6.5垂直七年級數學上冊講義（蘇科版）（原卷版）

垂直知識點一、垂線的概念及表示1. 垂線：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.（垂線是直線，不是線段）2. 垂足：互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足.3. 表示方法：如圖所示，兩條直線互相垂直，記作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.4. 兩條直線互相垂直時，常在垂足處寫一個直角標志“┑”.5. 線段與線段、線段與射線、射線與射線垂直，指的都是它們所在的直線互相垂直.例：已知OC⊥OA，OD⊥OB，若∠AOB＝30°，則∠COD等于（）A．60° B．30°或150° C．120° D．90°【解答】B【解析】如圖1：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝150°；如圖2：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠DOC＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°；如圖3：∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝30°，故選B．知識點二、垂線的畫法如圖所示，過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線.知識點三、垂線的結論1. 基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2. 垂線段及其性質：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短.3. 點到直線的距離 如圖所示，直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，上圖中，線段AB的長度就是點A到直線l的距離.4. 已知直線的垂線有無數條，但在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.5. 連接直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.6. 點到直線的距離是點到直線的垂線段的長度，并不是垂線段.例：如圖，下列線段的長度指的是點A到直線CD的距離的是（）A．AC B．CD C．AD D．BD【解答】C【解析】∵AD與CD垂直于點D，∴線段AD是點A到直線CD的距離，故選C．鞏固練習一．選擇題（共8小題）1．如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，則點A到CD的距離是線段（）的長度．A．CD B．AD C．BD D．BC2．點P為直線l外一點，點A為直線l上一點，PA＝4cm，設點P到直線l的距離是dcm，則（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤43．如圖，某地進行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個汽車站，且有A、B、C、D四個地點可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應建在（）A．點A處 B．點B處 C．點C處 D．點D處4．如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝25°，則∠AOC的大小為（）A．65° B．105° C．120° D．115°5．如圖，直線AB與CD交于點O，過點O作EO⊥CD，∠AOE＝50°，則∠BOC的度數是（）A．140° B．135° C．130° D．120°6．如圖，直線AB，CD相交于點E，EF⊥AB于點E，若∠FEC﹣∠AEC＝20°，那么∠AED的度數為（）A．125° B．135° C．140° D．145°7．如圖，直線AB，CD交于點O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，則∠AOG等于（）A．10° B．12° C．14° D．16°8．如圖，將一副三角尺的直角頂點重合放置于點A處，下列結論：①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中結論正確的個數是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二．填空題（共8小題）9．如圖，CD⊥AB，點E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．則點C到AB的距離是cm．10．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為點O．若∠BOE＝40°6'，則∠AOC的度數為．11．人去河邊打水總是垂直于河邊方向走的數學原理是．12．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，∠COE＝54°，則∠BOD的度數是．13．已知∠A和∠B的兩邊互相垂直，且∠A比∠B的兩倍少60°，則∠B的度數為．14．已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則A到BC距離是．若A地在C地的正東方向，則B地在C地的方向．15．在直線MN上取一點P，過點P作射線PA、PB，若PA⊥PB，當∠MPA＝55°時，則∠NPB度數是．16．已知：直線AB與直線CD交于點O，∠BOC＝45°，（1）如圖，若EO⊥AB，則∠DOE＝．（2）如圖，若EO平分∠AOC，則∠DOE＝．三．解答題（共10小題）17．如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOC＝20°．求∠DOG的度數．18．如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB于點O．（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOD的度數．（2）若∠1＝∠2，請判斷ON與CD垂直嗎？如果垂直，請說明理由．19．如圖，已知OB，OC，OD是∠AOE內三條射線，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．（1）若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度數．（2）若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度數．（3）若∠DOE＝20°，∠AOE+∠BOD＝220°，求∠BOD的度數．20．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度數；（2）在∠AOM的內部畫射線ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分線嗎？請說明理由．21．如圖，直線AB和CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠EOF＝107°，求∠COE的度數．22．如圖，∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足為O．求∠DOB的度數．（按要求填空）解：∵OD平分∠AOC（已知），∴∠AOD＝∠DOC（）．∵∠AOC＝140°（），∴∠AOD＝°（等量代換）．又∵OB⊥OA（已知），∴∠AOB＝90°（）．∴∠DOB＝∠AOB﹣＝°．23．如圖，直線AB，CD相交于點O，OB平分∠EOD．（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度數；（2）在（1）的條件下，畫OF⊥CD，請直接寫出∠EOF的度數．24．已知，直線AB、CD交于點O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．（1）如圖1，求∠DOE的度數；（2）如圖2，過點O畫出直線CD的垂線MN，請直接寫出圖中所有度數為125°的角．25．如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥CD．（1）如圖1，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD．求證：OE平分∠AOF；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點O作OG⊥AB，當∠FOG：∠AOE＝2：3時，求∠COG的度數．26．直線A