高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 高階拓展 專項練習(xí)（學(xué)生版+解析）

第19講拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

(高階拓展)(核心考點精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題

2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義

3能運用拉格朗日中值定理解題

【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目

往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解

題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)

知識講解

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函數(shù)7(x)滿足如下條件：

(D/(X)在閉區(qū)間團，夕上連續(xù)；

(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點蜃使得廣?=J⑸一出h

b-a

2.拉格朗日中值定理的幾何意義

如圖所示，在滿足定理條件的曲線,="力上至少存在一點尸?,/0)),該曲線在該點處的切線平行于

曲線兩端的連線.

3.需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線，并不一定存在割線，使割線斜率等于

切線斜率,如/（久）=爐在無=。處的切線斜率為0,但/■（乃不存在割線使割線斜率等于0

4.拉格朗日公式還有下面幾種等價形式

=/1a+e（b-a））（b-a）（O<6<1）,

f（a+h）-f（a）=f'［a+dPi）h（Q<e<\）.

注：拉格朗日公式無論對于a<6還是。>人都成立，而^則是介于。與b之間的某一常數(shù).顯然，當(dāng)0<。<1

時，a<a+O［b-a）<b.

考點一、拉格朗日中值定理的認知及簡單應(yīng)用

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)/'（X）

在閉區(qū)間目上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。力）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸（力，那么在區(qū)間（。力）內(nèi)至少存在一點c,

使得尸（c）。-。）成立，其中c叫做“力在［a,句上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理,可

得函數(shù)〃%）=三-2%在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映

了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)

容.其定理陳述如下：如果函數(shù)Ax）在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，在開區(qū)間（。力）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（。,切內(nèi)至少存

在一個點％e（a,b）,使得/（&）-/⑷=f（x0）（6-a）,x=/稱為函數(shù)y=/（尤）在閉區(qū)間切上的中值點，若

關(guān)于函數(shù)〃x）=sinx在區(qū)間［0,兀］上的“中值點”的個數(shù)為相，函數(shù)g（尤）=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點”的個數(shù)

為〃，則有加+幾=（）（參考數(shù)據(jù)：^-3.14,6=2.72.）

A.1B.2C.0D.n=3

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，

具體如下.如果函數(shù)y=/（x）滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間可上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間（。力）上可導(dǎo).

則在開區(qū)間（a,6）上至少存在一點。，使得/⑸-/⑷=/隹）3-。）成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，

其中J被稱為“拉格朗日中值”.則g⑺="在區(qū)間［0,1］上的“拉格朗日中值*=.

即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反

映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心

內(nèi)容.其定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間［凡可上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（。,為內(nèi)

至少存在一個點火（。力），使得〃3-〃。）=/紜）0—a）,J稱為函數(shù)y=/（x）在閉區(qū)間［。,目上的中值點.

TTTT

則函數(shù)/（x）=tanx在區(qū)間-7］上的中值點的個數(shù)為（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)/a）

在閉區(qū)間［a,6］上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。㈤內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸（x）,那么在區(qū)間（a,6）內(nèi)至少存在一點c,

使得伍-。）成立，其中c叫做了⑺在目上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得

函數(shù)/（x）=Xs-3*在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

3.（2023秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谥校├窭嗜罩兄刀ɡ硎俏⒎謱W(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：

如果函數(shù)元）在閉區(qū)間6］上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。,6）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸（x）,那么在區(qū)間（a,6）內(nèi)

至少存在一點c,使得〃〃）-〃。）=廣（。）。-4）成立，其中c叫做/⑺在［a,可上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)

這個定理，可得函數(shù)/（x）=x3-2x在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.

考點二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

、12

1.設(shè)/(x)=—x-ax+(a-l)lnx,

求證：當(dāng)l<a<5時，對任意石,々6（0/）,％尸工,,有‘（"戶‘㈤>一］

X~X2

2.設(shè)/(x)=(<2+1)In%+ax2+1,

當(dāng)a<-\時，若對任意的G(0,+OO),|/(X1)-/(X2)|>4|jq-x2|成立，求Q的取值范圍

ciny

3.設(shè)f(x)=f若對任意x>Of都有f(x)<axf求〃的范圍

2+cosx

即時檢測

1.已知函數(shù)/(x)=爐+x-l,若對任意xe(0,+oo)都有恒成立，求左的取值范圍

2

2.設(shè)/(%)=d+—+alnx,7(x)的導(dǎo)函數(shù)是f\x)，對任意兩個不相等的正數(shù)%,馬,

x

當(dāng)aW4時，證明:/(玉)->氏一%|

3.(2022秋?云南保山?高二校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=e'-二

(1)求證：/⑺的導(dǎo)數(shù)((力22；

(2)若對任意xNO都有力>)?6,求a的取值范圍.

