2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：集合與簡(jiǎn)易邏輯【學(xué)案講義】

2025年高考數(shù)學(xué)大招秒殺基礎(chǔ)版-板塊1-集合與簡(jiǎn)易邏輯【學(xué)案講義】

大招一巧用結(jié)論快速搞定集合問(wèn)題

一、集合相等結(jié)論

i若兩個(gè)集合相等，則一個(gè)集合所有元素的和與積應(yīng)等于另一個(gè)集合所有元素的和與積.

例1、若含有三個(gè)元素的集合可以表示為卜上',也可表示為,2Mo},求產(chǎn)7+產(chǎn)7的值.

分析：可直接根據(jù)上述結(jié)論求解，求值時(shí)要注意集合元素的互異性.

b2

4zx—xl=axaxO

解:=由集合相用等的定義可得,a9

b

ciH=.+0

a

解得a=±l/=0,顯然。=1違背集合元素的互異性，

20172017

/.a=-l,Z7=0,.-.a+Z)=-l

評(píng)注：本題既是在各種資料上出現(xiàn)頻率較高的問(wèn)題，又代表著一類(lèi)題型，即含字母參數(shù)的集合相等問(wèn)題，

解答這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法是根據(jù)集合相等的定義對(duì)字母進(jìn)行討論，以確定題目的解，利用上述方法巧妙地

避免了分類(lèi)討論和繁雜運(yùn)算.

例2、已知集合/={a,a++2b},8={a,agac],若4=B,求c的值

分析:要解決c的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的各個(gè)集合的元素完全相同，及

集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性建立關(guān)系式

解：根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：

a+b=ac,,,,,

(1)右，2，消去力，得a+ac——2ac=0

a+2b=ac,

當(dāng)a=0時(shí)，集合8中的三個(gè)元素均為零，與元素的互異性相矛盾，故awO

/.c2-2c+l=0,即c=l,此時(shí)8中的三個(gè)元素又相同，

此時(shí)無(wú)解.

⑵若aC’消去6,得2ac2_ac_q=o

a+2b=ac,

2c2-c-1=0，即(c—l)(2c+l)=0

評(píng)注：(1)解決集合相等的問(wèn)題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正.

(2)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題很難從整體著手解決，需從分解入手，把整體科學(xué)合理地劃分為若干個(gè)局部獨(dú)立

的問(wèn)題，通過(guò)逐一判斷來(lái)解決這些問(wèn)題，從而達(dá)到整體問(wèn)題的解決，這種重要的數(shù)學(xué)方法，就是分類(lèi)討論

的方法，要學(xué)會(huì)這種思維方法.

二、集合運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化

兩集合之間的關(guān)系與運(yùn)算可以相互轉(zhuǎn)化，即==Z==B

例3、已知集合/={0,1,2},8={1,加}.若幺八3=3,則實(shí)數(shù)加的值是()

A.OB.2C.0或2D.0或1或2

解析:因?yàn)?所以BqZ,所以加=0或加=2.選C

例4、已知集合尸={x|/Wl},M={a}.若PM=P,則a的取值范圍是().

A.(-oo,-l]B.[l,+co)C.[-1,1]D.(-00,-l]u[l,+oo)

【答案】C.

【解析】P={x|x2<l}={x|-l<x<l},PuM=P^oe[-1,1].

三、整數(shù)集結(jié)論

整數(shù)集Z的元素可用n(neZ)表示；若分成兩類(lèi)，則可用2〃,2〃+1(或2”,2〃一1)(〃eZ)表示，其中2〃+1和2〃-1

都表示奇數(shù)；若分成三類(lèi)則可用3〃,3"+1,3”+2(或3〃,3〃一1,3〃一2)(〃eZ)表示，其中3〃+1和3〃一2表示一類(lèi)

數(shù)，3〃+2和3〃一1表示一類(lèi)數(shù)；若分成四類(lèi)則可用4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3或4〃,4〃一1,4〃一2,4〃一3)(〃eZ)

表示，以此類(lèi)推，其中的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)

例5、設(shè)集合Af=(x[x=：+；,左eZ},N={x|x=5左eZ卜貝U()

A.M=NB.MPNC.NPMD.McN=0

【答案】B

【解析】士，巴及；N：d,1整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.

4444

例6、已知集合Z=[x|x=a+g,aez1,8={x|x=ez],C=[x|x=*+g,cez1,則

48,C之間的關(guān)系()

A.A=B□CB.AOB=CC.Z揶8CD.BOC=A

【解析】解法一；簡(jiǎn)單列舉集合中的元素；

AJ12121915f_1127IfJ.27101

1P153,6,3,6,f1，6,3,6,6；J

：.A0B,B=C,即ZD5=C,故選B.

