高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習：等差數(shù)列講義

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義數(shù)列之等差數(shù)列

一'知識點講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.等差數(shù)列的概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的①差都等于②同一個常

數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d

表水.

(2)等差中項

如果a,A,。成等差數(shù)列，那么A叫做。與6的③等差中項，目々⑷也.

2

(3)等差數(shù)列的通項公式及其變形

通項公式：⑤a“=ai+(〃—1)d,其中ai是首項，I是公差.

通項公式的變形：an—am+(w—tn)d(m,.

由斯=曲+(ai—(Z)可知，當dHO時，斯可看作關(guān)于〃的一次函數(shù).

規(guī)律總結(jié)

等差數(shù)列的單調(diào)性

當d>0時，數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列；當時，數(shù)列｛aj為遞減數(shù)列；當1=0時，數(shù)列

UJ為常數(shù)列.

2,等差數(shù)列的前"項和

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式：Xg+而〉=⑥=.

(2)由S,=M+上與(ai—”可知，當dWO時，S”可看作關(guān)于〃的二次

函數(shù)，故可借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究S,的最值問題.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)等差數(shù)列項的性質(zhì)

設(shè)數(shù)列｛為｝,彷”｝均為等差數(shù)列.

a.若左+/=m+〃(匕I,m,7i^N*),則詼+的=。,"+。0,特別地，若p+g=2?”,則⑦_

ap+a。2am?反不"定成-AA.

b.若｛斯｝公差為d,貝h〃2〃｝也是等差數(shù)列，公差為⑧2d.

c.｛pan-\-qbn｝(p,q為常數(shù))也是等差數(shù)列.

d.若｛??)與仍“｝有公共項，則｛斯｝與｛bn｝的公共項從小到大排成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，首

項是第一個相同的公共項，公差是lan｝與仍.｝的公差的⑨最小公倍數(shù).

e.若｛斯｝公差為則延，ak+,n>%2"”…(笈，〃zGN*)組成公差為⑩md的等差數(shù)

列，即下標成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.

￡若c是非零常數(shù)，貝|匕頷｝是等比數(shù)列.

(2)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前n項和.

a.｛包｝是等差數(shù)列，其首項等于?ai，公差是｛斯｝的公差的;.

b.S加，S2m~Sm,必L82〃，…(根￡N*)是等差數(shù)列.

s

C.兩個等差數(shù)列｛飆｝，仍.｝的前n項和Sn,T”之間的關(guān)系為了二二?詈.

T2n-1-―

二'基礎(chǔ)題練習

1.［教材改編］如果三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則中間角的大小為60。.

解析由題意可設(shè)三個內(nèi)角分別為x—d,x,x~\~d,則有(x—d)+%+(%+d)=180°,

可得x=60。.

2.若等差數(shù)列｛斯｝滿足〃7+〃8+〃9>0，〃7+。10<0，則當n=8時,｛斯｝的前〃項和最

大.

解析由〃7+〃8+〃9>0可得。8>0,由乃+的。V。可得〃8+。9<0,所以〃9<0,所以當〃

=8時，｛〃〃｝的前〃項和最大.

3.［教材改編］已知｛斯｝為等差數(shù)列，且〃20=30,430=20,則。50=0.

解析由題意可得，公差.=2。3。=一］,所以a5o=〃2o+3Od=3O—3O=O.

30—20

4.［教材改編］某公司購置了一臺價值220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，每經(jīng)

過一年，其價值減少20萬元.當設(shè)備價值低于購進價值的5%時，設(shè)備將報廢，則該機器最

多使用10年.

解析設(shè)使用〃年后，該設(shè)備的價值為詼萬元，則易知｛為｝是以(220-20)為首項，一20

為公差的等差數(shù)列，所以斯=(220-20)+(/2-1)X(-20)=220—20”.令220—

20〃2220X5%,得"W10.45,所以該設(shè)備最多使用10年.

