專題06函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的基本性質(zhì)（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖19個(gè)考點(diǎn)清單題型解讀）

清單06函數(shù)的概念及其表示、函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）（19個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的圖象1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“”；上“+”下“”）①②③④注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.1.2、函數(shù)圖象的對(duì)稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對(duì)值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）【清單02】函數(shù)的單調(diào)性2.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).【清單03】函數(shù)的奇偶性3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).【清單04】函數(shù)奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)4.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【清單05】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；5.2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)【考點(diǎn)題型一】函數(shù)圖象識(shí)別【解題方法】特殊值法，單調(diào)性，奇偶性【例11】（2324高一上·河南·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別、基本不等式求和的最小值【分析】利用單調(diào)性、最值結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，排除AD；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2，故排除C.B選項(xiàng)的圖象符合題意.故選：B.【變式11】（2324高一上·浙江·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再將函數(shù)改寫成分段函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，因?yàn)榕c在0,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域0,+∞上單調(diào)遞增，故排除A、C、D，故選：B【例12】（2324高三上·浙江溫州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別【解析】將原函數(shù)的解析式變形為，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷出答案.【詳解】原函數(shù)解析式可化為：其圖象可看作是將對(duì)勾函數(shù)右移個(gè)單位，上移個(gè)單位而得到，故A選項(xiàng)符合.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，較簡單，將原函數(shù)解析式合理變形是關(guān)鍵.【變式12】（2324高一上·遼寧·階段練習(xí)）函數(shù)的圖像簡圖可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、函數(shù)圖像的識(shí)別【分析】由題可得可排除AB，然后根據(jù)時(shí)函數(shù)值的范圍可排除C.【詳解】因?yàn)椋?，故排除AB；當(dāng)時(shí)，，故排除C.故選：D.【考點(diǎn)題型二】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性【解題方法】定義法【例21】（2425高一上·江西上饒·開學(xué)考試）（1）試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）求出函數(shù)的值域．【答案】（1）證明見解析；（2）【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)題意，任取，令，利用作差法單調(diào)性的定義分析證明；（2）根據(jù)（1）中可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，可證在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性分析最值，進(jìn)而可得值域.【詳解】（1）證明：任取，令，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，任取，令，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，可知函?shù)的最大值為，最小值為2，所以函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?1】（2324高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】已知f（g（x））求解析式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由配湊法可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）在上單調(diào)遞減.證明如下：令，則，，即，所以在上單調(diào)遞減.【例22】（2324高一上·河北承德·期末）已知奇函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求在上的值域.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可.（2）利用單調(diào)性法求解值域即可.【詳解】（1）由題意可得解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以.在1,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：，且.因?yàn)?，所?所以，即，所以在1,+∞上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在1,+∞上單調(diào)遞減.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，故在上的值域?yàn)?【變式22】（2425高一上·上海·課堂例題）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．【答案】函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間?1,1上為嚴(yán)格減函數(shù)．證明：設(shè)，則．因?yàn)?，，所以，，，，所以，所以．所以?dāng)時(shí)，函數(shù)在?1,1上為嚴(yán)格減函數(shù)．【考點(diǎn)題型三】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【例31】（2324高一下·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）.A． B．C． D．，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋值膱D象是由向右平移個(gè)單位而來，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D【變式31】（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和2,+∞C．?∞,1和 D．和2,+∞【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出具體函數(shù)圖象【分析】去絕對(duì)值符號(hào)表示出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和2,+∞．故選：B.【例32】（2324高二下·福建南平·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】畫出具體函數(shù)圖象、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】作出的圖象，結(jié)合圖象可得單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，作出的圖象，如圖所示，由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.故選：D.【變式32】（2324高一上·廣東深圳）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】由已知，先判斷函數(shù)的奇偶性，然后分段畫出圖像，即可讀取單調(diào)減區(qū)間.【詳解】由已知，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可畫出函數(shù)圖像，圖下圖所示：所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，故選：A.【考點(diǎn)題型四】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】同增異減；圖象平移【例41】（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得，即，解得或，令（或），則，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)樵诙x域內(nèi)遞增，所以在上遞減，在上遞增.故選：C【變式41】（2324高一上·北京·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的遞減區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【例42】（2324高一上·黑龍江）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．，C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則“同增異減”，可得答案．