數(shù)學(xué)互動課堂：平面幾何中的向量方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。向量在平面幾何中的應(yīng)用向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一.根據(jù)平面向量的基本定理,任一平面直線型圖形中的線段都可以表示為某些向量的線性組合,這樣在證明幾何命題時,可先把已知和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論。一般地,利用實(shí)數(shù)與向量的積可證明共線、平行、長度問題。利用向量的數(shù)量積可解決長度、角度、垂直等問題。圖2-5-1例如求證平行四邊形對角線互相平分，如圖2—5—1所示，已知ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M,設(shè)=x,=y，則=x=x+x.=+=+y=+y(-)=(1—y)+y。于是我們得到關(guān)于基底｛，｝的的兩個分解式。因為分解式是唯一的,所以解得x=，y=。故M是、的中點(diǎn),即對角線、在交點(diǎn)處互相平分。通過上例可以看出用向量方法解決平面幾何的步驟為：(1）建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。（2）通過向量運(yùn)算,解決幾何元素之間的關(guān)系.(3）把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系。疑難疏引（1)證明線段相等、平行,常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的定義。(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線是否平行,常運(yùn)用向量共線的條件。(3）證明線段的垂直問題,常用向量垂直的條件a⊥ba·b=0。(4）求與夾角相關(guān)的問題，常用向量的夾角公式cosθ=.2。向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x,y)既可表示一個固定的點(diǎn),又可以表示一個向量。使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系.特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題,可以用向量方法解決。例如：求通過點(diǎn)A(—1,2）,且平行于向量a=（3，2）的直線方程.解：過點(diǎn)A且平行于向量a的直線是唯一確定的,把這條直線記為l，在l上任取一點(diǎn)P（x,y),則∥a。如果P不與A重合，由向量平行,它們的坐標(biāo)滿足條件,整理得方程2x-3y+8=0.反過來，所有以此方程的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)也一定在直線l上.所以這個方程就是所求的直線方程.活學(xué)巧用1。如圖2—5-2,若D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且有AB2—AC2=DB2—DC2。求證:AD⊥BC.證明：欲證AD⊥BC,只需證明⊥即可.圖2-5—2設(shè)=a,=b，=e，=c,=d,則a=e+c，b=e+d.∴a2-b2=（e+c)2-(e+d）2=c2+2e·c—2e·d-d2.由已知a2—b2=c2—d2，∴c2+2e·c—2e·d—d2=c2—d2。故有e·（d-c）=0?！唷?，即⊥。2。平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，=（—2,m)=(n,1）,=(5，-1),且⊥，求實(shí)數(shù)m、n的值.解析：因為A、B、C三點(diǎn)共線,所以=λ.因為=—=（7,—1-m）,=—=（n+2,1—m),所以(7,—1—m）=λ(n+2,1-m).①所以m·n=5m+n+9=0.由·=0，得m—2n=0.②由①②得或3.下圖2—5—3所示是并列的三個大小相同的正方形,求證：∠1+∠2+∠3=90°。圖2—5—3證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OG所在的直線為x、y軸建系如上圖，設(shè)正方形邊長為1,則=(3,1），=（2，1），作向量=（3，-1）,則與的夾角等于∠2+∠3?！撸鼃=5,||=10,·=2×3+1