解法二：判斷集合中元素的共性和差異.

,3b—2,Z)ezl,C=L|x=^^l,ceZ

A=x\x=-------

6

V3b-2=3(b-I)+l,beZ,:.APB=C,故選B.

評(píng)注：辨析集合之間的關(guān)系應(yīng)該從集合中元素的特點(diǎn)入手，可將元素列舉出來(lái)直觀(guān)分析，也可從描述法中

認(rèn)識(shí)集合中元素具備的特性，定性分析，以上兩種思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的具體情況合

理選擇.

四、子集個(gè)數(shù)結(jié)論

結(jié)論一：設(shè)集合/=｛%,電，,a“｝中有〃個(gè)元素，貝I：

Z的子集的個(gè)數(shù)是2"；Z的真子集的個(gè)數(shù)是2"-1；

A的非空子集的個(gè)數(shù)是2"-1；A的非空真子集數(shù)為2"-2。

結(jié)論二：設(shè)集合Z有〃個(gè)元素，集合8有加個(gè)元素，

(1)若BqMqZ,則加的個(gè)數(shù)是2"加；

(2)若8GM0Z,則M的個(gè)數(shù)是2""'—1；

(3)若BOMNZ,則/的個(gè)數(shù)是2"-"'—1；

(4)若B種MA,則/的個(gè)數(shù)是2""'—2。

例7、求滿(mǎn)足｛1,3｝口尸1＞例2,3,4,5｝集合尸的個(gè)數(shù).

分析：依題意，集合尸中一定含有元素1,3,另外還可含有2,4,5中的0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)元素，所以本題

可轉(zhuǎn)化為求集合｛2,4,5)的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題.

解：依題意，集合尸的個(gè)數(shù).即為集合｛2,4,5｝的真子集個(gè)數(shù)，共有23-1=7個(gè).

評(píng)注：抓住本質(zhì)，轉(zhuǎn)化題意，有時(shí)可使問(wèn)題迅速獲解.

例8、同時(shí)滿(mǎn)足：①｛1,2,3,4,5｝；?a&M,貝16—aeM的非空集合M有()

A.16個(gè)B.15個(gè)C.7個(gè)D.6個(gè)

【答案】c

【解析】。=3時(shí)，6—。=3;。=1時(shí)，6—。=5;。=2時(shí)，6—。=4;。=4時(shí)，6—。=2;。=5時(shí),

6-a=l;:.非空集合M可能是:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7個(gè).故選C.

五、補(bǔ)集結(jié)論

i設(shè)。為全集，集合/、5是它的兩個(gè)子集則有：Cu(/cB)=(C/)u(C/)(交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集

|的并集)，Cu(/uB)=(Cu/)c(C/)(并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集)，這兩個(gè)結(jié)論合稱(chēng)“德摩根法則”

|通過(guò)這個(gè)法則，為了簡(jiǎn)捷地解答問(wèn)題，我們可以把求兩個(gè)集合補(bǔ)集的交集或并集問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求它們并集

|或交集的補(bǔ)集問(wèn)題，或反之.

例9、已知全集。=火，集合/={x|—14》《5},8={劉1<%<7}.求(，//)^(//5)

分析：若先求補(bǔ)集再求并集，相當(dāng)麻煩，因此考慮將(Cu/)u(Cu5)轉(zhuǎn)化為CWZcB)求解.

解:：^4n5={x|-l<x<5}n{x|l<x<7}={x|l<x<5}，

.??(0//)^(<2(75)=07(/門(mén)5)="匕〈1或》〉5}.

評(píng)注:類(lèi)似的結(jié)論還有=Z===B等,適時(shí)將一種情形轉(zhuǎn)化為另一種情形

后，方便理解和求解.

例10、已知全集。中有加個(gè)元素，(Cu/)u(GB)中有〃個(gè)元素.若ZcB非空，則ZcB的

元素個(gè)數(shù)為()

A.mnB.m+nC.n-mD.m-n

［解析』D注意到(￡/)5c=d(/cB).則AcB中元素的個(gè)數(shù)為加—〃個(gè)

大招二對(duì)空集的全方位解讀

解讀一、空集是不含任何元素的集合

空集是不含任何元素的集合，故不能用列舉法或描述法把它表示出來(lái)，我們只能用一個(gè)專(zhuān)用符號(hào)0來(lái)表示

空集.

例1、給出下列關(guān)系式:①若/=0,8=0,則2=8；②0={0}；③0={0}；④卜|工=。1=0⑤

設(shè)全集。=尺，則QR=0.其中正確關(guān)系式的序號(hào)是

分析：只需根據(jù)空集的兩個(gè)特征：空集是集合，空集不含任何元素判斷即可.

