人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）原卷版

第12講點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）

（重點(diǎn)題型方法與技巧）

目錄

類型一：直線和圓的位置關(guān)系

類型二：切線的性質(zhì)與判定

類型三：切線長(zhǎng)定理

類型四：三角形的內(nèi)切圓

類型一：直線和圓的位置關(guān)系

利用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系

（1）當(dāng)圖形中直線與圓的位置關(guān)系不明顯時(shí)，一般不利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)通過比

較圓心到直線的距離與半徑的大小來確定它們之間的位置關(guān)系.

（2）在沒有給出d與r的具體數(shù)值的情況下，可先根據(jù)已知條件求出d與r的值，再通過比較它們的大小

確定直線與圓的位置關(guān)系.

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知。。的半徑為6cm,點(diǎn)。到直線/的距離為5cm,則直線/與。。

（）

A.相交B.相離C.相切D.相切或相交

例題2.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2,3）為圓心，3為半徑的圓，一定（）

A.與x軸相切，與y軸相切B.與無軸相切，與y軸相交

C.與無軸相交，與y軸相切D.與無軸相交，與y軸相交

例題3.（2021?河北?保定市滿城區(qū)白龍鄉(xiāng)龍門中學(xué)九年級(jí)期末）已知。。與直線/無公共點(diǎn)，若。。直徑為

10cm,則圓心O到直線I的距離可以是（）

A.6B.5C.4D.3

例題4.（2022?上海虹口?九年級(jí)期中）已知4〃4,乙、之間的距離是5cm,圓心O到直線乙的距離是2cm,

如果圓O與直線4、4有三個(gè)公共點(diǎn)，那么圓。的半徑為cm.

例題5.（2022?山東棗莊?二模）如圖，在△A5C中，AB=BC,。是AC中點(diǎn)，5E平分N4BO交AC于點(diǎn)E,

點(diǎn)。是上一點(diǎn)，。。過5、E兩點(diǎn)，交80于點(diǎn)G,交于點(diǎn)?

（1）判斷直線AC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若仍_LBC,ED=3,求BG的長(zhǎng).

同類題型演練

1.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果。。的半徑為6cm,圓心。到直線/的距離為d,且d=7cm,那么。0

和直線/的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

2.（2021.北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,以A為圓心作一個(gè)半

徑為2的圓，下列結(jié)論中正確的是（）

A.點(diǎn)8在。A內(nèi)B.點(diǎn)C在。A上

C.直線BC與。A相切D.直線BC與。A相離

3.（2022?上海金山?二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,6）,圓尸的半徑為2,下列說法正確的是（）

A.圓尸與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)

B.圓P與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)

c.圓尸與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)

D.圓p與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)

4.（2021.河南許昌.九年級(jí)期中）已知。。的半徑為4,點(diǎn)。到直線/的距離為d若直線/與。。的公共點(diǎn)

的個(gè)數(shù)為2個(gè)則d的值不能為（）

A.0B.2C.3D.5

5.（2021.浙江金華.一模）已知。。的直徑為5,設(shè)圓心。到直線/的距離為d,當(dāng)直線/與。。相交時(shí)，d

的取值范圍是.

6.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A（—3,0）,點(diǎn)B

（0,后），圓心P的坐標(biāo)為（1,0）,圓尸與y軸相切與點(diǎn)O.若將圓P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)圓尸與該直

線相交時(shí)，令圓心P的橫坐標(biāo)為機(jī)，則機(jī)的取值范圍是.

7.（2022?江蘇常州?九年級(jí)期末）如圖，是?。的直徑，弦平分/8AC,過點(diǎn)。作。ELAC,垂足為

E.

（1）判斷OE所在直線與?O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AE=4,￡0=2,求?。的半徑.

8.（2022.安徽淮南.九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OC與y軸相切，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,

0）,直線/過點(diǎn)A（-1,0）,與。C相切于點(diǎn)。，解答下列問題：

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）求直線/的解析式；

（3）是否存在。P,使圓心P在x軸上，且與直線/相切，與。C外切嗎？如果存在請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)，如

果不存在請(qǐng)說明理由

類型二：切線的性質(zhì)與判定

切線的判定方法一一連半徑，證垂直，某直線是圓的切線時(shí)，如果已知直線與圓有公共點(diǎn)，那么可作出

經(jīng)過該點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于該半徑，即“有交點(diǎn)，連半徑，證垂直”.

切線的判定方法二一作垂直，證半徑

證明某直線是圓的切線時(shí)，如果未明確說明直線和圓有公共點(diǎn)，那么常過圓心作直線的垂線段，證明垂線

段的長(zhǎng)等于半徑，即“無交點(diǎn)，作垂直，證半徑”.