4.(2022.四川內(nèi)江.四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)“力的最大值；

(2)設(shè)0<a<6,證明0<g(a)+g(6)-2g［t^］<(b-a)ln2.

【能力提升】

一、單選題

1.(2023春?湖南長沙?高二長沙一中?？茧A段練習(xí))以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主

體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是

“中值定理”的核心內(nèi)容，其定理陳述如下：如果函數(shù)/(X)在區(qū)間,,同上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

在開區(qū)間(。,6)內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間(。,6)內(nèi)至少存在一個點七?(。,加，使得廣(%)=〃“一""),x=x。

b-a

稱為函數(shù)y=在區(qū)間［a,可上的中值點.若關(guān)于函數(shù)〃力=爐在區(qū)間［0,1］上“中值點”個數(shù)為加，函數(shù)

g(x)=sinx+&cosx在區(qū)間［0,可上“中值點”的個數(shù)為〃，則()

A.m=0,n=lB.m=l,n=l

C.m=l,n=2D.m=2,n—l

二、解答題

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)在［0』可導(dǎo),且0＜。(幻＜1,又對于(0,1)內(nèi)所有的點有廣(工)工-1證

明方程/(x)+xT=0在(0,1)內(nèi)有唯一的實根.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))試證明對函數(shù)y=pd+"+r應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點J總是位

于區(qū)間的正中間.

4.(2023?北京東城?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=(x+l)lnx-a(x-l).

(D當(dāng)。=4時，求曲線y=/(x)在(1J(D)處的切線方程；

(II)若當(dāng)xe(L-)時，/(x)＞0,求。的取值范圍.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)了⑴在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/⑴=0.求證：存在

使廣?=-午.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)一5/+了-2在區(qū)間［0,1］上的正確性.

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x4在區(qū)間［1,2］上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定

理的久

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)〃x)=x-lnx,證明：對任意的實數(shù)見〃，當(dāng)0＜根＜”時，關(guān)于x的方程

=/(尤)在區(qū)間(租,")上恒有實數(shù)解.

n-m

9.(高考真題)設(shè)位0,f(x)=x~1—ln2x+2tzInx(x＞0).

(I)令/(x)=xf/(x),討論尸(x)在(0.+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

(II)求證：當(dāng)」＞1時,恒有力＞求2冗一2alnx+1.

10.(2022?廣東?統(tǒng)考一模)已知〃x)=lnx+"+l(aeR),尸(尤)為的導(dǎo)函數(shù).

⑴若對任意x＞0都有/(x)W0,求。的取值范圍；

(2)若。(國＜馬，證明：對任意常數(shù)。，存在唯一的/《為馬)，使得了'(%)="*)［"%)成立.

第19講拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

(高階拓展)(核心考點精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題

2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義

3能運用拉格朗日中值定理解題

【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目

往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解

題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)

知識講解

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函數(shù)/(x)滿足如下條件：

(D/(X)在閉區(qū)間團，切上連續(xù)；

(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點3使得尸團=—一)一〃").

b-a

2.拉格朗日中值定理的幾何意義

如圖所示，在滿足定理條件的曲線y=/(x)上至少存在一點P?,/(。)，該曲線在該點處的切線平行于

曲線兩端的連線.

5.需要注意的地方(逆命題不成立)

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線，并不一定存在割線，使割線斜率等于

切線斜率,如/(久)=爐在無=。處的切線斜率為0,但/■(乃不存在割線使割線斜率等于0

6.拉格朗日公式還有下面幾種等價形式

f(b)-f(a)=f'^［b-a)(a<^<b),

=/1a+8(b-a))(b-a)(O<6<1),

/(a+/z)-/(o)=/,(o+0/?)/z(O<6><l).