解:由空集的定義可得，空集都是不含任何元素的集合，故所有的空集都是相等的，故(1)正確；

。和{0}都是集合，其中0不含任何元素，而{0}是以集合為元素的集合，即是集合的集合，它有一個(gè)

元素0,故0w{0},故⑵錯(cuò)誤，同理(3)錯(cuò)誤；因?yàn)榉匠坦?0無(wú)解，所以[x|L=o[=。，故⑷正確;

x[xJ

因?yàn)槿?及，所以QR是一個(gè)不含任何元素的集合，所以C0R=0,故(5)正確.綜上，正確關(guān)系式

的序號(hào)是：①④⑤

評(píng)注：集合是一組元素組成的整體，其中元素可以是數(shù)、點(diǎn)、實(shí)物，也可以是集合.

解讀二、空集是任何集合的子集

即對(duì)于任一集合Z(包括空集本身)，都有0口2(或Z=0).

例2、已知M={x|—2WxW5},N={x|a+lWxW2a—1},求使得NqM的實(shí)數(shù)a的取值集合.

分析:因?yàn)榧螻中含有參數(shù)a,故N是不確定的，首先要考慮N=0的情形，當(dāng)NW0時(shí)，可借助數(shù)

軸來(lái)解答.

解：(1)當(dāng)N=0時(shí)，滿(mǎn)足止匕時(shí)應(yīng)有a+l>2a—1,解得a<2；

a+\>-2

⑵當(dāng)Nw0時(shí)，若使NqM,須滿(mǎn)足<2?-1<5,解得2<a?3.

2a—12a+1

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是{a|a43}.

評(píng)注:對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，忽視空集是一類(lèi)常見(jiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)同學(xué)們切記.在研究集合之間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，Venn圖和

數(shù)軸是兩個(gè)常用的圖形工具，用它們反映集合之間的關(guān)系形象、直觀(guān)，便于發(fā)現(xiàn)和研究問(wèn)題.

解讀三、空集是任何非空集合的真子集

即對(duì)于任一不是空集的集合Z,都有0DA（或ZV0）.

例3、集合/={xeN|x<4}的真子集的個(gè)數(shù)是

分析:首先把集合Z求出，然后寫(xiě)出其所有真子集，即可確定真子集的個(gè)數(shù).

解:：Z={xeN|x<4}={0』,2,3},

/.集合/的真子集有

0,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3}共15個(gè).

評(píng)注：在寫(xiě)集合Z的子集時(shí)，為避免重復(fù)和遺漏，可按元素個(gè)數(shù)的多少，從小到大寫(xiě)，千萬(wàn)不要忘記空集.

一個(gè)共有〃個(gè)元素的集合/的子集個(gè)數(shù)為2".去掉其本身，即得Z的真子集的個(gè)數(shù)為2"-1；去掉空集，即

得/的非空子集的個(gè)數(shù)亦為2"-1；兩個(gè)都去掉，即得Z的非空真子集的個(gè)數(shù)為2"-2.了；利用上述結(jié)論，

可快速求各類(lèi)子集個(gè)數(shù).

解讀四、空集與任何集合的交集仍是空集

即對(duì)于任一集合Z,都有/c0=0.

例4、已知集合/={—l,2},B={x|/nx+l=0},若AcB=B,則實(shí)數(shù)加的取值組成的集合是（）

⑹卜4}⑻卜川?[1,0,；}①）卜;,。,1}

分析：因?yàn)榉匠碳樱?1=0中含有參數(shù)加，其解集不確定，又因空集既然是任何集合的子集，故首先考慮

的就是8=0的情形.

解：（1）當(dāng)加=0時(shí)，方程加％+1=0無(wú)解，；.5=0,滿(mǎn)足Zc2=3；

（2）當(dāng)加w0時(shí)，方程妙+1=0的解為x=—工，欲使=5,須—工=—1,或—工=2,解得加=1,

mmm

或-加二——1.

2

綜上，m=0,或加=1,或加=一（，故加的取值組成的集合是{一},0,11,選D項(xiàng).

評(píng)注：在通常情況下，往往把4cB=5等價(jià)轉(zhuǎn)化為3=4來(lái)研究.

斛讀五、空集與任何集合Z的并集仍是集合z

即對(duì)于任一集合Z,都有Zu0=4.

例5、已知尸={x|x?-5x+6=。},0={x|ax-6=0},求使得Pu。=P的實(shí)數(shù)a的取值集合.

分析：和例四相仿，首先考慮的也是0=0的情形.

