上海市閔行區(qū)七寶中學2021屆高三高考數(shù)學模擬試卷(2021.05)-含解析

PAGE12021年上海市閔行區(qū)七寶中學高考數(shù)學模擬試卷（5月份）一、填空題（第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，滿分54分）1．已知i為虛數(shù)單位，且（1+i）z＝i3，則復數(shù)z的虛部為．2．已知集合A＝R，B＝?，則A∪B＝．3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的左、右焦點，點P在C上1F2的周長為．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，則3x1，3x2，3x3，3x4的方差為．5．計算行列式的值為．6．已知正整數(shù)數(shù)列{an}滿足，則當a1＝8時，a2021＝．7．為迎接2022年北京冬奧會，某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，三等品．從這批雪車中隨機抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，則抽到一等品的概率為．8．已知二項式（2x﹣）n的展開式的二項式的系數(shù)和為256，則展開式的常數(shù)項為．9．已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣2cosx，當x＝α時f（x），則cosα＝．10．在正方形ABCD中，O為對角線的交點，E為邊BC上的動點，若，則．11．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分別為棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中點，三棱錐M﹣PQN的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q為非零實數(shù)，則q的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則“Sn存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件14．Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（參考數(shù)據(jù)ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．6315．對于定義域為R的函數(shù)y＝g（x），設(shè)關(guān)于x的方程g（x）＝t，記根的個數(shù)為fg（t），給出下列兩個命題：①設(shè)h（x）＝|g（x）|，若fh（t）＝fg（t），則g（x）≥0；②若fg（t）＝1，則y＝g（x）為單調(diào)函數(shù)；則下列說法正確的是（）A．①正確②正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①錯誤②錯誤16．關(guān)于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三個不同的實根，則2a+b的最小值為（）A． B．﹣3 C． D．0三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E．17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD內(nèi)接于半徑為2的圓O，AB為圓O的直徑，2DC＝AB，E為AB上一點，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）銳二面角C﹣PB﹣D的余弦值．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的長度；（2）三角形ABD的面積．19．業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準備研發(fā)一款產(chǎn)品，研發(fā)啟動時投入資金為A（A為常數(shù)）元，n年后總投入資金記為f（n），經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當0≤n≤10時，f（n）（n）＝，其中為常數(shù)，f（0）（1）研發(fā)啟動多少年后，總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍；（2）研發(fā)啟動后第幾年的投入資金的最多．20．（16分）已知點F為拋物線的焦點，點D（0，4），直線l：y＝t（t為常數(shù)）截以AD為直徑的圓所得的弦長為定值．（1）求焦點F的坐標；（2）求實數(shù)t的值；（3）若點E（0，3），過點A的直線y＝x+m交拋物線于另一點B，AB的中垂線過點D21．（18分）已知數(shù)列{an}（an∈N），記Sn＝a1+a2+?+an，首項a1＝n0＞0，若對任意整數(shù)k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整數(shù)倍．（Ⅰ）若a1＝21，寫出數(shù)列{an}的前10項；（Ⅱ）證明：對任意n≥2，數(shù)列{an}的第n項an由a1唯一確定；（Ⅲ）證明：對任意正整數(shù)n0，數(shù)列{Sn}從某一項起為等差數(shù)列．