【詳解】由，可知函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，且．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，．故選:B．【變式42】（2324高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、與二次函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題【解析】由函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義滿足，解得或，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，其中解答中熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.【考點(diǎn)題型五】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【例51】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】時(shí)，代入可知滿足題意；時(shí)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)合函數(shù)在右半部分單調(diào)遞減得出開口方向，列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，,上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D【變式51】（2324高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】分類討論，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則或，所以或；綜上，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【例52】（2324高一上·河南·期中）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，平方可得，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，圖象開口向下，圖象關(guān)于對(duì)稱，由于，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，圖象開口向上，關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有解得．故選：B．【變式52】（2324高三上·全國·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則有，即，故選：B【考點(diǎn)題型六】判斷函數(shù)的奇偶性【解題方法】定義法，圖象法【例61】（多選）（2324高一上·廣東湛江·期中）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷.【詳解】A.因?yàn)閒x的定義域?yàn)椋?，A正確；B.因?yàn)閒x的定義域?yàn)镽且，B正確C.因?yàn)閒x的定義域?yàn)?，設(shè)，則，所以，則，同理當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C正確；D.由，即，解得,所以函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【變式61】（2425高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)偶函數(shù)(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)奇函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】先求函數(shù)的定義域，如果對(duì)稱，則利用奇偶性的定義判斷即可；若不對(duì)稱，則是非奇非偶函數(shù).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，∴為偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，又f?x=?fx∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴是非奇非偶函數(shù)．（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，都有，且，∴是奇函?shù)．【例62】（2425高一上·上?！ふn堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說理．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析(2)非奇非偶函數(shù)，理由見解析(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，理由見解析(4)偶函數(shù)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、具體函數(shù)的定義域【分析】（1）（2）（3）（4）利用定義域是否對(duì)稱和與的關(guān)系式來判斷奇偶性.【詳解】（1）由得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，此時(shí)，∴函數(shù)為奇函數(shù)．（2）由，得定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴為非奇非偶函數(shù)．（3）由，得，即該函數(shù)的圖象由點(diǎn)，構(gòu)成，這兩個(gè)點(diǎn)既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（4）當(dāng)時(shí)，，，∴．當(dāng)時(shí)，，，∴．當(dāng)時(shí)，，，∴．綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)都有f?x=fx，∴【變式62】（2024高一·全國·專題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)【答案】(1)奇函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)奇函數(shù)(5)即是奇函數(shù)也是偶函數(shù)(6)非奇非偶函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．，故為奇函數(shù)；（2）的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（3）因?yàn)椋?，即函?shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（4）由，得，且，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以．又，所以是奇函數(shù)；（5）對(duì)于函數(shù)，因?yàn)椋裕涠x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，所以，f?x=?fx所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（6）因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．故答案為：①奇函數(shù)；②非奇非偶函數(shù)；③非奇非偶函數(shù)；④奇函數(shù)；⑤即是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；⑥非奇非偶函數(shù)【考點(diǎn)題型七】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值【解題方法】奇偶性定義【例71】（2324高一下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】利用奇函數(shù)定義，列式計(jì)算即得.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則，解得，函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，所以.故選：A【變式71】（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、由奇偶性求參數(shù)【分析】由f?x【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以f?x=f即，即，兩邊平方，化簡可得．要使上式恒成立，則，即．故答案為：【例72】（2324高一上·浙江寧波·期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，得在(或其子集)上為偶函數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，在(或其子集)上為偶函數(shù)，恒成立，恒成立，故選:

A.【變式72】（2324高一下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，則.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)求出即可求出.【詳解】的定義域?yàn)椋鵀槠婧瘮?shù)，故，而，故，故，所以，此時(shí)，故為奇函數(shù)，故，故答案為：【考點(diǎn)題型八】利用函數(shù)奇偶性解不等式【解題方法】奇偶性+單調(diào)性【例81】（2425高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式解集為（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)得到解析式，再判斷函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，由此求解不等式即可.【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，又，即函數(shù)是奇函數(shù)，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B.【變式81】（2324高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷出是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，且為奇函數(shù)，將不等式變形即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，可知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，由可得，所以，可得m2+m?2<0，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【例82】（2324高一·河南安陽·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性限定出不等式取值范圍可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，又函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿足，解得，即的取值范圍為.