5.已知等差數(shù)列｛如｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項和為290,所有偶數(shù)項和為261,則該

數(shù)列的項數(shù)為19.

解析設(shè)等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和為亂,項數(shù)為殊一1,則當=一匕=迎，解得上=10,則

S偶k~l261

項數(shù)為2X10—1=19.

6.［易錯題］已知數(shù)列｛斯｝滿足防=1,an+an+i=n,則〃20=9.

解析因為斯+斯+1=〃，所以〃1+〃2=1,。2+的=2,…，419+。20=19.因為41=1,所以

可得。1=1,。3=2,。5=3,。7=4,…，和。2=0,"4=1,<26—2,。8=3,…，奇數(shù)項、偶

數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以〃2左=%一1(%￡N*),所以"20=1。-1=9.

三'知識點例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點1等差數(shù)列的基本運算

例1［2023全國卷甲］記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若。2+〃6=10，a4a8=45,則85=

(C)

A.25B.22C.20D.15

解析解法一由。2+。6=10,可得2〃4=10,所以〃4=5,又〃4。8=45,所以〃8=9.設(shè)等

差數(shù)列｛〃〃｝的公差為"，則d=/°4=2_q=］又44=5,所以。1=2,所以§5=541+

8—44

—Xd^20,故選C.

2

解法二設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,則由42+%=10,可得“i+3d=5①，由。4〃8=

45,可得(m+3d)(ai+7d)=45②，由①②可得刃=2,d=l,所以$5=5。1+芋Xd

=20,故選C.

例2［2023新高考卷I］設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且1>1.令兒="，記S“，G分別為

an

數(shù)列｛斯｝，彷〃｝的前〃項和.

(1)若3。2=3防+的，513+73=21,求｛斯｝的通項公式；

(2)若瓦｝為等差數(shù)列，且S99一n9=99,求d.

解析(1)因為3〃2=34I+〃3,所以3=〃i+2d,

所以3d=〃i+2d,所以〃i=d,所以斯=zzd.

因為兒=叫2,所以為=亡業(yè)=竺1,所以羽=3=3(d+3d>=6第73="+'+優(yōu)

annda22

2.3.49

dddd

因為S3+T3=21,所以6d+2=21,解得d=3或

d2

因為d>l,所以d=3.所以｛詼｝的通項公式為an=3n.

（2）因為劣=吧U,且比,｝為等差數(shù)列，

an

所以2岳="+%,即2X巨=馬+工，

a2ala3

所以」一一三=一一，所以謚一3aid+2/=0,

解得ai=d或=2".

①當〃i=d時，an=nd9所以劣=吐匕=上；=早，

ClfiTLCLa

$99=99'七+。99）=99（d+99d）=99乂5Qrf

22

7_99（%+"9）_99弓+*）_99X51

因為S99—n9=99,所以99X501—吆2=99,即50心一4-51=0,解得或1=-1

a50

（舍去）.

②當〃i=2d時，an=（〃+1）d,所以吐&==3,

an（n+1）dd

c99（。1+的9）99（2d+100d）八八/八,

S99=------^―=---------------=99X5Id,

_99（%+仍9）_99弓+茶_99x50

199------------------------------------.

22d

因為S99—兀9=99,所以99X514—吆色=99,即514—d—50=0,解得1=一史（舍去）

d51

或d=l（舍去）.

綜上，d=-.

方法技巧

1.等差數(shù)列基本運算中常用的數(shù)學(xué)思想

方程等差數(shù)列中有五個量的，an,d,n,Sn,一般可“知三求二”，通過列方程

思想（組）求解.

整體

將已知和所求都用m和d表示，尋求兩者之間的聯(lián)系，整體代換求解.

思想

2.等差數(shù)列基本運算中常用的設(shè)元技巧

若三個數(shù)成等差數(shù)列，可將三個數(shù)設(shè)為a—d,a,a+d；若四個數(shù)成等差數(shù)列，可將四個

數(shù)設(shè)為a—3d,a—d,a-\~d,〃+3d.

