa

en=—

a

y=e',y=，(x+l)的圖象有交點，此時，/(x)=ae*--與丸(x)=-必+x+l的圖象有交點，函數(shù)/(x)=ae*-必

.a

與g(x)=x2-X-1的圖象上存在關(guān)于X軸的對稱點，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為aWl.

故答案為：a<l

本小題主要考查利用導數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題，解決問題的能力,

推理與運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應用意識.

14.10

【解析】

把(x—y)5按照二項式定理展開，可得(x+2y)(x—y)5的展開式中的系數(shù).

【詳解】

解：(x+2y)(x—4=(x+2y).(仁?爐一仁?丁丁+C；?^y2一C；.x2y3+C；.x'y4-Cj),

故它的展開式中三y3的系數(shù)為一或+2C；=10,

故答案為：10.

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.土也

2

【解析】

設(shè)所在直線方程為/"：丁-1=左(％-2)設(shè)4、3點坐標分別為4(%,%)，3(%,%)，都在。上，代入曲線方程,

兩式作差可得4^2=彳」--=-x-=l,從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線與。的方程，由|AB|=2,利用

-x22y1+y222

弦長公式即可求解.

【詳解】

因為是圓的直徑，必過圓心(2,1)點，

設(shè)AB所在直線方程為lAB：y-l=k(x-2)

設(shè)A、3點坐標分別為A(七,弘)，B(x2,y2),都在。上,

f22

工」=1

Q22

故，a2兩式相減，

工上=1

、2/a2

可得(■-%)(3+々)=(%-%)(%+%)

2

2a之a(chǎn)

°%一為_1/+/_1乂4_

-----------------——x——1

-x22%+為22

(因為(2,1)是A5的中點)，即左=1

聯(lián)立直線A5與。的方程：

y=x-l

<無2,2=>冗2_4%+2+2〃2=0

萬-7=1

又|AB|=2,BP|AB|2=4,即

又因為%一%=斗一々,

則有4=2(%i—％y=2[(芯+%—4x/2]

=2#—4(2+2*]

即8—8/=2

故答案為：土走

2

本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.

16.18

【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式，利用基本不等式求解即可.

【詳解】

解:①當“7=2時，/(x)=2(ra-8)%+l,

/(X)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,

貝〃一8<0,即0?〃<8,

則0<加2<16.

②當加>2時，/(%)=(m-2)x2+2(n-8)x+l,

2(〃—8)n-S

函數(shù)開口向上，對稱軸為%=----k=-----

m—2

因為/(%)在區(qū)間；，2上單調(diào)遞減,

貝『忙

m—2

因為帆>2,l!]-(n-8)>2(m-2),

整理得2加+12,

又因為加＞2,〃20

則2"+力＞2y12mn?所以--」2mn

所以zm<18

當且僅當m=3,n=6時等號成立.

綜上所述，加〃的最大值為18.

故答案為：18

本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定，二正，三相等”.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){x|x<0或xN5}；(2)。4-3或。25.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解集，最后求并集(2)根據(jù)絕對值三角不等式得

/(另最小值，再解含絕對值不等式可得。的取值范圍.

X<]1<%<4x>4

試題解析：(1)卜―l|+|x—4]?5等價于或<或W

—Lx+5^53>5<2x-5>5

解得：xWO或x?5.故不等式/(%)之5的解集為{x|x<0或x25}.

(2)因為：f(x)=|x-l|+|x—-1)—(%—tz)|=|tz—1|

所以=卜—1，由題意得：|a—1|24,解得aW—3或a?5.

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

18.(I)證明見解析；(II)2互；(III)線段砂上是存在一點N,|EN|=1-交，使直線CN與平面尸所成

72

的角正弦值為叵.

21

【解析】

(I)取AC中點P,連結(jié)MP、FP,推導出四邊形EFR似是平行四邊形，從而FP//EM,由此能證明EM//平

面ACN;(II)取A3中點。，連結(jié)CO,R9,推導出平面ABC,OCLAB,以。為原點，OC為x軸，OB

為V軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-6C-尸的余弦值；(III)假設(shè)在線段所上

是存在一點N,使直線CN與平面尸所成的角正弦值為注二沒EN=t.利用向量法能求出結(jié)果.

21

【詳解】

(I)證明：取AC中點尸，連結(jié)上0、FP,

?.?AABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,ZABE=90°,5E=￡尸=1，點〃為的中點，

.?.四邊形瓦RW是平行四邊形，...FP//EM,

?.?EMU平面ACN,FPu平面ACN,

二EM//平面ACF.