注：拉格朗日公式無論對于a<6還是。>人都成立，而^則是介于a與b之間的某一常數(shù).顯然，當(dāng)0<。<1

時，a<a+O［b-a)<b.

考點一、拉格朗日中值定理的認知及簡單應(yīng)用

☆典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)/'(X)

在閉區(qū)間目上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(。力)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸(力，那么在區(qū)間(。力)內(nèi)至少存在一點c,

使得尸(c)S-a)成立，其中c叫做“力在［a,句上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理,可

得函數(shù)〃%)=三-2%在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)，列方程求解作答.

【詳解】函數(shù)〃力=三-2天，求導(dǎo)得：r(x)=3x2-2,令/為在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”，

則有3片—2=/(”：2),即瑞_2=2,解得x=±亞，

2-(-2)3

所以函數(shù)〃x)=V-2x在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.

故選：B

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映

了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)

容.其定理陳述如下：如果函數(shù)"X)在閉區(qū)間加上連續(xù)，在開區(qū)間(。力)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間9,?內(nèi)至少存

在一個點七e9,6),使得了俗)一/(。)=/(無。)S—尤=%稱為函數(shù)V=/(尤)在閉區(qū)間團,切上的中值點，若

關(guān)于函數(shù)/O)=sinx在區(qū)間［0,兀］上的“中值點”的個數(shù)為m函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點”的個數(shù)

為n,則有加+〃=()(參考數(shù)據(jù)：萬比3.14,"2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【分析】利用中值點的定義分別求解兩函數(shù)的中值點即可

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=sin尤在區(qū)間［0,網(wǎng)上的“中值點”為%,由/(尤)=sin尤，得八x)=cosx,

則由拉格朗日中值定理得，/(^)-/(O)=/'(xo)(^-O),即萬cos%=0,因為修€［0,d，所以與=友，所以

函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間［0,兀］上的“中值點”的個數(shù)為1,即%=1,

設(shè)函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點”為七，由g(x)=",得g(x)=e，，則由拉格朗日中值定理得，

g(l)-^(0)=g'(x1)(l-0),即e-l=ew,作出函數(shù)〉=0，和>=0-1的圖像如圖所示，l<e—l<e,當(dāng)xe［0,l］

時，l<ex<e>

由圖可知，函數(shù)丫=^和、=6-1的圖像在區(qū)間［0,1］上有一個交點，即方程e-l=/區(qū)間DU上有1個解，

所以函數(shù)g(x)=e，在區(qū)間［0,1］上的“中值點”的個數(shù)為1,即〃=1,

所以7九+〃=2,

故選:B

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，

具體如下.如果函數(shù)y=/(x)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間句上是連續(xù)的；(2)在開區(qū)間(。/)上可導(dǎo).

則在開區(qū)間(a,6)上至少存在一點J,使得/⑸-/⑷=/?3-“)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，

其中J被稱為“拉格朗日中值”.則g⑶="在區(qū)間［0,1］上的“拉格朗日中值”=.

【答案】In(eT)

【分析】先求g'(x),結(jié)合拉格朗日中值的定義,可得g(l)-g@=g")(l-。)求得自的值即可.

【詳解】由g(x)=Q可得g,x)=e，,

所以g,q)=el

由拉格朗日中值的定義可知gM)=g?°)=e-l,

即e4=e-1,

所以J=ln(e—1).

故答案為：In(e-l).

☆即時檢測

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反

映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心

內(nèi)容淇定理如下：如果函數(shù)“X）在閉區(qū)間可上的圖象不間斷，在開區(qū)間（。,6）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（“,為內(nèi)

至少存在一個點火（a力），使得/0）-/（4）=/解）0—。），J稱為函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［。,目上的中值點.

TTJT

則函數(shù)/（x）=tanx在區(qū)間-了I上的中值點的個數(shù)為（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點”的定義，結(jié)合函數(shù)/（x）=tanx進行分析，將問題轉(zhuǎn)化為求

c°sj=±五在尤上的解的個數(shù)問題，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可..

2144」

jrjr

【詳解】由題意，函數(shù)/（x）=tanx,xe

所以訃一"圖”已，

所以小力康,

所以由拉格朗日中值定理得：2=-^--,即cos2j=f,

cosJ24

所以cosJ=，

兀71y/2

由于——時，COSXG——,1

44J［2

所以cosj=在-無解，cosj=^^在-U上有2解.