解:「={x|/-5x+6=0}={2,3},

(1)當(dāng)。=0時(shí)，滿(mǎn)足尸。。=尸，由以一6=0得a=0；

⑵當(dāng)。00時(shí)，欲使尸。0=尸，須使0={2}或。={3}.

若0={2},由2a—6=0得a=3；

若°={3},由3a—6=0得a=2.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{0,2,3}.

評(píng)注:在通常情況下，往往把PVJQ=P等價(jià)轉(zhuǎn)化為QjP來(lái)研究.例2、例4和例5都運(yùn)用了分類(lèi)討論,

討論時(shí)要注意編上序號(hào)，按一定的順序討論，以避免重復(fù)和遺漏.

大招三充要條件的集合模型解釋

集合模型解釋

設(shè)集合4={x\x滿(mǎn)足條件p},B={x\x滿(mǎn)足條件q},則有：

（1）若/=則夕是g的充分條件，若4D5,則夕是夕的充分不必要條件.

⑵若3=4,則2是g的必要條件，若則P是q的必要不充分條件.

⑶若/=3,則夕是q的充要條件.

例1、下面四個(gè)條件中，使。>6成立的充分而不必要的條件是（）

A.a>b+1B.a>b-lC.a2>b2D.a2,>b3

思路:求Q〉b的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出且不能被Q〉b推出?？梢钥紤]驗(yàn)證四個(gè)選

項(xiàng)。A選項(xiàng)Q>6+1可以推出Q>6,而Q〉6不一定能夠得到a〉6+1（比如a==1.5）,所以A符合

條件。對(duì)于B,C兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出A,所以直接否定。而D選項(xiàng)雖然可以得到Q〉b,但是a〉b也能

推出。3〉人3,所以。是4的充要條件，不符題意

答案：A

例2、已知尸={x|、2一8%_20,,0},非空集合5={x11-么1+加},若xw尸是xcS的必要條件，

則m的取值范圍為

【解析】由——8x—20?0,得—2”x?10,

所以尸={x|—2,/10},

由XEP是的必要條件，知S=尸，

1-m,,1+m

則v1-加…一2,所以0”/3.

1+m<10

所以當(dāng)0,小，3時(shí)，工￡尸是工￡3的必要條件，即所求加的取值范圍是[0,3].

例3、數(shù)列{an}滿(mǎn)足q=1,%+]=r?%eN*,rw0）,則“r=1”是“數(shù)列{4}成等差數(shù)列”的

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

思路:當(dāng)r=l時(shí)，可得%+］=%+1,即｛4｝成等差數(shù)列。所以"r=l”是"數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列”的充分條

件。另一方面，如果｛%｝成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有

2a,=%+a3n2（r?4+r）=1+尸％+廠(chǎng)=2（7”?％+尸）=1+廠(chǎng)（廠(chǎng)％+r）+r,代入％=1可得：

4r=2r2+/-+1=>2r2-3r+1=0,解得廠(chǎng)=1或廠(chǎng)=工，經(jīng)檢驗(yàn)，r=工時(shí)，tz,=—a,+—=1,

222212

。3=）&+；=1，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得%=1，則｛%｝也為等差數(shù)列（公差為°），所以廠(chǎng)=；符合題

意。從而由“數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列”無(wú)法推出“r=1",所以“尸=1”是"數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列”的不必要條件

答案：A

例4、對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，貝!I“|x-y|<l”是“［幻=［川"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若［幻=［川，設(shè)［x］=a,［川=1,則x=a+a歹=a+c,

其中九0￡［0,1）,所以x-y=b-c,因?yàn)镼,c<l,所以一1〈一c,,0,所以一

所以|工一天|<1,即由［x］=［y］能推出|<1成立；反之，例如x=1.2/=2.1,滿(mǎn)足|工一天|<1,但

a=1,切=2,即由|x—上<1推不出［幻=［川成立，因此“|x—川<1”是“［%］=［叫"的必要不充

分條件.故選B.

大招四充要條件之逆否命題判定法

注意區(qū)分：

“甲是乙的充分條件（甲n乙）”

“甲的充分條件是乙（乙n甲）”

4n5等價(jià)于非8n非Z；

8=/等價(jià)于非/=非3；

/。5等價(jià)于非80非2

例1、錢(qián)大姐常說(shuō)“便宜沒(méi)好宣貨”，她這句話(huà)的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【解析】根據(jù)等價(jià)命題，便宜n沒(méi)好貨，等價(jià)于，好貨n不便宜，故選B.

例2、祖昭原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”.它是中國(guó)古代一個(gè)涉及幾何體體積的問(wèn)題，意思是兩個(gè)同高的

幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。設(shè)