(II)解：取AB中點。，連結(jié)CO,FO,

,??在四棱柱C—A5跖中，平面平面ABC,AABC是邊長為2的等邊三角形，

AB//EF,ZABE=90°,班=中=1，點M為的中點，

.?.E0,平面ABC,OCLAB,

以。為原點，oc為％軸，08為y軸，(牙為z軸，建立空間直角坐標系，

3(0,1,0),C(布,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),

阮=（6-1,0）,而=（o,o,1）,而=（o,-1,1）,

設(shè)平面BCE的法向量為=(元，y,Z),

n-BC=#>x-y=0w

則―.,取尤=1得法=(1,石，。)，

n-BE=z=0

設(shè)平面8（7的法向量說=（。，b,。），

m-BC=y/3a-b=0?，口一

則nl〈__.,IX<2=1,m=（1,V3,v3）,

m-BF=~b+c=0

設(shè)二面角￡—5C—歹的平面角為。，

則3。=篙％

???二面角E—BC—歹的余弦值為2互.

7

(III)解：假設(shè)在線段硬上是存在一點N,使直線CN與平面8C尸所成的角正弦值為叵，設(shè)|EN|=r.

21

則N（0,1—t,1）,CN=（-s/j,1-t,1）,平面5C廠的法向量比=（1,6,世），

I，而

二.|cos<CN,m>|=

\CN\.\m\,4+(17)2.近21

解得7=1—YZ,

2

二線段EE上是存在一點N,IEN|=1-日,使直線CN與平面83所成的角正弦值為巨.

21

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線

線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.(1)證明見解析；(2)獨0.

15

【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可

(2)取所的中點。，并分別連接OP,OB,然后，證明相應的線面垂直關(guān)系，分別以O(shè)E,OB,OP為x軸，y

軸，z軸建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行求解即可

【詳解】

證明：(1)在圖1中，連接AC.

又E,尸分別為AD,CD中點，

所以所||AC.即圖2中有所||AC.

又EFu平面PEF，AC(Z平面？EF，

所以AC〃平面p

解：(2)在圖2中，取所的中點。，并分別連接0尸，0B.

分析知，OPVEF,OB1EF.

又平面平面ABCFE,平面PEF。平面ABC￡E=EF,POu平面？EF,所以尸0,平面ABCTE.

又AB=4，所以PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=6，OB=342-

分別以O(shè)E,08,OP為X軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則0(0,o,o),P(0,0,V2),B(0,372,0),

E(0,O,O),A(2A/2,V2,0),所以而=(0,-3①⑹，麗=("后,0),每=1工0,吟.

_.、yjlx+拒y=0

設(shè)平面Q4E的一個法向量"=(%,y,z),貝,

-V2x+V2z=0

取x=l,則y=—1,z=l，所以3=(1,—1,1).

又BP-n=|BP||zz|cos<BP,n>,

---0x1+卜3行卜(-1)+應義1后

所以cos<BP,n>=i——----=2,3°

y/o2+(-3A/2)2+(V2)2X^12+(-1)2+1215

分析知，直線QB與平面Q4E所成角的正弦值為2甄.

15

本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題，屬于基礎(chǔ)題

22

20.(I)—+^=1(II)1

42

【解析】

(I)由題，得6=￡=也，二+3=1,解方程組，即可得到本題答案;

ala-2b2

x=my

（II）設(shè)直線。。：％=7盯，則直線MN:x=my+行，聯(lián)立＜X2y2>得

142

x=my+^2

4m244m2+4

------------1-----------=-------------聯(lián)立<y2,得

m2+2m2+2m2+2-----1-----=1

[42

|MN|=歷豆/（乂+丫2）2-4%%=A/TT記豈近丁+Y—=”二，由此即可得到本題答案.

Vm+2m+2m+2

【詳解】

（I）由題可得6='=@,即

a222

將點［1,二丁|代入方程得+=1，即f1T=解得。2=4,

2/2b2a2a2

22

所以橢圓。的方程為：—+^=1;

42

（II）由（I）知，尸（衣0）

設(shè)直線OQ：x=7〃y,則直線MN:x=?ny+行，

x—my

AVYP"4

聯(lián)立《必丁整理得演2=*，—

l42

4m244m2+4

所以|。。/=%2+%2------------1------------=-------------

m2+2m2+2m2+2

x=my+\/2

聯(lián)立《22整理得（加2+2J、/+ly/lmy-2=0,

工+匕一1

[42

設(shè)”，則X+%=_2?：------^-―

m+2m+2

所以|MN|=71+m2"（x+%尸=，1+療J//：）?+8=%+：

Vm+2m2+2m+2

4m2+4

\MN\_療+

所以兩2=1.

4m2+4

m2+2

本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學生的運算求解能力.

21.(1)見解析；(2)sin6=W^

4

【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明EG，平面瓦川出，再證明線線垂直即可；

(2)建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面CEH的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.

【詳解】

(1)證明：連接AC,由AE,CG平行且相等，可知四邊形AEGC為平行四邊形，所以EG//AC.

由題意易知AC,3。，AC±BF,所以EGLB。，EG±BF,

因為所以EG,平面BDfflL

又DFu平面BDHF,所以EG，。7.

(2)設(shè)EGCHF=P,由已知可得：平面ADHE//平面BCGF,

所以EH〃FG,同理可得：EFHHG,所以四邊形石尸G”為平行四邊形，

所以P為EG的中點，