2L44J2144」

TT4

所以函數(shù)〃x）=tanx在區(qū)間-“I上的中值點的個數(shù)為2個.

故選：B.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)〃尤）

在閉區(qū)間目上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。力）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸（X）,那么在區(qū)間回內(nèi)至少存在一點C,

使得-（。）（6-。）成立，其中c叫做/⑴在［〃,可上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得

函數(shù)/（力=^-3%在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)題中給出的“拉格朗日中值點”的定義分析求解即可.

【詳解】函數(shù)/(彳)=丁-3x,

貝U/(2)=2,/(-2)=-2，r(x)=3x2-3,

由“2)—2)=〃c)(2+2),

得尸(c)=l,即3c2—3=1,

解得0=±半4-2,2］,

所以〃幻在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.

故選：B.

3.(2023秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谥?拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：

如果函數(shù)“X)在閉區(qū)間,,句上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(。,與內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸(X),那么在區(qū)間(4,6)內(nèi)

至少存在一點c,使得了㈤-〃a)=r(c)(6-a)成立，其中c叫做〃尤)在［a,可上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)

這個定理，可得函數(shù)“力=%3-2x在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.

【答案】2

【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的定義可構(gòu)造方程1f(x)=3d-2=2,解方程即可求得“拉格朗日中值點”

的個數(shù).

【詳解】???「亨士-

令3爐-2=2,解得：了=-半?-2,2］或尤=手4-2,2］,

\〃尤)在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.

故答案為：2.

考點二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用

☆典例引領(lǐng)

、12

4.設(shè)f(x)=—x-ax+(a-I)lnx,

求證：當(dāng)1＜。＜5時，對任意石,々e(0』),XiWx,,有＞一1

再一元2

證明：由拉格朗日中值定理可知只需證/(%)＞-1對xe(0,+oo)恒成立

,r'x1a—1,1x2—(6Z—l)x+(6Z—1)

由f(z%)+l=x+-------(a—l)=-------------——-----

XX

因為1<QV5

匚匚[、i/、2/八z1、(〃—1)(a—1)(5—a)

所以g(x)=x-(a-l)x+(a-1)=Ix---——I-\---------------->0

則/(x)+l>O^/(x)>-l

5.設(shè)/(x)=(tz+1)In%+ax2+1,

當(dāng)a<-\時，若對任意的x,,x2G(0,+OO),|/(X1)-/(X2)|>4|jq-x2|成立，求Q的取值范圍

解：由拉格朗日中值定理，可知必存在%€(0,+8),

使得f(%0)=()()/(%)=+2ax0,

%一“2X。

當(dāng)a<-l且x0>0時，

/(%)=+2ax0<0

由題意/(Xo)24n/(x0)W4naW2/+]=(2/+1--2<-2,

即a<—2

cinX

6.設(shè)/(%)=--------,若對任意x>0,都有f{x)<ax,求a的范圍

2+cosx

解：x>0時，/(x)<ax等價于"%)Va,

%

由拉格朗日中值定理，存在x>0使得⑼=/(x

00），

x0

故只需a?/'(%)恒成立即可

z、2l

_、

2cosx2n+1J11?11I

又/(%)=-------72=—3----------------+-e-I,-

(2+cosx0)(cosXo+23j3L3

所以a>-

3

即時檢測

1.已知函數(shù)/(%)=e'+九一1,若對任意工￡(0,+8)都有恒成立，求女的取值范圍

解：因為x>Q,所以/(x)>"o左，

X

注意到/(0)=0,

則k(￡(x)―于⑼恒成立。

x—0

由拉格朗日中值定理知：

存在ZG(O,X)使得

/(x)-/(0)

k<

x—0

所以左</'?)=￡+1恒成立.

顯然了⑺在(0,+oo)單調(diào)遞增，故左</(0)=2

所以k<2.