訓(xùn)練1(1)[2021北京高考]已知｛斯｝和以｝是兩個等差數(shù)列，且詈(1WZW5)是常值，

bk

若為=288,?5=96,d=192,則%的值為(C)

A.64B.100C.128D.132

解析因為｛斯｝和｛勿｝是兩個等差數(shù)列，所以2〃3=。1+〃5=288+96=384,所以的=192,

又當1WZW5時，”是常值，所以血=也，即強=駟，從而加=128.故選C.

bkb3%b3192

(2)[2022全國卷乙]記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若2s3=38+6,則公差d=2.

解析因為2s3=3&+6,所以2(3ai+3d)=3(2s+d)+6,化簡得3d=6,解得d=2.

命題點2等差數(shù)列的判定與證明

例3[2021全國卷甲]已知數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，記S.為｛斯｝的前〃項和，從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；②數(shù)歹收離｝是等差數(shù)列；③02=30.

解析①③今②.

已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列,a2=3ai，

設(shè)數(shù)列U的公差為d,則。2=3的=。1+4,故d=2ai,所以S"=〃ai+""d=w2al.

因為數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，所以，3=〃梃7，

=

所以個Sn+、一&l=(w+1)?Va7Vai(常數(shù))，所以數(shù)列是等差數(shù)列.

①②今③.

已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，｛圖｝是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛a,｝的公差為d,

則Sn—nai+n(n^1)d—^dn2+(m—g)n.

因為數(shù)列｛仄｝是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛戶｝的通項是關(guān)于力的一次函數(shù)，則的一1=0,即

d=2〃i,所以〃2=〃i+d=3〃i.

②③n①.

已知數(shù)列｛￡3是等差數(shù)列，〃2=3〃1,

所以S2=〃l+。2=4。1.

設(shè)數(shù)列的公差為d,則d>0,y[S^—y[s[=j4a1—y/a^=df得〃1="，所以&l=

yfs[+(H—1)d=nd,所以&=〃2d2,

所以斯=S〃一S〃-1=層/一(n—1)2d2=2d2n—d2(〃22),〃i="也滿足上式，所以

lefn—d2.

=221

因為斯一an-i2dn—d—[2d(九一1)—法]=2法(常數(shù))(〃22),所以數(shù)列｛斯｝是等

差數(shù)列.

方法技巧

等差數(shù)列的判定與證明的方法

定義法an-an-\(n>2,〃￡N*)為同一常數(shù)=｛斯｝是等差數(shù)列

=

等差中項法2an-ian~\~(2n-2(〃》3,z?￡N*)成立=｛〃〃｝是等差數(shù)列

通項公式法an=pn+qCp,4為常數(shù))對任意的正整數(shù)〃都成立=UJ是等差數(shù)列

前n項和

2

Sn=An+Bn(A,2為常數(shù))對任意的正整數(shù)〃都成立=｛斯｝是等差數(shù)列

公式法

訓(xùn)練2(1)[2023新高考卷I]設(shè)另為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，設(shè)甲：｛斯｝為等差數(shù)列;乙:

｛聞為等差數(shù)列.則(C)

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析若｛詼｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則詼=〃i+(n—1)d,所以S〃=〃〃i+

空^—―6?,所以昆=。1+(〃-1)所以且H——=ai~\-(n+1-1)---[〃i+(n-1)

2n2'n+1n22

=-,為常數(shù)，所以｛聞為等差數(shù)列，即甲n乙；若｛包｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為/,則包=

2nnn

—

y+(n1)(n—1)t,所以(n—1)t,所以當幾22時，an=Sn—Sn-\

=nai~\~n(幾—1)t—[(n—1)〃i+(n—1)(n—2)%]=〃i+2(n—1)t,當〃=1時，Si

=〃i也滿gt式，所以詼=〃i+2(n—1)t(〃￡N*),所以即+i—a〃=〃i+2(n+1—1)t

—[的+2(n-1)t\=2t,為常數(shù)，所以｛斯｝為等差數(shù)列，即甲u乙.所以甲是乙的充要條

件，故選C.