故答案為：【變式82】（2324高二下·廣東茂名·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】證明函數(shù)的奇偶性，再分析出其單調(diào)性，從而得到，解出即可.【詳解】由可得x∈R且，則為偶函數(shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則恒成立，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，解得或.故選：D.【考點(diǎn)題型九】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性【解題方法】公式法【例91】（2425高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的周期性的定義與求解、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】先由函數(shù)圖象平移的性質(zhì)得到為偶函數(shù)，再利用函數(shù)周期性的判定得到為周期函數(shù)，進(jìn)而利用賦值法即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位長度得到，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以是以8為一個(gè)周期的偶函數(shù)，所以，由，得，則.故選：C.【變式91】（2324高一下·全國·課后作業(yè)）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有個(gè).【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)，賦值即可求解.【詳解】由是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)可得，再由可得函數(shù)周期為1，所以，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，故，所以，，，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為7．故答案為：7．【例92】（2425高二上·安徽阜陽·開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)的判定與求值、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，計(jì)算出、、、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性以及并項(xiàng)求和法可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由題意得，，令，則，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，設(shè)，又關(guān)于對(duì)稱，所以，即，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，故函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4.又當(dāng)時(shí)，，且，故可以得出.進(jìn)而.那么.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱.【變式92】（2425高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且滿足，又，，則的值是（

）A．2 B． C．2024 D．2025【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)題意，求得，得到的周期為3，進(jìn)而求得的值，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，可得，所以，所以函數(shù)的周期為3，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，可得，所以，則.故選：A.【考點(diǎn)題型十】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用【解題方法】圖象法+公式+定義【例101】（多選）（2324高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的有（

）A． B．在單調(diào)遞增C．的解集是 D．的最大值是【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求二次函數(shù)的值域或最值、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷B選項(xiàng)；由可得，解該不等式可判斷C選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，可得，解得或，所以不等式的解集為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，要求函數(shù)的最大值，只需求該函數(shù)在上的最大值，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，D對(duì).故選：AD.【變式101】（多選）（2324高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．的周期為4【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】利用已知先求的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，然后可得周期可判斷D；利用對(duì)稱性分析可判斷BD，取特例驗(yàn)證可判斷A.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，將換為可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即.所以的對(duì)稱軸關(guān)于的對(duì)稱直線也是的對(duì)稱軸，C正確；所以的對(duì)稱中心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也是的對(duì)稱點(diǎn)，B正確；又，所以，的周期為4，D正確；根據(jù)以上性質(zhì)，不妨作出滿足函數(shù)性質(zhì)的一種圖象情況，如圖，

由圖可知，此時(shí)可以不成立，故A錯(cuò)誤.故選：BCD．【例102】（多選）（2324高一下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的為（

）A．可能是偶函數(shù) B．C． D．【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、比較函數(shù)值的大小關(guān)系、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，取常數(shù)函數(shù)即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)題設(shè)有、，進(jìn)而可得，由周期性、奇偶性求即可判斷B選項(xiàng)，最后結(jié)合在上單調(diào)遞增，即可判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由是奇函數(shù)，則，所以①，是偶函數(shù)，同理易知：②，由②得，聯(lián)立①式得③，所以④，由③④得，即，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，由知，當(dāng)?shù)?，由知，?dāng)?shù)?，所以，所以，由已知在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由及得，所以，因?yàn)?，即，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD．【變式102】（多選）（2324高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，由對(duì)稱軸和對(duì)稱中心分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于AB：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，但無法判斷，故B正確，A錯(cuò)誤；對(duì)于D：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，，故D正確；對(duì)于C：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，，令，則，故C正確.故選：BCD.【考點(diǎn)題型十一】利用函數(shù)奇偶性求解析式【解題方法】奇偶性定義【例111】（2425高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明在上的單調(diào)性；(3)解不等式.【答案】(1)，．(2)在上為減函數(shù),證明見解析.(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得，結(jié)合可得，故可求函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上為增函數(shù)；（3）根據(jù)（2）中的單調(diào)性可求不等式的解.【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，．（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)．（3）由題意，不等式可化為，所以，解得,所以該不等式的解集為．【變式111】（2425高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)圖象又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得圖象過點(diǎn)和，再用待定系數(shù)即可求解；（2）將化為，再用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】（1）依題意，函數(shù)的圖象過點(diǎn)和.