初中數(shù)學(xué)九年級(jí)復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系

專題20直線與圓的位置關(guān)系(1)

閱讀與思考

圓心到直線的距離與圓的半徑的大小量化確定直線與圓的相離、相切、相交三種位置關(guān)系.直線與圓相

切是研究直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn)與切線相關(guān)的知識(shí)，包括弦切角、切線的性質(zhì)和判斷、切線長(zhǎng)定理、

切割線定理等.

證明一直線是圓的切線是平面幾何問題中一種常見的題型，證明的基本方法有：

1.利用定義，判斷直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2.當(dāng)已知一條直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，就把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，再證明這條半徑和直線垂

直；

3.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有確定時(shí)，就過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑

熟悉如下基本圖形和以上基本結(jié)論.

例題與求解

【例1】如圖，已知AB為。。的直徑,CB切。。于點(diǎn)2,切。。于點(diǎn)O,交的延長(zhǎng)線于E

若AB=3,DE=2,則BC的長(zhǎng)為()(青島市中考試題)

A.2B.3C.3.5D.

例1題圖

解題思路：本例包含了切線相關(guān)的豐富性質(zhì)，從C點(diǎn)看可應(yīng)用切線長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看可應(yīng)用切割線定

理，又EC為。。的切線，可應(yīng)用切線性質(zhì)，故解題思路廣闊.

【例2】如圖，。。是△ABC的外接圓，已知NACB=45°,ZABC=120°,。。的半徑為1.

(1)求弦AC,AB的長(zhǎng)；

(2)若尸為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試確定尸點(diǎn)的位置，使力與。。相切，并證明你的結(jié)論.

(哈爾濱市中考試題)

解題思路：第(2)題是考查探索能力的開放性幾何題，只要探求得PB與8C,或PC與BC的關(guān)系，或

求得PB或PC的長(zhǎng)，點(diǎn)尸的位置即可確定.

【例3】已知"BC是。。的內(nèi)接三角形，為。。的切線，B為切點(diǎn),尸為直線上一點(diǎn).過點(diǎn)尸

作BC的平行線交BT于點(diǎn)￡,交直線AC于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)(如圖)，求證：PA-PB^PE-PF-,

(2)當(dāng)點(diǎn)尸為線段姑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，

請(qǐng)說明理由.(北京市中考試題)

解題思路：本例是“運(yùn)動(dòng)型”的開放性問題，要求點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中，判斷原結(jié)論是否成立，通過觀察、

比較、歸納、分析等系列活動(dòng)，逐步確定應(yīng)有的結(jié)論.

【例4】已知：如圖1,把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與邊0c上的動(dòng)點(diǎn)尸重合(尸不與點(diǎn)。，

C重合)，為折痕，點(diǎn)、M,N分別在邊8C,上.連接AP,MP,AM,AP與MN相較于點(diǎn)R。。過

點(diǎn)M,C,P.

(1)請(qǐng)你在圖1中作出。。(不寫作法，保留作圖痕跡)；

A17Ap

(2)煞與於是否相等？請(qǐng)說明理由；

/1/V/1Z-X

(3)隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)，若。。與AM相切于點(diǎn)M時(shí)，。。又與相切于點(diǎn)".設(shè)AB為4,請(qǐng)你通過

計(jì)算，畫出這時(shí)的圖形(圖2、圖3供參考).

(宜昌市中考試題)

解題思路：對(duì)于(3),只依靠AB的長(zhǎng)不能畫出圖形，需求出關(guān)鍵的量，因?yàn)?=90°,。。過點(diǎn)

C,P,故將畫出矩形的條件轉(zhuǎn)化為求出CP(或MP)的長(zhǎng)當(dāng)矩形確定后，依據(jù)線段CP的長(zhǎng)，就可確定尸

點(diǎn)的位置.

【例5】如圖，已知△ABC內(nèi)接于。。，AD,為。。的切線，作DEUBC,交AC于點(diǎn)E,連接￡。并

延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E求證：BF=FC.（太原市競(jìng)賽試題）

解題思路：要證明BF=PC,只需證FO_LBC即可，連接。4,OB,0D,將問題轉(zhuǎn)化為證明NZM。

=ZEFC.

【例6】如圖，在等腰△A8C中，已知AB=AC,/C的平分線與4B交于點(diǎn)尸，M是△ABC的內(nèi)切。/與

邊BC的切點(diǎn)，作ATO//AC,交。/于點(diǎn)。，求證：尸。是。/的切線.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：設(shè)。/切AB于點(diǎn)S,連接的，/S,〃），直接證明/尸。/=90°困難，不妨證明ZW）/=N

PSI,即證明△P/S0ZV7D

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.B4,PB切。。于A,8,ZAPB=78°，點(diǎn)C是。。上異于A,8的任意一點(diǎn)，則/ACB=.