(2)［多選Z2023福建莆田九中質(zhì)檢］已知數(shù)列｛詼｝的前”項和為S“，則下列結(jié)論正確的是

(BCD)

A.若數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列,則數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列

B.若數(shù)列｛包｝為等差數(shù)列，則數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列

nn

2

C.若數(shù)列｛??｝和｛里n｝均為等差數(shù)列，則S=2?3

n3

D.若數(shù)列｛a?｝和k列均為等差數(shù)列，則數(shù)列｛a?｝是常數(shù)列

解析對于A,若數(shù)列｛SJ為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,可得a〃=S"—S,-i=d(a22),但

是首項ai的值不確定，所以數(shù)列｛詼｝不一定為等差數(shù)列，故選項A錯誤；對于B,若數(shù)列

｛聞為等差數(shù)列，設(shè)公差為優(yōu)，則包=Si+(?-1)d',可得S”="Si+"(H-1)d',當〃=

nn

=

1時，=當〃22時，anSn—Sn-i=nS\-\~n(〃一1)d'~(n—1)Si—(〃一1)(〃一

2)d'=Si+(2〃-2)d',則cin—斯-i=2d'(〃23),由〃2=Si+2d',得。2—〃i=

2d',所以析一斯.i=2d'(〃22),故數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，故選項B正確；對于C,由數(shù)

2

列｛斯｝為等差數(shù)列，可設(shè)恁=切+。，k,Z?為常數(shù)，則成=標/+2的〃+廬，所以攀=總?+

2

2kb+-,因為數(shù)列｛岐｝為等差數(shù)列，所以“22時，^-―=^+--—(--

nnnn-lnn-ln

二一)為常數(shù)，則〃=0,所以Z?=0,故a=kn,所以S3=QI+〃2+〃3=6Z,又。3=3%,所

n—1n

以$3=2的，故選項C正確；對于D,由數(shù)列｛詼｝為等差數(shù)列，可設(shè)斯=川+&p,q為常

數(shù),則成=p2/+2pg〃+q2,因為｛碌｝為等差數(shù)列，所以底一彳_］=(2/1—1)p2+2pq為

常數(shù)，則0=0,所以詼=4，則數(shù)列｛斯｝是常數(shù)列，故選項D正確.故選BCD.

命題點3等差數(shù)列的性質(zhì)

例4(1)［新高考卷I］將數(shù)歹!j｛2w—1｝與｛3w—2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛詼｝,則

｛a?｝的前”項和為3川一2〃.

解析｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的第一個公共項為1,則易知｛斯｝是以1為首項，2義3=6為公差

的等差數(shù)列，則5"="+"''1'-義6=3〃2—2加

(2)已知另為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且|；=3,則段

解析設(shè)S3=〃z(根W0),則S6=3九因為｛呢｝為等差數(shù)列，所以S3,S6-S3,S9-S6,Sn

一S9,…成等差數(shù)列，公差為相，所以可推出$9=6:%Si2—10m,故辿=§.

Sg3

訓(xùn)練3（1）數(shù)列｛詼｝,仍“｝均為等差數(shù)列，且。1=—5,加=-15,02025+^2025=100,則

數(shù)列｛為+6“｝的前2025項和為81000.

解析易得數(shù)列｛斯+6.｝為等差數(shù)列，首項為。1+加=-20,；.｛斯+?。那?025項和為

2025X-20+100=81000.

2

（2）等差數(shù)列｛詼｝,仍"｝的前”項和分別為S“，Tn，若金=二，則詈=2，詈=

Tn3n+ldu—32b11一

19

32—?

