熱點(diǎn)07銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

熱點(diǎn)07銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用安徽中考數(shù)學(xué)解直角三角形題的主要考向分為四類：一是河流寬度模型，二是塔高模型，三是仰俯角模型，四是航海問(wèn)題。需要注意的是，雖然在題目呈現(xiàn)上是以上四類題型，但從數(shù)學(xué)模型來(lái)看，所有解直角三角形題型均可分為兩大類：一是鈍角作垂線形，二是銳角作垂線形?？键c(diǎn)一：銳角三角函數(shù)【例1】．（2022秋·安徽宿州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，sinAA．94 B．154 C．125【例2】．（2022秋·安徽蕪湖）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ACB等于（）A．31010 B．1010 C．4【例3】．（2021秋·安徽亳州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若tan∠ACD=13，則（2）若CD=25，則tan∠ACD的值為__________【例4】．（2022·安徽淮南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD的最小值是__________【例5】．（2022·安徽合肥）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，將ΔABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ΔDEC，BC和DE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．（1）若∠ABC=20°，則∠BCE=______；（2）若BE=BD，則tan∠ABC=______．【例6】．（2023秋·安徽合肥）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF，設(shè)∠ABE=α．(1)求∠AFC的大??；(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG．①求證：DG∥CF；②連接OD，若OD⊥DG，求sinα【例7】．（2022·安徽·）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，∠ADE=60°，AD=AF．(1)如圖1，求證：EFCF(2)如圖2，若∠DAE=∠CDE，①求證：△ABD≌△ACD；②若EF=4，求CF的長(zhǎng)．【例8】．（2022秋·安徽蚌埠）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，cosB=45，tanC=3，AB=5考點(diǎn)二：解直角三角形的應(yīng)用【例9】．（2022秋·安徽安慶）如圖，河的兩岸l1與l2相互平行，A、B是l1上的兩點(diǎn)，C、D是l2上的兩點(diǎn)．某人在點(diǎn)A處測(cè)得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)E（點(diǎn)E在線段AB上），測(cè)得∠DEB=60°，求【例10】．（2022秋·安徽滁州）如圖，張明站在河岸上的G點(diǎn)，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過(guò)來(lái)，此時(shí)，他測(cè)得小船C的俯角是∠FDC=30°，若張明的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，tan∠BAE=4:3，坡長(zhǎng)AB=10米，求小船C到岸邊的距離CA的長(zhǎng)？（參考數(shù)據(jù)：根號(hào)【例11】．（2022秋·安徽安慶）如圖，某超市的倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡度為i=1:2，頂部處的高，B、C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB長(zhǎng)度；(2)矩形DEFG為長(zhǎng)方體貨柜的側(cè)面圖，其中，將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，此時(shí)GB=6m，身高為1.5m的小明站在B處看到點(diǎn)D正上方1.5m處有一盞吊燈．求點(diǎn)D離地面的高度并求出小明的仰角α的正切值．【例12】．（2022·安徽六安）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：(1)坡頂A到地面PO的距離；(2)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos7【例13】．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）某校初中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐開展了多彩的活動(dòng)．在一次活動(dòng)中，某興趣小組學(xué)習(xí)了以下史料：魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高：如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=表高(1)該興趣小組學(xué)過(guò)解直角三角形后，對(duì)該問(wèn)題的測(cè)量方法進(jìn)行了改良：測(cè)得兩次測(cè)量點(diǎn)之間的距離CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，請(qǐng)求出海島的高AB（其中AB⊥AC）．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，）(2)證明：海島的高AB=表高【例14】．（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）小明在A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西75°方向，并由A點(diǎn)向南偏西45°方向行走到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏西45°方向，繼續(xù)向正西方向行走2km后到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得C點(diǎn)在D點(diǎn)的北偏東22.5°方向，求A，C兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留0.1km．參數(shù)數(shù)據(jù)≈1.732）【例15】．（2023秋·安徽亳州）北京時(shí)間2022年6月5日10時(shí)44分，神舟十四號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵(lì)志條幅GF．如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端F的仰角為42°，若AB，CD均為1.7米（即四邊形ABCD為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算：(1)當(dāng)小亮站在B處時(shí)離教學(xué)樓的距離；(2)求條幅GF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，一、單選題1．（2022·中考真題）如圖，一條河兩岸互相平行，為測(cè)得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)P、Q兩點(diǎn)距離為m米，∠PQT=α，則河寬PT的長(zhǎng)度是（

）A．msinα B．mcosα C．2．下列計(jì)算錯(cuò)誤的有（

）①sin60°-sin30°=sin30°；②A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（A．817 B．715 C．15174．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．若sin∠DFE=1A．12 B．22 C． D．二、填空題5．（2022春·全國(guó)）如果α是銳角，sina=cos30°6．如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點(diǎn)D處后進(jìn)球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點(diǎn)D到地面的距離CD的長(zhǎng)為______7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，則＝_____．三、解答題8．計(jì)算：2sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（12）﹣19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別為（1）已知a=3,b=3，求∠A；（2）已知b=4,c=8，求a及∠A；（3）已知∠A=45°,c=8，求a及b．10．小明家住深圳某小區(qū)一樓，家里開了一間小賣部，小明的爸爸想把囤積的商品打折促銷7天，因?yàn)榭紤]到疫情期間的安全問(wèn)題，小明爸爸把一樓朝南的窗戶改造成了營(yíng)業(yè)窗口，如下圖1，因?yàn)樘鞖鉂u漸回暖，小明的爸爸想讓小明幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)可以伸縮的遮陽(yáng)棚，如圖2，AB表示窗戶，高度為2米，寬度為3米，BCD表示直角遮陽(yáng)篷，他打算選擇的支架BC的高度為0．5米．小明為了最大限度地阻擋正午最強(qiáng)的陽(yáng)光，為了測(cè)量太陽(yáng)與地面的最大夾角，小明選擇一個(gè)晴朗的天氣，正午12點(diǎn)時(shí)在地面上豎立了一個(gè)長(zhǎng)4米的木桿，測(cè)得落在地面的影子長(zhǎng)為2．31米．參考數(shù)據(jù)（tan60°=≈1．73）(1)正午12點(diǎn)時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角約為________度，請(qǐng)你幫忙估算出沒(méi)有遮陽(yáng)棚時(shí)，正午12點(diǎn)時(shí)太陽(yáng)照射到室內(nèi)區(qū)域面積為___________．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)正午12點(diǎn)時(shí)，太陽(yáng)剛好沒(méi)有射入室內(nèi)此時(shí)的CD，并求此時(shí)CD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）11．為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門AB高6.5米，學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭A的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域CD段時(shí)，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭A的仰角為60°，求體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域CD段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）12．（2022·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O