2.如圖，以AABC的邊A8為直徑作。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作。。的切線交AC于點(diǎn)E.要使￡）E_L

AC,則△ABC的邊必須滿足的條件是（武漢市中考試題）

第2題圖第3題圖

3.如圖，物切。。于點(diǎn)A,C是上任意一點(diǎn)，ZPAB=62°,則/C的度數(shù)是.

（荊門市中考試題）

4.直角梯形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AZ）+BC<OC.若腰。C上有一點(diǎn)尸，APLBP,則這

樣的點(diǎn)（）

A.不存在B.只有一個(gè)C.只有兩個(gè)D.有無數(shù)個(gè)

5.如圖，已知AB是。。的直徑，CD,CB是。。的切線，D,8為切點(diǎn)，0C交。。于點(diǎn)E,AE的

延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F連接AZ）,BD,給出以下四個(gè)結(jié)論：①4D〃0C；②E為△COB的內(nèi)心；@FC=FE.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

6.如圖，ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，AC平分/氏4。并與8。相交于E點(diǎn)，CB切。。于點(diǎn)C并與

AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)?圖中的四個(gè)三角形①②△ABC,③④△BEC,其中一定相似的是

)（連云港市中考試題）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

第5題圖第6題圖

7.如圖，"BC內(nèi)接于。0,AE切。。于點(diǎn)A,BC//AE.

⑴求證：△ABC是等腰三角形；

⑵設(shè)AB=10cm,BC=8cm,點(diǎn)尸是射線AE上的點(diǎn)，若以A,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

問這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?（南昌市中考試題）

8.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,以AC為直徑的。。交斜邊AB于點(diǎn)E,0D//AB.

求證：（1）ED是。。的切線；

（2）2DE2=BEOD.

9.如圖，在△ABC中，a,b,c分別是44,ZB,/C的邊，且a,6是關(guān)于x的一元二次方程遇十

4(c+2)=(c+4)x的兩個(gè)根.點(diǎn)。在AB上，以8。為直徑的。。切AC于點(diǎn)￡.

(1)求證：△ABC是直角三角形；

3

(2)若tanA4時(shí)，求AE的長(zhǎng).(內(nèi)蒙古中考試題)

10.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以A3為直徑作。。交AC邊于點(diǎn)。，E是邊BC中點(diǎn)，連

接。E.

(1)求證：直線。E是。。的切線；

(2)連接0c交于點(diǎn)R若。尸=6,求tan/ACO的值.(武漢市中考試題)

11.如圖，。。的半徑r=25,四邊形ABC。內(nèi)接于。O,ACLBD于點(diǎn)H,尸為。1延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

S.ZPDA=ZABD.

(1)試判斷PO與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

34s—3

(2)若tan/AO8=W，PA=%AH,求2。的長(zhǎng);

(3)在(2)的條件下，求四邊形A8CO的面積.(成都市中考試題)

B級(jí)

1.如圖，AB是。。的直徑，CD是弦，過點(diǎn)C的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.若/ZMB=56°,

ZABC=64°,則NCE￡>=.

2.如圖，。。與矩形ABC。的邊A。，AB,BC分別相切于點(diǎn)E,F,G,尸是力G上的一點(diǎn)，貝

（廣州市中考試題）

4cm,6cm,那么尸到BC的距離為cm.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4.如圖，在RtZVIBC中，ZA=90°,。。分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F,圓心。在BC上，若AB

=a,AC=b,則。。的半徑等于（）

「ab

A.JabB.D.

?a~\~bab

5.如圖，在。。的內(nèi)接△ABC中，NABC=30°,AC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)5的。。的切線相交于點(diǎn)D若

Q0的半徑OC=1,BD//OC,則CD的長(zhǎng)為（）

A1+小R2小小方

A.1+33J3J

第4題圖第5題圖第6題圖

6.如圖，。。的內(nèi)接ZXABC的外角NACE的平分線交。。于點(diǎn)。.DF±AC,垂足為尸，DE±BC,

垂足為E.給出以下四個(gè)結(jié)論：①CE=CF；②NACB=/EDF；③。E是。。的切線；④今。=力。.其

中正確的結(jié)論是（）（蘇州市中考試題）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

7.如圖，已知AC切。。于點(diǎn)C,CP為0。的直徑，A8切。。于點(diǎn)。，與CP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R若

AC=PC.