解析由題音可得也1—2ali_。1+。21-（。1+。21）X21+2_S21_2X21__21由昆=2?1_2足

2

2bli匕1+。21（匕1+匕21）X214-27213x21+132Tn3n+l3n+n

_

及等差數(shù)列前〃項和性質(zhì)可設(shè)S〃=A2層，Tn=A（3/+幾）（AW0）,.*.^io=Sio59=

2222

A（2X10-2X9）=38A,bn=Tu-Tw=A[（3X11+11）—（3X10+10）]=64A,

?a】。_384__19

**i?n64A32"

命題點4等差數(shù)列前n項和的最值

例5[2022全國卷甲]記S,為數(shù)列｛。〃｝的前n項和?己知也+〃=2斯+1.

n

（1）證明：｛斯｝是等差數(shù)列.

（2）若〃4，〃7，〃9成等比數(shù)列，求S〃的最小值.

解析（1）由號1+〃=2斯+1,得2S〃+九2=2。/+〃①，

所以2S〃+i+（及+1）2=2斯+i（〃+1）+（〃+1）②，

②一①，得2。〃+1+2幾+1=2?！?1（幾+1）—2ann+1,

化簡得斯+1—斯=1,所以數(shù)列｛〃〃｝是公差為1的等差數(shù)列.

（2）由（1）知數(shù)列｛斯｝的公差為1.

2

由賬=。4〃9,得（。1+6）=（〃1+3）（〃1+8）,解得〃1=一12.

所以a=—12〃+巴勺產(chǎn)-=三包=3（M-y）2一等，所以當W=12或”=13時，5“取得

最小值，最小值為一78.

方法技巧

求等差數(shù)列前〃項和S”的最值的方法

（1）通項法：①若。1>0,d<0,則S“必有最大值，/可用不等式組an20,來確定;

&+1<0

②若ai<0,d>Q,則當必有最小值，"可用不等式組即W°，來確定.

(an+i>0

(2)二次函數(shù)法：由于S“=#+(5一g)n,故可用二次函數(shù)求最值的方法求S.的最

值，結(jié)合〃GN*及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值.

(3)不等式組法：一般情況下，S"最大時，有(〃>2,〃GN*),解得”的

St>Sn+i

范圍，進而確定〃的值和對應(yīng)的的值(即S,的最值).

訓(xùn)練4等差數(shù)列｛斯｝的前”項和為S“，若VwGN*,S"WS7,則數(shù)列｛斯｝的通項公式可能是

(B)

A.a”=16—3"B.O"=15—2n

==

C.an2n—14D.a?2n—15

解析因為數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，且VwGN*,S.WS7,所以該數(shù)列從第8項起為非正數(shù)，

即。7》0,<28^0.

對于A,訪=16—3><7=—5<0,故A不正確；對于B,。7=15—2X7=l>0,制=15—

2X8=-l<0,故B正確；對于C,劭=2義7—14=0,痣=2乂8—14=2>0,故C不正

確；對于D,?7=2X7-15=-l<0,故D不正確.故選B.

四'命題點習題講解

1.［命題點14021新高考卷H］記&是公差不為0的等差數(shù)列｛呢｝的前"項和，若的=8，

〃2〃4=S4.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

(2)求使*>斯成立的〃的最小值.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d(dWO),

則由題意，得｛解得｛

I++3d)=4al+6d,(d=2,

所以斯="i+(n—1)d=2n—6.

n(aian)n(210)2

(2)解法一Sn=+=7=?-5W,

則由〃2—5〃>2〃一6,整理得/—7〃+6>0,解得〃VI或〃>6.

因為〃￡N*,所以使S〃>斯成立的n的最小值為7.

(ai+ani)(九一1)

解法二由與>斯得當一1>0(〃22),即>0,

2

所以ai+a“—1=2〃-12>0,解得”>6,所以”的最小值為7.

