湘教版九年級數(shù)學 3.4 相似三角形的判定與性質(zhì)（學習、上課課件）

3.4相似三角形的判定與性質(zhì)第三章圖形的相似第1課時

相似三角形的判定逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2平行線截三角形相似的定理角的關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理知識點平行線截三角形相似的定理知1－講11.

定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.深度理解“與其他兩邊相交”是指與其他兩邊所在直線相交.知1－講數(shù)學表達式：如圖3.4-1，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知1－講2.

作用：本定理是相似三角形判定定理的預備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對應角相等、對應邊成比例.知1－講特別提醒◆書寫兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大寫字母寫在對應的位置上.◆根據(jù)定理得到的相似三角形的三個基本圖形中都有BC∥DE，圖3.4-1①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖3.4-1③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯數(shù)字“8”).知1－練[母題教材P78例2]如圖3.4-2所示，已知在?

ABCD中，E為AB延長線上的一點，AB＝3BE，DE與BC相交于點F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.解題秘方：緊扣“平行線截三角形相似的兩種基本圖形：‘A’型和‘X’型”進行查找.例1知1－練

知1－練感悟新知1-1.

[期末·婁底]如圖，在平行四邊形ABCD中，E

是AB

邊延長線上一點，連接DE，交AC

于點G，交BC

于點F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)A．6對

B．5對C．4對

D．3對B知1－練

例2知1－練答案：D解題秘方：掌握平行線截三角形相似的定理和相似三角形的對應邊成比例是解題的關(guān)鍵.

知1－練感悟新知

知2－講知識點角的關(guān)系判定三角形相似定理21.

相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.2.

數(shù)學表達式：如圖3.4-4所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知2－講特別提醒由兩角分別相等判定兩個三角形相似，其關(guān)鍵是找準對應角.一般地，相等的角是對應角．如：公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)、同弧所對的圓周角(以后會學到)都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.知2－講3.

常見的相似三角形的類型：(1)“平行線”型：如圖3.4-5①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)“相交線”型：如圖3.4-5②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC.知2－講(3)“子母”型：如圖3.4-5③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖3.4-5④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC.整體像一個橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.知2－練如圖3.4-6，在△ABC中，AD是角平分線，AD的垂直平分線交AD于點E，交BC的延長線于點F，連接AF.求證：△ABF∽△CAF.例3感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩三角形相似”證明.由于∠BFA是公共角，因此只需說明∠B＝∠4即可.知2－練知2－練證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD

－∠2，∴∠B

＝∠4.∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知2－練感悟新知3-1.

【二?！V州越秀區(qū)】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E

為BC邊上的點(不與點B，點C

重合)，連接DE

并延長，交AB

的延長線于點F.求證：△CDE∽△AFD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AF，∠C＝∠A.∴∠CDE＝∠F.∴△CDE∽△AFD.知3－講知識點邊角關(guān)系判定三角形相似定理31.

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.特別提醒運用該定理證明相似時，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對應邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知3－講

知3－練如圖3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一點，且BP＝3PC，Q是CD的中點.求證：△ADQ∽△QCP.解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.例4知3－練

知3－練感悟新知4-1.

[期末·岳陽]如圖，在△ABC

中，AB=6，AC=9，點D，E

分別在AB，AC

上，D

為AB的中點，CE＝7.求證：△AED∽△ABC.知3－練知4－講知識點三邊關(guān)系判定三角形相似定理41.

相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.知4－講

知4－練圖3.4-10、圖3.4-11中小正方形的邊長均為1，則圖3.4-11中的哪一個三角形(陰影部分)與圖3.4-10中的△ABC相似？例5知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形三邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個三角形相似”判斷.知4－練

知4－練感悟新知5-1.如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB

和△DCE的頂點都在格點上，ED

的延長線交AB

于點

F．求證：(1)△ACB

∽△DCE；知4－練感悟新知(2)EF⊥AB．證明：∵△ACB∽△DCE，∴∠A＝∠EDC.又∵∠E＋∠EDC＝90°，∴∠E＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，即EF⊥AB.相似三角形的判定相似三角形的判定邊、角角角邊角邊邊邊邊平行線截三角形相似3.4相似三角形的判定與性質(zhì)第三章圖形的相似第2課時

相似三角形的性質(zhì)逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2相似三角形對應線段的比相似三角形面積的比知識點相似三角形對應線段的比知1－講11.

定理：相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.即：相似三角形對應線段的比等于相似比.深度理解對應高、對應中線與對應角平分線分別是指相似三角形對應邊上的高、中線與對應內(nèi)角的平分線.知1－講特別提醒：(1)注意“對應”二字，應用時要找準對應線段；(2)相似比是有順序的，不能顛倒相似三角形中元素的順序.知1－講2.

相似三角形周長的比：相似三角形周長的比等于它們的相似比.知1－練[中考·東營]如圖3.4-18，在△ABC中，點F，G在BC上，點E，H分別在AB，AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的長為________．

例1知1－練解題秘方：將求線段長的問題轉(zhuǎn)化為求相似三角形對應高的比的問題進行求解.知1－練

知1－練解法提醒∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，EF⊥BC.又∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EH.∵EH∥BC，EF⊥BC，MD⊥FG，∴MD＝EF.知1－練感悟新知

D知1－練[中考·連云港]△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的△DEF，其最長邊為12，則△DEF

的周長是()A.54 B.36 C.27 D.21解題秘方：緊扣“相似三角形周長的比等于相似比”列方程求解.例2

知1－練解：：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴△ABC與△DEF的相似比為4∶12=1∶3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3∶1，∴△DEF的周長為3×(2＋3＋4)＝27.答案：C知1－練感悟新知2-1.

[期末·嘉峪關(guān)]兩個三角形的相似比為1∶4，它們的周長之差為27cm，則較小的三角形的周長為_______

．9cm知2－講知識點相似三角形面積的比2

知2－講活學巧記兩個相似三角形，各角對應都相等，各邊對應成比例，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.感悟新知知2－練[中考·阜新]如圖3.4-19，在矩形ABCD

中，E

是AD

邊上一點，且AE

＝2DE，BD

與CE相交于點F，若△DEF

的面積是3，則△BCF

的面積是________．例327知2－練感悟新知解題秘方：利用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”求解.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠EDF

＝∠CBF.∵∠EFD

＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF.∵