求證：(l)Br>=2BP；(2)PC=3BP.(天津市中考試題)

8.如圖，在直角梯形ABCA中，AD//BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB為

QO的直徑.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A。邊向點(diǎn)D以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B

以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).P,。分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停

止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形尸0。為平行四邊形？

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，PQ與。。相切？(呼和浩特市中考試題)

9.如圖，已知在△ABC中，ZABC=90°，。是AB上一點(diǎn)，以。為圓心，為半徑的半圓與AB交于

點(diǎn)E,與切于點(diǎn)，AD=2,.求證：S,S。小是方程卜+的兩個(gè)根.(河南

ACAE=1△AODABCD10/—554=0

省中考試題)

10.如圖，點(diǎn)。在/AP8的平分線上，。。與以相切于點(diǎn)C

(1)求證：直線P8與。。相切；

(2)尸。的延長(zhǎng)線與。。交于點(diǎn)E,若。。的半徑為3,PC=4,求弦CE的長(zhǎng).(武漢市中考試題)

11.如圖，直線y=$+4交x軸于點(diǎn)2,交y軸于點(diǎn)A,。。過A,0兩點(diǎn).

(1)如圖1,若。。交于點(diǎn)C,當(dāng)。在。4上時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)。。與直線/相切于點(diǎn)A時(shí)，求圓心。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)。4平分△498的外角時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并求。O的半徑的長(zhǎng).

12.如圖，AB是。。的直徑，AB=d,過點(diǎn)A作。。的切線并在其上取一點(diǎn)C,使AC=AB,連接。C

交。。于點(diǎn)。，8。的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.求AE的長(zhǎng).(四川省競(jìng)賽試題)

專題20直線與圓的位置關(guān)系(1)

例1、B提示：連接00,則AODE-ACBE

例2、(1)AC=6AB=y/2(2)提示：若「4是。。的切線，則又

PRA7~)

BO]_AO,得.?.生=匕ZAOD=90°,4c=30。，

BCDC

ZA(9C=120°,:.AD=2OD=2DC,:.'PB=2BC,即當(dāng)尸B=2BC時(shí)，PA是

。。的切線

例3、提示(1)證明APE4~AP3E(2)當(dāng)P為加延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的

結(jié)論仍成立

APAFAP

例4、(1)略(2)—,理由如下：假設(shè)工片不，則MN〃C。。ND=90。，

ANADANAD

：.CD±AD,MN_LAD,A與P關(guān)于MN對(duì)稱，而P與。不重

合，這與“過一點(diǎn)(A)”只.能作一條直線與已知直線(MN)垂直”矛盾，二假設(shè)

AFAP

不成工，即---豐

ANAD

(3)證明AABAf之AMCP,得MC=A3=4,設(shè)PD=x,則CP=4—x,

：.BM=PC=4—x,連接并延長(zhǎng)交BC于J,則四邊形印為矩形，

//CP,.,.AMOJ~AMPC得絲=.=1,.?.07=1—(4—x),0H=-MP=

CPMP222

4-OJ=；(4+x),MC?=MPi-CPi,(4+x)2一(4一x)2=16,解得x=l

即尸￡>=1,PC=3,'BC=BM+MC=PC+AB=7,由此畫圖

例6連切點(diǎn)半徑/S,和/D,得D,A,E,。四點(diǎn)共圓，得SI=DI=MI,ZPSI=

ZIMC=ZIMB=9Q°,設(shè)ZB=ZACB=2a,則NPCB=a,ZSPI=ZB+ZPCB

=3a,貝1JNS/P=9O?！狽S77=90°—3a,MD〃AC,:./DMB=ZACB=2a,

ZIMD=90°-ZDMB=900-2a=ZIDM./DIM=180°-ZIDM-ZIMD=4a,

而ZMIC=900-ZICM=90°-a,:.ADIP=180°-ZDIM-AMIC=900-3a=

NS/P,?.?在AP/S與AP/D中，PI=PI,ZSIP=ZDIP,SIDI,^IS^APID,

ZPDI=NPS/=90。，故PD是。/的切線

A級(jí)

1、51。或129°2、AB=AC

3、62。或H8。4、D提示：以AB為直徑的圓與DC相交

5、A6、。

7、(1)略(2)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：①過點(diǎn)C作CP〃交AE于點(diǎn)P,則AAPC~