2.［命題點2/多選］兩個等差數(shù)列｛斯｝和仍“｝,其公差分別為Ji和d2,其前〃項和分別為Sn

和〃，則下列說法正確的是(AB)

A.若｛用為等差數(shù)列，則di=2ai

B.若｛S"+T,J為等差數(shù)列，則4+刈=0

C.若血瓦｝為等差數(shù)列，則&=』2=。

D.若6"GN*,貝!1｛a%｝也為等差數(shù)列，且公差為小+辦

解析由題意得S"=9/+n,G=g/+加若數(shù)列｛店｝為等差數(shù)

列，則由等差數(shù)列通項公式的特征，可得/一9=0,即4=2ai,所以選項A正確；Sn+

。=空為2+(的+d—?_?)”,由等差數(shù)列通項公式的特征，可得幺署=0,即4+

“2=0,所以選項B正確；當a=0或必=0時，數(shù)列｛斯?。秊榈炔顢?shù)列，所以選項C錯

誤；因為a“=ai+(71—1)d\,bn^bi+(n—1)血所以⑺一］)42=。1

+［61+(〃-1)di—l］di=(ai+6Ml—di)+(n—1)didZ,可知數(shù)列｛a%｝是等差數(shù)列，

且公差為di(h,所以選項D錯誤.故選AB.

3.［命題點2Z202i全國卷乙］記S”為數(shù)列｛詞的前〃項和,3為數(shù)列⑸｝的前任項積,已知

-+-^=2.

S/ibn

(1)證明：數(shù)列仍“｝是等差數(shù)列.

(2)求｛斯｝的通項公式.

解析(1)因為"是數(shù)列｛SJ的前〃項積，所以當時，S“=F，

n—1

代入：十三=2可得，一整理可得2兒一1+1=2/?〃，即匕〃—(〃22).

5nDnDnDn2

。2?13。心、？73

又一+—=-=2,所以"=一，

故｛為｝是以|為首項，l為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知，兒=手，則白+推=2,

當n=\時，a\=S\=~,

__n+2n+11

當G2時,斯-3cM品c—1~

n+1nn(n+1)

當〃=1時，a尸O產(chǎn)一啟11

2’

3

n=1,

2

故dn1

n>2.

n(n+1)

4.［命題點4］在等差數(shù)列｛aj中，若也＜—1,且它的前〃項和S,有最大值，則使S〃＞0成

立的正整數(shù)〃的最大值是（C）

A.15B.16C.17D.14

解析因為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和有最大值,

所以等差數(shù)列｛?！ǎ秊檫f減數(shù)列,

又為V—1,所以砌>0,aioVO,

所以ag+aio<Of

所以阮=11^1=95+初）＜0,且阮=^^=17硒＞。.

故使得S〃＞0成立的正整數(shù)"的最大值為17.

五'習題實戰(zhàn)演練

1.［2024河南名校模擬］設(shè)&是等差數(shù)列｛詼｝的前w項和，若。2+。5+例=15,則團=

(C)

A.15B.30C.45D.60

解析由題意得。2+怒+。8=3。5=15,所以。5=5,所以$9=9‘°；°9〉-=9。5=45.故選C.

2.［2024湖北武漢模擬］已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為&.若S1=3,自+?=18,則&=

24

（C）

A.21B.48C.75D.83

解析解法一令劣=且，則數(shù)列｛/?〃｝為等差數(shù)列力1=學(xué)=3,?=/?2+。4=18,設(shè)數(shù)列

n124

｛仇｝的公差為d,則3+d+3+3d=18,解得d=3,：.b=3n,即且=3〃".8=3層，故一

nn

=3X52=75.故選C.

,n(n—1)d

解法二設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,則手=型一12——=的+彳4/,又因為ai=Si=3,

則g++=ai+g+ai+|d=2ai+2d=6+24=18,解得1=6,因此$5=5.+子4=5的+

101=5X3+10X6=75.故選C.