所以，故，（2）不等式可化為.即對(duì)一切的恒成立.因?yàn)?，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【例112】（2324高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的解集為．(1)求a，b的值；(2)若是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（?。┣蟮慕馕鍪剑áⅲ┣蟛坏仁降慕饧敬鸢浮?1)，(2)（?。?；（ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求函數(shù)解析式、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）先求導(dǎo)，結(jié)合題意可得1和2是方程的兩個(gè)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；（2）（?。┯深}意根據(jù)奇函數(shù)的定義以及當(dāng)時(shí)，，可以求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式，從而即可進(jìn)一步求解.（ⅱ）結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又的解集為，所?和2是方程的兩個(gè)根，且，所以，解得，.（2）（?。┯桑?）知，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，，故，所以.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，得，所以，即，所以不等式的解集為.【變式112】（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求時(shí)，函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)的取值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）設(shè)，得到，再利用函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)求解；（2）易得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以；（2）函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，解得，成立；當(dāng)時(shí)，，解得，不成立；當(dāng)時(shí)，，解得，不成立；故a的值為.【考點(diǎn)題型十二】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【例121】（234高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】先判斷的奇偶性，然后將表示為分段函數(shù)的形式，畫出的圖象，由此確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，畫出的圖象如下圖所示，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C【變式121】（2324高一上·河北石家莊）f(x)=的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性、判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示：由函數(shù)的圖象知：f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：【例122】（2324高一上·陜西咸陽·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．∪C．和 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性【分析】先對(duì)函數(shù)化簡，然后畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的遞增區(qū)間為和，故選：C【變式122】（2324高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的值；(2)在坐標(biāo)系中畫出的草圖；(3)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)5(2)作圖見解析(3)減區(qū)間為，增區(qū)間為0,2；值域?yàn)椤局R(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)值、分段函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的值域或最值、畫出具體函數(shù)圖象【分析】（1）先求，再求可得答案；（2）分段作出圖象即可；（3）根據(jù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求出值域．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以．?）草圖如下：（3）由圖可知，減區(qū)間為，增區(qū)間為0,2；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；所以的值域?yàn)椋究键c(diǎn)題型十三】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【例131】（2425高一上·江西上饒·開學(xué)考試）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)的單調(diào)性定義計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，解得，故選項(xiàng)中A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.【變式131】（2425高三上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性及一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【例132】（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，則滿足且，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【變式132】（2324高一上·安徽阜陽·階段練習(xí)）函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A【例133】（2324高一下·吉林長春·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨假設(shè)，則，可得，即，可知函數(shù)在R上遞減，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.【變式134】（2324高二上·云南迪慶·期末）若函數(shù)，且對(duì)于，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性來求參數(shù)的取值范圍，即可.【詳解】假設(shè)，由得：，所以可得是單調(diào)減函數(shù)；由在上單調(diào)遞減，可得：，即；由于是單調(diào)減函數(shù)，還需要滿足，即；綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是；故答案為：.【考點(diǎn)題型十四】分段函數(shù)的值域或最值問題【解題方法】圖象法【例141】（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值、最小值.【答案】最大值為2，最小值為【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的值域或最值、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，取最大值為2；當(dāng)時(shí)，取最小值為.所以的最大值為2，最小值為.【變式141】（2425高三上·山西晉中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，求：(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】(1)11(2)【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的值域或最值、求分段函數(shù)值【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式運(yùn)算求解即可；（2）分、和三種情況，結(jié)合分段函數(shù)解析運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，則；若，則；若，則；綜上所述：的值域?yàn)?【例142】（2324高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，.(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，并畫出函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出值域.(3)若與有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)，函數(shù)圖象見詳解；(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】畫出具體函數(shù)圖象、分段函數(shù)的值域或最值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的變換【分析】（1）根據(jù)的正負(fù)打開絕對(duì)值，寫出，在給定區(qū)間上分別畫出二次函數(shù)的圖象；（2）數(shù)形結(jié)合，得出函數(shù)的值域；（3）結(jié)合函數(shù)得出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的解析式為，函數(shù)圖象如下圖所示：（2）當(dāng)時(shí)，有最小值1，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）的圖象是保留函數(shù)橫軸及橫軸上方的圖象，下方圖像象沿軸向上對(duì)稱翻折，如圖，由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，的取值范圍為.【變式142】（2324高一上·天津·期中）已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù).