參考答案一、填空題（第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，滿分54分）1．已知i為虛數(shù)單位，且（1+i）z＝i3，則復數(shù)z的虛部為﹣．解：∵（1+i）z＝i3，∴（4﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（﹣i），∴2z＝﹣1﹣i，化為：z＝﹣﹣i，∴復數(shù)z的虛部為，故答案為：﹣．2．已知集合A＝R，B＝?，則A∪B＝R．解：∵A＝R，B＝?，∴A∪B＝R．故答案為：R．3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的左、右焦點，點P在C上1F2的周長為10．解：由題意知：橢圓C：＝1中a＝4，c＝2，∴△PF4F2周長＝2a+7c＝6+4＝10．故答案為：10．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，則3x1，3x2，3x3，3x4的方差為3．解：因為x1，x2，x4，x4的方差是，則3x1，3x2，3x8，3x4的方差為＝3．故答案為：3．5．計算行列式的值為﹣3．解：行列式＝1×2×（﹣3）+0×1×2+（﹣1）×0×6﹣（﹣1）×2×4﹣1×1×3﹣（﹣3）×0×5＝﹣3．故答案為：﹣3．6．已知正整數(shù)數(shù)列{an}滿足，則當a1＝8時，a2021＝4．解：∵a1＝8是偶數(shù)，∴a7＝＝＝4是偶數(shù)，∴a7＝＝＝2是偶數(shù)，∴a8＝＝＝1是奇數(shù)，∴a4＝3a4+5＝3×1+8＝4是偶數(shù)，∴a6＝2是偶數(shù)，∴a7＝1是奇數(shù)，???，從第二項開始，正整數(shù)數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，∵2021＝1+673×3+2，∴a2021＝a2＝4，故答案為：4．7．為迎接2022年北京冬奧會，某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，三等品．從這批雪車中隨機抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，則抽到一等品的概率為0.78．解：設(shè)抽到一等品，二等品，B，C，則，解得，\所以抽到一等品的概率為0.78．故答案為：0.78．8．已知二項式（2x﹣）n的展開式的二項式的系數(shù)和為256，則展開式的常數(shù)項為112．解：∵二項式（2x﹣）n的展開式的二項式的系數(shù)和為7n＝256，∴n＝8，則展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?27﹣r?x12﹣2r，令12﹣2r＝7，求得r＝6，故常數(shù)項為?22＝112，故答案為：112．9．已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣2cosx，當x＝α時f（x），則cosα＝﹣．解：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（sinx﹣sin（x﹣θ）∵x＝α時，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（α﹣θ）＝8，即sinα﹣2cosα＝，又sin5α+cos2α＝1，聯(lián)立得（4cosα+）2+cos8α＝1，解得cosα＝﹣．故答案為：﹣．10．在正方形ABCD中，O為對角線的交點，E為邊BC上的動點，若，則．解：如圖所示，以點A為原點，AD分別為x，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則A（0，B（7，C（2，D（0，O（2，因為點E是邊BC上的動點，所以設(shè)點E的坐標為（2，則由可得：（2，7）+μ（1，所以2λ+μ＝8，即＝1，所以＝（）＝2+，當且僅當時取等號的最小值為，故答案為：．11．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分別為棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中點，三棱錐M﹣PQN的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為8π．解：三棱錐M﹣PQN的頂點在同一個球面上，由點P為棱CC1的中點，可得底面△PQN是等腰直角三角形，那么底面△PQN的外接圓半徑r＝1，設(shè)球心到△PQN的外接圓的圓心的距離為d，球半徑R，則，①d2+r6＝R2，②聯(lián)立①②解得R＝．∴該球的表面積S＝5πR2＝8π．故答案為：3π．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q為非零實數(shù)，則q的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．解：根據(jù)題意，分情況討論：①當0＜q＜1時，有4＞q＞q2＞q3＞q2＞q5＞0，此時有2＜1﹣q＜1﹣q7＜1﹣q3＜4﹣q4＜1﹣q8＜1，滿足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|2﹣q5|，符合題意，②當q＝1時，也能滿足|5﹣q|≤|1﹣q2|≤|5﹣q3|≤|1﹣q7|≤|1﹣q5|，符合題意，③當q＞5時，1＜q＜q2＜q5＜q4＜q5，此時有3＞1﹣q＞1﹣q5＞1﹣q3＞5﹣q4＞1﹣q3，滿足|1﹣q|≤|1﹣q6|≤|1﹣q3|≤|2﹣q4|≤|1﹣q2|，符合題意，④當﹣1≤q＜0時，|4﹣q|＞|1﹣qn|，不滿足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q5|≤|1﹣q4|≤|5﹣q5|，⑤當﹣2＜q＜﹣8時，|1﹣q|＞|1﹣qn|，不滿足|4﹣q|≤|1﹣q2|，⑥當q≤﹣3時，q2﹣1﹣（8﹣q3）＝q2（7+q）﹣2＜0 恒成立3﹣1＜1﹣q2，同理可證得1﹣q3＜q6﹣1＜1﹣q4，符合題意，綜上所述，q的取值范圍為（﹣∞，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣2]∪（0．