3.［2024吉林白城模擬］已知等差數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，且滿足G+的=14,a2a6=33,貝U

〃1。7=(C)

A.33B.16C.13D.12

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得42+。6=的+〃5=14,又〃。26=33,解得卜2-3,或

一一a二11

6a

11，又｛斯｝是遞增數(shù)列，，卜23，：，d=--=2f(。2—d)(恁+d)

6-2

la6=3,la6=11,

=(3—2)X(11+2)=13.故選C.

4.［2023陜西寶雞模擬］已知首項為2的等差數(shù)列｛斯｝的前30項中，奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)

項的和為8,且5—A=45,貝|斯=(B)

A.3n—2B.3n—1

C.3n+1D.3n+2

解析在等差數(shù)列｛詼｝中，首項。1=2,設(shè)其公差為d,由前30項中奇數(shù)項的和為A,偶

數(shù)項的和為3,且3—A=45,可得一的+。2--------〃29+"30=154=45,解得d=3,an=

。1+(n—1)d=2+3(n—1),即斯=3〃-1,故選B.

5.［多選Z2024山東模擬］已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為斗,公差為d,儂=0—4,S產(chǎn)

154,則(AC)

A.d=12

B.6ZI=30

C.-320是數(shù)列｛斯｝中的項

DS〃取得最大值時，〃=14

解析由題意可得43="i+2d=ai—4,即d=-2,A正確；5=154=7〃i+—d=4i=

28,B錯誤；an=ai+(〃一1)d=30—2〃，令斯=—320,得幾=175,即C正確；Sn=

(ai+an)n=n(29—n),結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性及單調(diào)性，可知當〃=14或〃=15

時，S〃取得最大值，即D錯誤.故選AC.

6.[2023廣州市二檢]在數(shù)歹U｛斯｝中，“1=2,am+n=am+an(m,〃￡N*),若a/上+1=440,

則正整數(shù)k=10.

解析解法一令m=l,則斯+1=斯+的，即詼+i—斯=2,所以數(shù)列｛出｝是以2為首項，

2為公差的等差數(shù)列，即即=2+(n-1)乂2=2%又左為正整數(shù)，所以〃口左+1=2女X2(k

+1)=440,即攵1+1)=110,解得％=10或女=一11(舍去).故填10.

解法二(列舉法)令m=〃=1,則。2=。1+的=4;令m=1,n=2,則〃3=。1+。2=6;

令m=n=2,則〃4=〃2+〃2=8.通過觀察找規(guī)律可知，數(shù)列｛斯｝是以2為首項，2為公差的

等差數(shù)列，即為=2+(n—1)X2=2n,又％為正整數(shù)，所以為蕉+i=2ZX2(Z+1)=

440,即上(Z+1)=110,解得％=10或%=—11(舍去).故填10.

7[2024江西撫州模擬改編]在數(shù)列｛斯｝中,已知加+i—斯=斯+2一斯+1，Qioi3=l，則該數(shù)

列前2025項的和S2Q25=2025.

解析由念+1—斯=詼+2-詼+1可知，數(shù)列｛見｝為等差數(shù)列，所以。1+〃2025=2的013=2,所

c_(。1+。2025)“2025_2x2025_

以02025------------------------------------2UZD.

8.[2024廣州大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)數(shù)列｛斯｝和仍.｝都為等差數(shù)列，記它們的前〃項和分別

為5和〃，若/髭，則自=「^?

解析由數(shù)列｛斯｝和仍“｝都為等差數(shù)列，且?=蕓—，令an=k(2n—1),bn=k(2n+

1),20,k為常數(shù),因此等差數(shù)列｛如｝的首項的=%,等差數(shù)列｛久｝的首項"=3左，所以

?l+?n

271aafc+fc(2n—1)_

Sn__i^~n一n

Tb+bbr+bn3k+k(2n+l)n+2

nr2n

9.[2024浙江普陀中學(xué)模擬]已知正項數(shù)列｛詼｝的前〃項和為見=2.

