高中數(shù)學(xué) 4.3.1-3.2 平面圖形的面積 簡單幾何體的體積課時作業(yè) 北師大版選修2-2

§3定積分的簡單應(yīng)用3．1平面圖形的面積3．2簡單幾何體的體積課時目標(biāo)進(jìn)一步理解定積分的概念和性質(zhì)，能用定積分求簡單的平面曲線圍成圖形的面積；了解定積分在旋轉(zhuǎn)體體積方面的應(yīng)用．1．平面圖形的面積表示一般地，設(shè)由曲線y＝f(x)，y＝g(x)以及直線x＝a，x＝b所圍成的平面圖形的面積為S，則________________________．2．旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看作由連續(xù)曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積為V＝?eq\o\al(b,a)π[f(x)]2dx.一、選擇題1．將由y＝cosx，x＝0，x＝π，y＝0所圍圖形的面積寫成定積分形式為()A．?eq\o\al(π,0)cosxdx B．?eq\f(π,2)0cosxdx＋|?πeq\f(π,2)cosxdx|C．?eq\o\al(π,0)2sinxdx D．?eq\o\al(π,0)2|cosx|dx2．由直線x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲線y＝eq\f(1,x)及x軸所圍圖形的面積為()A.eq\f(15,4) B.eq\f(17,4) C.eq\f(1,2)ln2 D．2ln23．由曲線y＝x3、直線x＝－2、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積是()A．?eq\o\al(2,－2)x3dx B．|?eq\o\al(2,－2)x3dx|C．?eq\o\al(2,－2)|x3|dx D．?eq\o\al(2,0)x3dx＋?eq\o\al(0,－2)x3dx4．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積是()A．?eq\o\al(2,0)(x2－1)dxB．|?eq\o\al(2,0)(x2－1)dx|C．?eq\o\al(2,0)|x2－1|dxD．?eq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋?eq\o\al(2,1)(x2－1)dx5．由y＝x2，x＝0和y＝1所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以表示為()A．V＝π?eq\o\al(1,0)(eq\r(y))2dy＝eq\f(π,2)B．V＝π?eq\o\al(1,0)[12－(x2)2]dx＝eq\f(4,5)πC．V＝π?eq\o\al(1,0)(x2)2dy＝eq\f(π,5)D．V＝π?eq\o\al(1,0)(12－x2)dx＝eq\f(4,5)π6．由y＝e－x，x＝0，x＝1圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為()A.eq\f(π,2)(1－e－2) B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)(1－e) D.eq\f(π,2)e－2二、填空題7．由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0，x＝4所圍成平面圖形的面積是________．8．直線x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所圍圖形的面積，則k的值為________．9．曲線y＝eq\f(2,x)，直線x＝2，x＝3與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是________．三、解答題10．計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍成的圖形的面積．11.求由曲線y＝4x－x2和直線y＝x所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．能力提升12．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,12)13．在曲線y＝x2(x≥0)上的某點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為eq\f(1,12).求切點A的坐標(biāo)以及切線方程．1．明確利用定積分求平面圖形面積的步驟，會將曲線圍成的曲邊梯形的面積表示成定積分的形式，并能求出面積．求解時一般先畫出草圖，確定積分變量，求交點確定積分上、下限，再利用定積分求得面積．特別地要注意，當(dāng)所圍成的圖形在x軸下方時，求面積需對積分取絕對值．2．對求體積的有關(guān)問題，要結(jié)合函數(shù)的形式寫清對應(yīng)的定積分，然后求出所對應(yīng)的體積．答案知識梳理1．S＝?eq\o\al(b,a)f(x)dx－?eq\o\al(b,a)g(x)dx作業(yè)設(shè)計1．B[定積分可正，可負(fù)，但不論圖形在x軸上方還是在x軸下方面積都是正數(shù)，故選B.]2．D[所求面積?2eq\f(1,2)eq\f(1,x)dx＝lnx|2eq\f(1,2)＝ln2－lneq\f(1,2)＝2ln2.]3．C4.C5.B6．A[V＝π?eq\o\al(1,0)(e－x)2dx＝π?eq\o\al(1,0)e－2xdx＝－eq\f(π,2)e－2x|eq\o\al(1,0)＝eq\f(π,2)(1－e－2)．]7.eq\f(19,3)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4,y＝5x))，得x＝1或x＝4.所求面積為S＝?eq\o\al(1,0)(x2＋4－5x)dx＋?eq\o\al(4,1)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))|eq\o\al(4,1)＝eq\f(19,3).8.eq\f(\r(3,4),2)解析作平面圖形，如右圖所示．由題意，得?eq\o\al(k,0)x2dx＝eq\f(1,2)?eq\o\al(1,0)x2dx即eq\f(1,3)x3|eq\o\al(k,0)＝eq\f(1,6)x3|eq\o\al(1,0).∴eq\f(1,3)k3＝eq\f(1,6)，k＝eq\f(\r(3,4),2).9.eq\f(2,3)π解析V＝?eq\o\al(3,2)π·(eq\f(2,x))2dx＝eq\f(－4π,x)|eq\o\al(3,2)＝eq\f(2,3)π.10.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0或x＝3.∴S＝?eq\o\al(3,0)(x＋3)dx－?eq\o\al(3,0)(x2－2x＋3)dx＝?eq\o\al(3,0)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝?eq\o\al(3,0)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).∴所圍成的圖形的面積為eq\f(9,2).11．解由y＝4x－x2得頂點P(2,4)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－x2,y＝x))，得交點Q(3,3)，O(0,0)．如圖所示又由上圖知V＝π·?eq\o\al(3,0)y2dy＋π?eq\o\al(4,3)(2＋eq\r(4－y))2dy－π?eq\o\al(4,0)(2－eq\r(4－y))2dy＝π·eq\f(1,3)y3|eq\o\al(3,0)＋πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y－\f(8,3)4－y\f(3,2)＋4y－\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,3)－πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y＋\f(8,3)4－y\f(3,2)＋4y－\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,0)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,3)＋4＋\f(28,3)＋4－\f(7,2)－16＋\f(16,2)))＝eq\f(27,2)π.12．A[由題可知y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形的面積為?eq\o\al(1,0)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).]13．解由題意可設(shè)切點A的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則切線方程為y＝2x0x－xeq\o\al(2,0)，可得切線與x軸的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，0)).畫出草圖，可得曲線y＝x2，直線y＝2x0x－xeq\o\al(2,0)與x軸所圍圖形如圖所示．故S＝S1＋S2＝?eq\f(x0,2)0x2dx＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0\f(x0,2