典型例題

例題1.（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓的一個(gè)公

共點(diǎn)為C,且C是中點(diǎn)，則直線A3與小圓O的位置關(guān)系是（）

A,相離B,相切C.相交D.不能確定

例題2.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A,切線與圓有唯一的公共點(diǎn)B.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線

C.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)D.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等

例題3.（2020?廣東深圳?三模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊CD,BC±,且NEAF=45。,

BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧BD.下列結(jié)論：①DE+BF=EF；

②BN2+DM2=MN2；③△AMNS/\AFE；④弧BD與EF相切；⑤EF〃MN.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

例題4.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在下圖中，是。的直徑，要使得直線AT是。的切線，需要

添加的一個(gè)條件是.（寫一個(gè)條件即可）

例題5.（2022?遼寧?沈陽市尚品學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，ABC內(nèi)接于。，A3是。的直徑，過。

外一點(diǎn)。作￡?G〃8C,0G交線段AC于點(diǎn)G,交A2于點(diǎn)E,交。于點(diǎn)/，連接DB,CF,ZA=ZD.

⑴求證：BD與O相切;

(2)若AE=OE,CF平分ZACB,BD=n,求￡>￡■的長(zhǎng).

同類題型演練

1.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)。為圓心作圓，所得的圓與直線。相切的是（）

A.以O(shè)A為半徑的圓B.以08為半徑的圓

C.以O(shè)C為半徑的圓D.以O(shè)O為半徑的圓

2.（2021.安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知P為OO外一點(diǎn)，連接OP交。。于點(diǎn)A,且OA=2AP,求作

直線PB,使PB與OO相切.以下是甲、乙兩同學(xué)的作法.

甲：作OP的中垂線，交。。于點(diǎn)B,則直線PB即所求.

乙：取OP的中點(diǎn)M,以M為圓心、OM長(zhǎng)為半徑畫弧，交。。于點(diǎn)B,則直線PB即所求.

對(duì)于兩人的作法，下列說法正確的是（）

0.

A

A.兩人都對(duì)B.兩人都不對(duì)C.甲對(duì)，乙不對(duì)D.甲不對(duì)，乙對(duì).

3.（2018?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在工中，AB=CB,以A3為直徑的。交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)C

作CFUAB,在CF上取一點(diǎn)￡,使DE=C。，連接AE,對(duì)于下列結(jié)論：?AD=AE-,②QAs-CDE；

2

③弧2。=］弧AD；④AE為。的切線，結(jié)論一定正確的是（）

A.②③B.②④C.①②D.①③

4.（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是IO的直徑，。交8c于。，DE1AC,垂足為E,請(qǐng)你添

加一個(gè)條件，使近是《。的切線，你所添加的條件是.

5.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A、8是。。上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果乙4。8=120。,

那么當(dāng)NCA2的度數(shù)等于度時(shí)，AC才能成為。。的切線.

6.（2022.湖南?炎陵縣教研室一模）如圖1,以4ABe的邊A8為直徑作。O,交AC于點(diǎn)E,連接BE,BD

平分/48E交AC于R交。。于點(diǎn)。，且ZBDE=NCBE.

圖1圖2

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)如圖2,延長(zhǎng)西交直線AB于點(diǎn)P,若上4=49.

PD

①求黑的值；

DE

②若DE=2,求。。的半徑長(zhǎng).

7.(2022?廣東?廣州市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖，在AABC中，ZC=90°,D、尸是AB邊上兩點(diǎn)，以DF為

直徑的。。與8C相交于點(diǎn)E,連接斯，ZOFE=^ZA.過點(diǎn)P作PGL8C于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)H,連接

EH.

(1)求證：BC是。。的切線;

(2)連接E。，過點(diǎn)E作EQL4B,垂足為0,△EQD和△EGH全等嗎？若全等，請(qǐng)予以證明；若不全等,

請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)8。=5,BE=4時(shí)，求AEHG的面積.

類型三：切線長(zhǎng)定理

典型例題

例題1.(2022?福建省福州銅盤中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，AB.AC.50是。。的切線，切點(diǎn)分別為P、

C、D,若AC=3,則50的長(zhǎng)是()

A.2.5B.2C.1.5D.1

例題2.(2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，PA.PB切。于點(diǎn)A、B,PA=10,CO切)0于點(diǎn)E,交PA、

PB于C、。兩點(diǎn)，則PCD的周長(zhǎng)是()

A.10B.18

點(diǎn)評(píng)：例題2考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△尸。的周長(zhǎng)=B4+P8.

例題3.（2022?山東淄博?二模）如圖，）0內(nèi)切于Rt^ABC,點(diǎn)P、點(diǎn)。分別在直角邊8C、斜邊A3上,

PQ±AB,且PQ與。相切，若AC=2P0,貝！JsinNZ?的值為（）

例題4.（2022?山東德州?九年級(jí)期末）如圖，A3、AC為。。的切線，8和C是切點(diǎn)，延長(zhǎng)03到點(diǎn)O,使

BD=OB,連接AD,若NZMC=78。，則NAD。等于（）

例題5.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，PA,PB分別切。。于點(diǎn)A,B,ZP=70°,則NABO=

例題6.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以A3為直徑作°,在。上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)A8至點(diǎn)O,

連接OC,ZDCB=ZDAC,過點(diǎn)A作AELAD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：C。是：。的切線；

⑵若CD=4,DB=2,求AE的長(zhǎng).