(1)記金=丹」，證明：數(shù)列｛c”｝的前w項和乙＜4

3n+l2

(2)若S〃=2斯+14—2"+3(”GN*),證明：數(shù)歹!J琮｝為等差數(shù)列，并求⑷｝的通項公式.

an+l一111+1_1

解析(1)

Sn'S/i+i5+iSnSn+i

Snn???FW+9打上打…Sn

1111

a

iSn+i2Sn+i

ill-1

:數(shù)列LJ為正項數(shù)列，.".5?+1＞0,；.；一乙＜；,即

2sn+l22

n+2

(2)當”三2且"GN*時，Sn-i=2an-i+14-2,

==n+3n+2n+2

anSn~Sn-12an+14—2—2an-1—14+2=2an~2an-1—2,整理可得an~2an-i

=2〃+2￡=4（〃22）,

2n2n—1

當"=1時，ai=Si=2m+14—2計3,得“1=2,y=l,

數(shù)列｛愛｝是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，

A+4（H-1）=4〃-3,

：.a?=（4〃一3）-2".

10.［2024四川南充校考］若一個凸"（?eN*）邊形的最小內(nèi)角為95。，其他內(nèi)角依次增加

10°,則n的值為（B）

A.6或12B.6C.8D.12

解析由題知該凸“邊形所有內(nèi)角的取值范圍為（0°,180°）,內(nèi)角和為（〃-2）J80。.因

為最小內(nèi)角為95。，其他內(nèi)角依次增加10。，所以它的所有內(nèi)角按從小到大的順序排列構(gòu)成

等差數(shù)列，且最大內(nèi)角為95。+（〃一1）-10°=（10n+85）°,

所以（〃一2）J80=<95±IO；些5）上,即/―18〃+72=0,解得w=6或〃=12,當w=12

時，95°+（12-1）X10°>180°,不合題意，舍去，故〃=6,故選B.

11.［2024湖北孝感高中模擬］設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，滿足2a3—怒=7,a2+Sy=

12,則出的最大值為（B）

A.14B.16C.18D.20

解析設(shè)｛“〃｝的公差為d,則由題意得2a3—。5=2（ai+2d）—（ai+4d）—ai—1,02+67

=（ai+d）+（7。1+-d）=56+224=12,d——2.

因此S”=7〃+"'"J。X（-2）=一（71-4）2+16W16,故S,的最大值為16.故選B.

12.［全國卷H］北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加

9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)

相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（C）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

解析由題意知，由天心石開始向外的每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為

｛an],設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,前〃項和為S”易知其首項的=9,d=9,所以a〃=ai+（n

—1）d=9〃.由等差數(shù)列的性質(zhì)知S”Sin-Sn,$3”一$2"也成等差數(shù)列，

n11

所以（S3?-S2?）一（S2“一S.）=S2n-2Sn,即729=2（9產(chǎn)—2X（9；9n）,解得〃=9,

27x（927x9）

所以三層共有扇面形石板的塊數(shù)為S3n=S27=+=3402.故選C.

13.[2024江西吉安萬安中學(xué)模擬]已知正項數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“，若｛斯｝與｛店｝均為

等差數(shù)列，請寫出一個滿足題意的｛小｝的通項公式：源=2-1（答案不唯一）.

解析令數(shù)列｛跖｝的公差為d,顯然0>0,由｛斯｝是等差數(shù)列，得底+叵=2后,即

VH7+J3al+3d=2J2al+d,兩邊平方得4ai+d=2,3由+3。/,兩邊平方并整理得d

=2勾，則an=ai~\-（?—1）d=（2n—1）ai,

此時S〃=巴受1刃=層〃1,y[S^