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則“Sn存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件解：①當q＝1時，則Sn＝na1，∴Sn＝na2不存在，②當|q|＞1時，則Sn＝，∵qn不存在，∴Sn不存在，③當0＜|q|＜2時，則Sn＝，∵qn＝0，∴Sn＝，∴必要性成立，反之當Sn存在時，則qn＝0，∴0＜|q|＜2，∴Sn存在是0＜|q|＜1的充要條件．故選：C．14．Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（參考數(shù)據(jù)ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．63解：由已知可得＝6.95K﹣0.23（t*﹣50）＝，兩邊取對數(shù)有﹣5.23（t*﹣50）＝﹣ln19，解得t*≈63，故選：D．15．對于定義域為R的函數(shù)y＝g（x），設(shè)關(guān)于x的方程g（x）＝t，記根的個數(shù)為fg（t），給出下列兩個命題：①設(shè)h（x）＝|g（x）|，若fh（t）＝fg（t），則g（x）≥0；②若fg（t）＝1，則y＝g（x）為單調(diào)函數(shù)；則下列說法正確的是（）A．①正確②正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①錯誤②錯誤解：∵h（x）＝|g（x）|≥0，對任意的t＞0h（t）＝5，則fg（t）＝fh（t）＝0，則g（x）≥0；取，則fg（t）＝1，但g（x）不是單調(diào)函數(shù)；故選：B．16．關(guān)于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三個不同的實根，則2a+b的最小值為（）A． B．﹣3 C． D．0解：由條件知b≥0，方程可化為|x+a|+|2x﹣a|＝a7+b或|x+a|+|2x﹣a|＝a2﹣b，當a＜7時，|x+a|+|2x﹣a|＝，如圖所示，若方程有三個不同的實數(shù)根2+b和直線y＝a2﹣b共有6個交點，當x＝時，y＝，可得或a≥0（舍），則2a+b＝，當a＝時，2a+b取得最小值為．又當a＞0，b＞3時．綜上所述，2a+b的最小值為．故選：A．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E．17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD內(nèi)接于半徑為2的圓O，AB為圓O的直徑，2DC＝AB，E為AB上一點，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）銳二面角C﹣PB﹣D的余弦值．解：（1）連接OD，OC，∵AB∥CD，∴∠AOD＝∠ODC＝60°，∵ED⊥AB，∴，EO＝1，∴，∴，∴四棱錐P﹣ABCD的體積為．（2）如圖建立空間直角坐標系E﹣xyz，則B（0，3，7），，，0，3），∴，，，設(shè)平面PBD的法向量為，由，即，取y1＝6，則x1＝，z4＝1，得，設(shè)平面PBC的法向量為，由，即，取y2＝2，則x2＝，z2＝1，得，設(shè)銳二面角C﹣PB﹣D的大小為θ，則，∴銳二面角C﹣PB﹣D的余弦值為．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的長度；（2）三角形ABD的面積．解：（1）在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD8﹣2BC?CD?cos∠BCD＝，則BD＝4．（2）在△ABD中，∠BAD＝180°﹣30°﹣45°＝105°，sin105°＝sin（45°+60°）＝，由正弦定理可得，則＝．19．業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準備研發(fā)一款產(chǎn)品，研發(fā)啟動時投入資金為A（A為常數(shù)）元，n年后總投入資金記為f（n），經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當0≤n≤10時，f（n）（n）＝，其中為常數(shù)，f（0）（1）研發(fā)啟動多少年后，總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍；（2）研發(fā)啟動后第幾年的投入資金的最多．解：（1）由題意知f（0）＝A，f（3）＝3A．所以解得．令f（n）＝7A，得，解得an＝64，即，所以n＝9．所以研發(fā)啟動4年后，總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍．（2）由（1）知第n年的投入資金＝f（n）﹣f（n﹣1）＝＝，當且僅當，即等號．所以研發(fā)啟動后第6年的投入資金增長的最多．20．（16分）已知點F為拋物線的焦點，點D（0，4），直線l：y＝t（t為常數(shù)）截以AD為直徑的圓所得的弦長為定值．（1）求焦點F的坐標；（2）求實數(shù)t的值；（3）若點E（0，3），過點A的直線y＝x+m交拋物線于另一點B，AB的中垂線過點D解：（1）∵拋物線，即x2＝4y，∴F（2．（2）設(shè)點，AD的中點為，設(shè)截得得弦為GH，圓心C到弦的距離為d，則＝，得與x6無關(guān)，所以t＝3．（3）設(shè)A（x1，y5），B（x2，y2），線段AB的中點為G，聯(lián)立，∵△＞4∴16+16m＞0∴m＞﹣1，∵x7+x2＝4，x5x2＝﹣4m，y4+y2＝4+8m，∴G（2，2+m），∴符合m＞﹣1，∵＝，點E到AB的距離