2

3.設(shè)/(x)=x2+—+alnx,7(x)的導(dǎo)函數(shù)是/'(x),對任意兩個不相等的正數(shù)%，

X

當(dāng)〃〈4時，證明(x2)|>|jq-x2\

r\

解：令g(x)=/'(x)=2x一一-+—,

XX

由拉格朗日中值定理，存在2〉0使得對任意兩個不相等的正數(shù)百,%2，卜(％)—g(x2)|Tg'(X)|h—

只需證明當(dāng)aW4時渚E有g(shù)’(㈤〉1

即證明2+!—。>104<彳2+：恒成立，

ffiJ22+-=22+-+->3^4

故當(dāng)aW4時,a<4<3網(wǎng)4/I?+3成立,故原命題成立

3.(2022秋?云南保山.高二校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)="，eT

(1)求證：/(%)的導(dǎo)數(shù)/'(x)N2；

(2)若對任意x>0都有/(%)N依,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)(-co,2]

【分析】(1)先求出/(無)的導(dǎo)函數(shù)，利用而當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時取等號.得到了(x)22；

(2)把不等式變形令g(x)=f(x)-辦并求出導(dǎo)函數(shù)令其=0得到駐點，在x20上求出a的取值范圍即

可.

【詳解】解：(1)/(無)的導(dǎo)數(shù)/(尤)=ex+ex.

由于e，+eT?2必丁=2，故/口)22.

(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立).

(2)令g(尤)=/(x)-ax,則g'(x)=f(x)-a=e^+ex-a,

(i)若aW2,當(dāng)x>0時，g'(x)—ex+ex-a>2-a>0,

故g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

所以，xNO時，g(x)》g(0),即/(x)

(ii)若a>2,方程g(x)=0的正根為芯=勿"+，)-4,

此時，若無e(0,xi),則g(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).

所以，xG(0,尤/)時，g(無)<g(0)=0,即/(x)<ax,與題設(shè)/(x)》公相矛盾.

綜上，滿足條件的。的取值范圍是(-8,2].

【點睛】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)運算的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力.

4.(2022?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)的最大值；

(2)設(shè)0<”6,證明0<g(a)+g(b)-2g[W^j<S-a)ln2.

【答案】(1)0;(2)詳見解析.

【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進行求導(dǎo)運算，令導(dǎo)函數(shù)等于。求出x的值，再判斷函數(shù)

的單調(diào)性，進而可求出最大值.(2)先將a,6代入函數(shù)g(x)得到g(a)+g(?-2g(學(xué))的表達式后進行整

理，根據(jù)(1)可得到加0,將加鳥、山二1放縮變形為加2】>-亨、切烏〉一二代入即可得

a+ba+ba+b2aa+b2b

到左邊不等式成立，再用烏〈號根據(jù)y=i”的單調(diào)性進行放縮

aln—+bln—<aln—+bln—.然后整理即可證明不等式右邊成立.

a+ba+b2ba+b

【詳解】(1)由已知可得X>-1,廣(洋=一一-1,令廣(x)=o得x=0.

當(dāng)-l<x<0時，,(x)>0

當(dāng)x>0時，廣(x)<0所以f(x)的最大值為f(0)=0

糠署凝硯，帶題

(2)證明：只需證就酬雨；.湖蜘胸-鼻5-)1恤士工-<(b-a)In2

整理得a(lna—In~~~+In2)+Z?(lnb-ln~~~-In2)<0

4〃h

即證Qin—+V0

a+ba+b

b

Ab

上式兩邊除以。，整理得In——+—In6<。

b

1+4al+

ba

、nb人「/、i4i%

設(shè)一二x>l令F(x)=In-------Fxln-----

a1+x1+x

x

FXx)=ln——當(dāng)x>1時尸'(%)<0

1+x

???F(x)在區(qū)間(1,+oo)上單調(diào)減，又F(1)=0

F(x)<0

b

F(—)=ln^—+—In—^-<0

al+@ai+b

ba

g(a)+g(b)-<(b-?)ln2.

【點睛】考點：L利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用.

【能力提升】

一、單選題

1.(2023春?湖南長沙?高二長沙一中?？茧A段練習(xí))以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主

體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是

“中值定理”的核心內(nèi)容，其定理陳述如下：如果函數(shù)AM在區(qū)間［a,0上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

在開區(qū)間⑼內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間(。涉)內(nèi)至少存在一個點毛,使得不優(yōu))=：1)一/⑷，尤=尤。

b-a

稱為函數(shù)y=/(x)在區(qū)間可上的中值點.若關(guān)于函數(shù)/(%)=/在區(qū)間［0』上“中值點”個數(shù)為加，函數(shù)

g(x)=sinx+百cosx在區(qū)間［0,兀］上“中值點”的個數(shù)為〃，則()

A.m=0,n=lB.m=l,n=l

C.m=l,n=2D.m=29n=l

【答案】c

由拉格朗日中值定理可得cos［x0+m)=￥-故該方程根的個數(shù)為

【分析】先求出g(元)的導(dǎo)函數(shù)g'(x),

即為函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,可上“中值點”的個數(shù)，由函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系即可求解.