(1)求Fx(2)畫出Fx【答案】(1)(2)圖象見解析，值域?yàn)椤局R(shí)點(diǎn)】畫出具體函數(shù)圖象、分段函數(shù)的值域或最值、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）由題意分別求出當(dāng)、時(shí)的解析式，即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)畫出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖形即可得出函數(shù)的值域.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以.（2）如圖所示：

由圖象可知函數(shù)的最小值為，最大值為，故函數(shù)的值域?yàn)?【考點(diǎn)題型十五】二次函數(shù)的最值問題（不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）【解題方法】配方法+圖象法【例151】（2324高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)在上的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.故選：C.【變式151】（2324高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楸硎緦?duì)稱軸為，開口向下的拋物線，所以當(dāng)時(shí)取最大值，故選：C【例152】（2324高一上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)，【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間【分析】（1）由二次函數(shù)開口和對(duì)稱軸可直接判斷；（2）由定區(qū)間的圖像特征直接求解即可.【詳解】（1）由，函數(shù)對(duì)稱軸為，又因函數(shù)開口向上，故在上函數(shù)單調(diào)遞減，在上函數(shù)單調(diào)遞增；（2）因?yàn)?，時(shí)單減，時(shí)單增，，.【變式152】（2324高一上·福建福州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求解值域.【詳解】開口向上，對(duì)稱軸為x=1,函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,所以.故答案為：【考點(diǎn)題型十六】二次函數(shù)的最值問題（含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）【解題方法】圖象法+分類討論【例161】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）分別在、和的情況下，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性確定最大值，由此可得；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；綜上所述：.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的最大值為.【變式161】（2324高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若在上的值域?yàn)椋髆的取值范圍；(2)求在上的最小值的解析式.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸及端點(diǎn)值，即可求解參數(shù)范圍.（2）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論求解最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋?，所以在上的值域?yàn)?,1時(shí)，；（2）由題意可知，的對(duì)稱軸為，且圖象開口向上，①當(dāng)時(shí)，在0,1上單調(diào)遞增，故；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；③當(dāng)時(shí)，在0,1上單調(diào)遞減，故．綜上所述，．【例162】（2324高一上·北京·期中）已知二次函數(shù).(1)若存在使成立，求k的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、解不含參數(shù)的一元二次不等式、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）利用可得答案；（2）分、、討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）若存在使成立，則，解得或，所以k的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，為對(duì)稱軸是開口向上的拋物線，因?yàn)?，所以，?dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【變式162】（2425高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有最小值3，求的值.【答案】(1)(2)或．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）把的值代入函數(shù)解析式，再判斷函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可以求解，（2）討論對(duì)稱軸與已知區(qū)間的三種位置關(guān)系，分別求出最小值，令其為3，解出來的值，進(jìn)而可以求解．【詳解】（1）若，則，對(duì)稱軸為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，；所以的值域?yàn)椋?），對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在,上是增函數(shù)．，由，得．，．②當(dāng)，即時(shí)，．由，得，舍去．③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在,上是減函數(shù)，．由，得．，，綜上所述，或．【考點(diǎn)題型十七】恒成立與能成立問題【解題方法】判別法+變量分離法【例171】（2425高三上·福建寧德·開學(xué)考試）已知不等式.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍；(3)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不存在，理由見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、函數(shù)不等式恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】（1）分及進(jìn)行討論，結(jié)合根的判別式計(jì)算即可得；（2）參變分離后借助換元法計(jì)算即可得；（3）令，則可結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，若不等式對(duì)任意x∈R恒成立，則有，即，該不等式組無解，故不存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)任意x∈R恒成立；（2）由題意可得：當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，令，則，則，由在上單調(diào)遞增，故，則，故；（3）設(shè)，由題意可得在上恒成立，故有，即，由①得或，由②得，即可得.【變式171】（2024高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、函數(shù)不等式恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可；（2）分離參數(shù)，再利用基本不等式求出右邊最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即為，解得或，則該不等式解集為.（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，分離參數(shù)得對(duì)恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則.