同類題型演練

1.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABC。中，AD3c：O是四邊形A8CD的內(nèi)切

圓，CZZBC分別切：。于R￡兩點(diǎn)，若AD=3,BC=6,則政的長(zhǎng)是（）

A.3布B.—y/5

55

2.（2022?浙江?寧波市興寧中學(xué)一模）如圖，A是:。外一點(diǎn)，AB,4C分別與I。相切于點(diǎn)6,C,P是

BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，。的切線，交A3于點(diǎn)交4C于點(diǎn)N.若。的半徑為4,ABAC=60°,則

4WN的周長(zhǎng)為（）

A.4A/3B.8C.8石D.12

3.（2022?湖北?武漢市崇仁路中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，。。與△ABC的三邊分別相切于點(diǎn)。，E,F,連

接DE,EF.若A￡>=6,BE=7,CF=8,貝！Itan/OEP的值是（）

AFC

4.（2022?浙江浙江?一模）如圖，4。是。。的直徑，PA,PB分別切。。于點(diǎn)A,B,弦當(dāng)CO的

度數(shù)為126。時(shí)，則NP的度數(shù)為（）

A.54°B.55°C.63°D.64°

5.（2021?廣東?廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，PA,P8是。。的切線，C。切。。于

點(diǎn)E,△PCD的周長(zhǎng)為12,ZAOB=120°,貝?。軦B=.

6.（2022.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，42為。。的切線，B為切點(diǎn)，過點(diǎn)B作BCLOA,垂足為點(diǎn)E,交

。。于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CO與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Z）.

（1）求證：AC為。。的切線；

（2）若0c=2,OD=5,求線段和AC的長(zhǎng).

7.（2022?湖北武漢.二模）如圖，出與。。相切于點(diǎn)A,是直徑，點(diǎn)C在。。上，連接C8,CP,2ZB+ZP

180°.

A

D

（1）求證：PC是。。的切線;

（2）過。作O￡）〃PC,交AP于點(diǎn)。，若AB=8,ZA0D^3Q°.求由線段以，PC及弧AC所圍成陰影部分

的面積.

類型四:三角形的內(nèi)切圓

有關(guān)三角形內(nèi)心的常用輔助線作法，解答該類問題時(shí)一般有兩種作輔助線的方法：一是連接內(nèi)心與三角形

的頂點(diǎn)，即構(gòu)建出三角形的角平分線；二是連接內(nèi)心與切點(diǎn)得到線段垂直的位置關(guān)系，再連接內(nèi)心與三角

形的頂點(diǎn)進(jìn)而運(yùn)用直角三角形的相關(guān)知識(shí)來解答.

典型例題

例題1.（2022?湖北?黃石十四中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=CD,ZB=60°,

AD=8A§，分別以3和C為圓心，以大于8C的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和。，直線PQ與R4延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)E,連接CE,貝!|BCE的內(nèi)切圓半徑是（）

A.4B.4石C.2D.2布

例題2.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABC中，NA=80。，/是內(nèi)心，則NB/C等于（）

A.120°B.130°C.150°D.160°

例題3.（2022?河北邢臺(tái)?九年級(jí)期末）如圖，。是AABC的內(nèi)心，0Z>_L3C于點(diǎn)。，OD=2,若△ABC的

周長(zhǎng)為12,則△A3c的面積是（）

A

A.12B.24C.6D.3

例題4.（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是ABC內(nèi)切圓的圓心，若ABAC=50°,

那么=______度.

例題5.（2022?湖北黃石?模擬預(yù)測(cè)）在中，ZACB=90°,且AC=5,BC=12,則該三角形內(nèi)切

圓的周長(zhǎng)是

例題6.（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，ABC中，ZC=90°）0是ABC的內(nèi)切圓，D,E,F是切

點(diǎn).

（1）求證：四邊形ODCE是正方形;

⑵如果A5=5,AC=3,求內(nèi)切圓。的半徑.

同類題型演練

1.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。/是RdABC中的內(nèi)切圓,ZACB=90,過點(diǎn)/作EF//AB分別交

CA,CB于E,F,若應(yīng)1=4,BF=3,則。/的半徑是（）

7

A.-B

2-I

2.（2022?云南大理?九年級(jí)期末）如圖，。是ABC的內(nèi)心，已知NA=50°,則/BOC的度數(shù)是（）

A

A.100°B.80°C.115°D.110°

3.（2022.全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在放△ABC中，ZC=90°,AC=5,。。是△ABC的內(nèi)切圓，半