【詳解】設(shè)g(%)=sinx+限osx在閉區(qū)間［0,兀］上的中值點為方,

r

由(x)=cosx-V3sinx,由拉格朗日中值定理可得：g(7t)-g(0)=g(xo)(7c-O),

因為g(兀)一g(0)=sinjr+A/3COS71-IsinO+V3cosO)=-V3-V3=-2y/3,

_r\R

-2百

所以7tg'(xo)=_2近，可得,(%)=-----，g'(xo)=cosx0-V3sinx0=2cos

717T

即COS、+3=f(-l,-g),作出函數(shù)＞=8$(尤+三)和〉=二^的圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)y=COs［x+T和y=￥的圖象在［0,可上有兩個交點，

所以方程cos1+三)=在［0,7l］上有兩個解，

即函數(shù)g(x)=sinx+J5cos%在區(qū)間［0,無］上有2個中值點,

所以〃=2,只有C符合，

故選：C.

二、解答題

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/⑴在［0』可導(dǎo)，且又對于(0,1)內(nèi)所有的點有廣(力工-1證

明方程/(x)+x-l=0在(0,1)內(nèi)有唯一的實根.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在原理，結(jié)合拉格朗日中值定理進行證明即可.

【詳解】令g(x)=/(x)+x-l,又無)＜1,則g(0)=f(0)-l＜0,g(l)=/(l)＞0

二函數(shù)g(%)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.

假設(shè)方程/(x)+x-l=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根名△不妨設(shè)為。＜。＜夕＜1,

則有了(夕)=1-夕"⑷=1-。，對函數(shù)/⑺)在&網(wǎng)上運用拉格朗日中值定理有

/(/)-〃“)=/'W-a).因此/⑷="坂-"①="/(,a)=-i

p-ap-a

這和已知條件廣(x)~i矛盾..?.方程〃x)+x-i=o在(0,1)內(nèi)有唯一的實根.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))試證明對函數(shù)丁=0爐+/+廠應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點J總是位

于區(qū)間的正中間.

【答案】證明見解析

【分析】不妨設(shè)所討論的區(qū)間為［“M,則由拉格朗日中值定理可得廣⑹="?一""),代入化簡即可證明.

b-a

【詳解】證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為［兄句，則函數(shù)y=pY+"+r在［a,b］上連續(xù),

在3勿內(nèi)可導(dǎo)，從而有尸e)=/(?一，①)

b-a

(pb1+qZ?+r)—(pa2+qa+r

即2J+q=

b-a

解得4=歲，結(jié)論成立.

4.(2023?北京東城?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)7'(元)=(尤+l)ln尤”(尤-1).

(I)當(dāng)。=4時，求曲線y=/(x)在。，/⑴)處的切線方程；

(II)若當(dāng)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

【答案】(1)2x+y-2=0.(2)

【詳解】試題分析：(I)先求了(幻的定義域，再求了'(x),廣⑴，/⑴，由直線方程的點斜式可求曲線y=/(x)

在(1"⑴)處的切線方程為2x+y-2=0.(II)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=lnx-y對實數(shù)。分類討論，用導(dǎo)數(shù)

法求解.

試題解析：⑴/(“)的定義域為(。,+°°).當(dāng)a=4時，

/(x)=(x+1)Inx—4(x-l),/z(x)=lnxd---3,廣⑴=-2,/(1)=0.

x

曲線y=/(%)在a/(l))處的切線方程為2x+y—2=0.

(II)當(dāng)尤e(L-)時，/(幻>0等價于inx>0.

X+1

、江/、1a(x-I)e]

設(shè)g(x)=l「b’則

2ax?+2(1-。)尤+1

g,W=-,g(D=0,

X(X+l)2x(x+l)2

(i)當(dāng)aW2,xe(l,+8)時，x2+2(l-a)x+l>x2-2x+l>0,故g'(無)>0,g(x)在(1,+co)上單調(diào)遞增，因此

g(x)>0；

(ii)當(dāng)a>2時，令g'(x)=0得

%=a-1-J(a-1)2一],x。=a_1+J(a-1)2一].