【例172】（2324高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，不等式的解集是.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)不等式的解集，可得對(duì)應(yīng)方程的解，進(jìn)而可得參數(shù)值及函數(shù)解析式；（2）方法一：分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得最值及參數(shù)范圍；方法二：結(jié)合二次函數(shù)的最值情況分情況討論可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧?，則的兩根是和，由根于系數(shù)關(guān)系可得，解得，所以；（2）方法一：關(guān)于的不等式在上有解，等價(jià)于，使得，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，，所以，故的取值范圍是；方法二：由題知，即關(guān)于的不等式在上有解，令，等價(jià)于在區(qū)間上的最小值，圖象的對(duì)稱軸是，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸和區(qū)間位置關(guān)系可知，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)的最小值，則，解得；②當(dāng)，即時(shí)，的最小值，此時(shí)恒成立，所以得；③當(dāng)，即時(shí)，，則由，解得；綜上所述，的取值范圍是.【變式172】（2324高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，(1)解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、函數(shù)不等式恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、對(duì)勾函數(shù)求最值【分析】（1）分類討論解析一元二次不等式.（2）把代入，并等價(jià)變形不等式，再分段分離參數(shù)，借助對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求出最值即得.【詳解】（1）函數(shù)，不等式，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，若，則；若，則或；若，則或，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不等式，依題意，，不等式，當(dāng)時(shí)，成立，，當(dāng)時(shí)，恒成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【考點(diǎn)題型十八】抽象函數(shù)綜合問題【例181】（2425高三上·福建寧德·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足對(duì)于任意，有，當(dāng).(1)證明：在上是增函數(shù)；(2)證明：是偶函數(shù)；(3)如果，解不等式.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、抽象函數(shù)的奇偶性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）令，求得，再由，求得，進(jìn)而得出，即可證明結(jié)論；（3）由（2）可得不等式可變?yōu)?，結(jié)合（1）可求得不等式的解集.【詳解】（1）設(shè)，則，由于，所以，所以，所以，所以，所以在上是增函數(shù)；（2）因?qū)Χx域內(nèi)的任意，有，令，則有，又令，得，再令，得，從而，于是有，所以是偶函數(shù)．（3）由于，所以，于是不等式可化為，由（2）可知函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式可化為，又由（1）可知在上是增函數(shù)，所以可得，解得，所以不等式的解集為．【變式181】（2324高一上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求并判斷的奇偶性；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，奇函數(shù)(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）令,得到與的關(guān)系,可判斷函數(shù)奇偶性.（2）先判斷函數(shù)單調(diào)性.再利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式,再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.即可求解.【詳解】（1）令可得：

（2）先證明：在R上為減函數(shù)證明：設(shè)任意，且，則又當(dāng)時(shí)，，即在R上為減函數(shù).，可得恒成立當(dāng)時(shí)，2>0恒成立當(dāng)時(shí)，，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是【例182】（2425高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求證為奇函數(shù)；(2)試判斷在上的單調(diào)性并證明；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)證明見解析(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）令結(jié)合奇函數(shù)的定義證明；（2）利用單調(diào)性的定義證明；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式.【詳解】（1）證明：取，得；再取，得，即，∴為上的奇函數(shù)；（2）為上的增函數(shù).證明如下：證明：任意取，且，則，∴，∵，∴，由已知時(shí)，得，∴，即，∴為上的增函數(shù).（3），∵為上的增函數(shù)，∴，即.當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為：；當(dāng)時(shí)，，【變式182】（2324高一下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，都滿足，且.當(dāng)時(shí)，，且.(1)求，的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）利用賦值法可得與；（2）利用賦值法可得，且當(dāng)時(shí)；（3）結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得不等式，即，根據(jù)二次函數(shù)最值可知，解不等式即可.【詳解】（1）由，則，又當(dāng)時(shí)，，則，；（2）令，則，即，當(dāng)時(shí)，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，則，所以，即在上單調(diào)遞增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以恒成立，又，即，解得.【考點(diǎn)題型十九】函數(shù)基本性質(zhì)中的新定義問題【例191】（2425高一上·全國·開學(xué)考試）若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”．(1)函數(shù)①；②；③，其中函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”；（填序號(hào)）(2)已知函數(shù)．①函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，請(qǐng)直接寫出的值；(3)已知函數(shù)，若函數(shù)是在（為整數(shù)）上的“美好函數(shù)”，且存在整數(shù)，使得，求的值．【答案】(1)①(2)①或；②或(3)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)“美好函數(shù)”的定義逐個(gè)分析判斷即可；（2）①分和兩種情況求出二次函數(shù)在給定范圍上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后分，，和四種情況求函數(shù)在給定范圍上的最值，然后利用列方程可求出的值；（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，從而可求出，，然后由為整數(shù)可求出，再由列方程可求出.