11

AfiCA,這時(shí)AP=BC=8c機(jī)；②過點(diǎn)C作。。的切線交AE于點(diǎn)P則AAPC~

1122

25

ACAB,這時(shí)AP——cm

8、(1)提示：連接證明/0即=90。，OD=^AB,BC=2DE

(2)在用AACB中，BC2=BE￡B,又BC=2DE,QDE)2=BE工B,又AB=

2OD,(2DE)2=BE2OD,2DE?=BEOD

9、(1)由已知，得％2_(c+4)x+4(c+2)=0,由兩根關(guān)系得a=c+4,ab=c+2,

a?+b2=(a+b)2-2ab=(c+4)2-8(c+2)=C2,.?.AABC是直角三角形

(2)提示：連接OE,則0E〃3C,a=6,b=8,c=10,AE=5

10、(1)連接OD,OE,BD,AB是。。的直徑，.?.Na)B=ZAr)B=90。，

E是BC的中點(diǎn)，；.￡)￡=CE=￡E,OD=OB,OE=OF,：.NODE/bOBE,

/ODE=ZOBE=90°,...直線DE是?O的切線

(2)作。"_LAC于點(diǎn)〃，由(1)知&)_LAC,￡C=EB.,.?0A=05,???O￡〃AC且?！?1A。，???NCQF二

2

ZOEF,ZDCF=ZEOF.

'：CF=OF,：.ADCF^AEOF,：.DC=OE=AD,：.BA=BC,：.ZA=45°.

CH1

OHLAD,：.OH=AH=DH,：.CH=3OH,故tanZACO=—.

CH3

11.(1)略(2)連接。。并延長(zhǎng)與。。相交于點(diǎn)E,連接BE.設(shè)A8=3比

34H-3

"：tanZADB=-,PA=AH,AC_LBO于點(diǎn)H.

43

：.DH=4k,AD=5k,B4=(4百一3)4,PH=PA+AH=4也k.

AtanZP=——="./尸=30°,PD=8k.

PH3

'：BD±AC,：.ZP+ZPDB=90°.

"PDLDE,：.ZPDB+ZBDE=9Q°.：.ZBDE=ZP=30°.

是直徑，；./DBE=90°,DE=2r=50.

：.BD=DE?cosZBDE=50?cos300=25也.

(3)連接CE.

?；r>E是直徑，AZDCE=90°.

4

：.CD=DE?sinZCED=DE?sinZCA￡>=50x-=40.

5

VZPDA=ZABD=ZACD,ZP=ZP,：./\PDA^/\PCD.

.PDDAPA.8k5k.(4石-3一

"PC-CD-PB'"PC"46"短,

解得尸C=64,k=4x/3-3.

：.AC=PC~PA=64~(4出-3)k=(40-3)2=7+240.

:.S八=S+S°=-BD^-AH+-BD-CH=-BDrAC=-x25^x(7+24>/3)=900+175>^.

四邊形4BCD/\ABDACBD2丁2222

B級(jí)

1.86°2.45°

3.連接BP,MQ,PC,QN,

由PM_LAB,PNLAC,PQ_LBC可得尸，Q,C,N四點(diǎn)共圓，P,Q,B,M四點(diǎn)共圓.

由△MPQS2\2PN得PQ=-JMPNP=2-Je.

4.C

5.B【提示】連接。8,過C作CHLBD交于點(diǎn)〃

.?.OB//C是正方形，CH=1.

VZABC=30°,：.ZOAC=6Q°=/D.

在RtACDH中，—=sinZD=",

CD2

?3^=1后

6.D

7.提示：(1)連接OZ),由得BD=LBC,又BD2=BP?BC.

2

(2)由(1)可知BC=2B。，BD=2BP,得BC=4BP,

：.PC+BP=4BP,：.PC=3BP.

8.(1)?..直角梯形ABC。，AD//BC,

J.PD//QC.

當(dāng)PD=QC時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形.

由題意可知AP=3CQ=2t,

：.8~t=2t,3f=8,r=g時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形.

(2)設(shè)尸。與。。相切于點(diǎn)"，過P作尸于E.

:直角梯形A8CD,AD//BC,：.PE=AB.

有題意可知AP=BE=t,CQ=2t,

:?BQ=BC—CQ=22—2t,EQ=BQ—BE=22—2t—1=22—3九

TAB為。。的直徑，ZABC=ZDAB=90°,

：.AD,5C為。。的切線.

:?AP=PH,HQ=BQ.

：.PQ=PH+HQ=AP+BQ=22~t.

在RtAPEQ中，PMEQ2=PQ2,

???122+(22—3〃=(22—2。2,即初一88什144=0,力一"任18=0,

.*?t=2,『9.

在AO邊運(yùn)動(dòng)時(shí)間為42=§=8s,而f=9>8,，f=9舍去.

11

.?.當(dāng)仁2時(shí)，P。與。O相切.

提示：

9.AB=4,BC=CD=3,△SAOiQ=2-

(*949)

作BH_LAC于"，貝URtzXAOOsRtZXABH,得絲=絲.

BHAB

-18

10.(1)過點(diǎn)。作于點(diǎn)D連接。C.

;切切。。于點(diǎn)C,：.O