由％>1和占尤2=1得為<1,故當(dāng)xeQ,%)時，g'(x)<0,g(x)在(1,無2)單調(diào)遞減，因此g(x)<0.

綜上，。的取值范圍是(f,2].

【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

【名師點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)y，=f(x);

(3)解不等式f(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式f(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/⑴=0.求證：存在

使廣@=-..

【答案】證明見解析

【分析】從/(9=-與結(jié)論出發(fā)，變形為『'信片+/(3=0,構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)/(x)x+/(x),

然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論.

【詳解】證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(耳=雙耳，9(x)=〃x)+礦⑺

根據(jù)題意F(x)=V(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，

MF(l)=l./(l)=0,F(0)=0/(0)=0,

從而由羅爾中值定理得：存在Je(O,l),使尸'?=_/''(〃+/?(◎=(),即/'?=-詈.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)y=4d-5/+了-2在區(qū)間［0,1］上的正確性.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程廣(9=八］一(⑼,若得到的根則可驗證

定理的正確性.

【詳解】y=/(x)=4x3-5f+x-2在［0,1］連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，

y=f(x)=4X3-5X2+x-2在區(qū)間［0,1］上滿足拉格朗日中值定理的條件.

又〃1)=—2"(0)=—2,f(尤)=12/一10X+I,

二要使-片)=當(dāng)二^2=0,只要：“注叵e(0,1),

???三口=土巫€(0,1),使之⑼,驗證完畢.

121-0

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)在區(qū)間［1,2］上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定

理的久

【答案】—(L2)

【分析】由拉格朗日中值定理可知，尸⑹J(2—D,解方程即可得出答案.

2—1

【詳解】要使廣仁)=吟二手

2—1

與,從而”;

只要4S=15=>J=v'ye(1,2)即為滿足定理的久

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)〃尤)=x-Inx,證明：對任意的實數(shù)〃解，當(dāng)0<根<〃時，關(guān)于x的方程

=尸⑴在區(qū)間(川川上恒有實數(shù)解.

n-m

【答案】證明見解析

(min—n\(mtn—

【分析】結(jié)合函數(shù)解析式，將原問題轉(zhuǎn)化為證明In------------In----------------<0,由此分別構(gòu)造函數(shù)，利用

Vnm八nnj

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，證明該不等式成立即可.

【詳解】由題意，當(dāng)0<根<〃時，方程/⑺一=即為ln._±W=0,

n-mnx

于是要證關(guān)于X的方程人"二八m)=尸(X)在區(qū)間(利〃)上恒有實數(shù)解,

n-m

m-n\(mm-n

只需證明3丁〒心丁丁<0.

令g(x)=ln"。(xe[m,nl),當(dāng)無￡(伏〃)時，=->0,

nnv7xn

于是g(x)在[孫句上單調(diào)遞增，,g(m)<g(M=0,即In絲一絲上<0；

nn

^h(x)=]n--—―-(xe[m,n\],當(dāng)時，/z7x)=--+—>0,

xmy7xm

于是/z(x)在上單調(diào)遞增，?,./?(〃)>/z(m)=0,即In'—>〃〉0,

nm

mm-n\Lmm-n\八八一

故In------------In----------------<0成”，

Vnm八nn)

從而對任意的實數(shù)機%當(dāng)0<相<〃時，關(guān)于x的方程,5)一/(相)=尸⑺在區(qū)間(辦”)上恒有實數(shù)解.

n-m

9.(高考真題)設(shè)定0,f(x)=x~1—ln2x+2tzInx(x>0).

(I)令/(x)=xf7(x),討論尸(x)在(0.+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

(II)求證：當(dāng)x>l時，恒有求2冗一2〃lnx+1.

【答案】(I)/(%)在(。，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2,+8)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在1=2處取得極小值

尸⑵=2—21n2+2a.

(II)當(dāng)尤>1時,恒有x>ln2x—2tzInx+1.

【詳解】解：根據(jù)求導(dǎo)法貝IJ有尸(》)=1一理+生，x>0,

X