【詳解】（1）對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，符合題意；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，不符合題意；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，不符合題意；故答案為：①；（2）①二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，，綜上所述，或；②二次函數(shù)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．若，則，解得（舍去）；若，則，解得（舍去），；若，則，解得，（舍去）；若，則，解得（舍去）．綜上所述，或；（3）由（2）可知，二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，又，，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)取得最大值，時(shí)取得最小值，∴，為整數(shù)，且，，即的值為5，又∵，，．【例192】（2324高二下·浙江寧波·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镸，區(qū)間，對(duì)任意，且，記，．若，則稱在I上具有性質(zhì)A；若，則稱在I上具有性質(zhì)B：若，則稱在I上具有性質(zhì)C；若，則稱在I上具有性質(zhì)D．(1)記①充分不必要條件：②必要不充分條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件，則在I上單調(diào)遞增是在I上具有性質(zhì)A的________（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）：在I上單調(diào)遞增是在I上具有性質(zhì)B的________（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）；在I上單調(diào)遞增是在I上具有性質(zhì)D的________（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）；(2)若在滿足性質(zhì)B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)是否存在m，，使得函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質(zhì)A，B，C，D中的一個(gè)？若不存在，請(qǐng)說明理由：若存在，求實(shí)數(shù)m的最小值．【答案】(1)①；②；③(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)新定義、充要條件的證明、必要條件的判定及性質(zhì)【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案；（2）根據(jù)性質(zhì)，利用分離常數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)求得的取值范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值．【詳解】（1）由于，所以，對(duì)于性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，無法判斷的符號(hào)，故無法判斷單調(diào)性；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增是在上具有性質(zhì)的充分不必要條件；故答案為：①；對(duì)于性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，的符號(hào)無法判斷，所以在上單調(diào)遞增是在上具有性質(zhì)B的必要不充分條件,故答案為：②；對(duì)于性質(zhì)D，若，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增是在上具有性質(zhì)的充要條件；故答案為：③．（2）對(duì)于任意的，，且，有，，由于在，滿足性質(zhì)，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，由于任意的，，且，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是；（3）實(shí)數(shù)的最小值為，理由如下：因?yàn)樵谏锨M足性質(zhì)、性質(zhì)、性質(zhì)、性質(zhì)中的一個(gè)，所以對(duì)任意，且，若滿足性質(zhì)，，若滿足性質(zhì)，則，若滿足性質(zhì)、，則，性質(zhì)、、同時(shí)滿足，所以僅滿足性質(zhì)，此時(shí)，有恒成立．因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，從而，不合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，從而，要使恒成立，只需使，即恒成立，若，則，，使，這與矛盾，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于新概念題，利用對(duì)充要條件、充分不必要、必要不充分條件的理解來進(jìn)行判斷，利用不等式的性質(zhì)，參變分離解決不等式恒成立問題，同時(shí)需要利用分類討論的思想進(jìn)行不重不漏的討論．提升訓(xùn)練一、單選題1．（2324高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證為奇函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)可判斷為增函數(shù).【詳解】的定義域?yàn)椋春瘮?shù)為奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)．為增函數(shù)，為減函數(shù)．故函數(shù)在時(shí)為增函數(shù)．故選：B2．（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x總有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】利用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)判定即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)镽且，∴是定義在R上的偶函數(shù)，∴，，又∵在上單調(diào)遞增，且，∴，即．故選：A3．（2324高一上·陜西寶雞）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)，是偶函數(shù)D．函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判定即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，，則且，因此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).所以選項(xiàng)中C的說法不正確，故選：C.4．（2425高二上·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是8 B．函數(shù)的最小值是8C．函數(shù)的最大值是 D．函數(shù)的最小值是【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式可求得的最小值判斷BD；由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知無最大值判斷AC.【詳解】函數(shù)，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8，故B正確，D錯(cuò)誤；由，知時(shí)，，所以，故無最大值，故AC錯(cuò)誤.故選：B.5．（2425高三上·山東青島·開學(xué)考試）設(shè)，若是的最小值，則a的取值范圍為（

）A． B． C．