2025屆上海市長寧、嘉定區(qū)高二上數學期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆上海市長寧、嘉定區(qū)高二上數學期末達標檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到準線的距離是A. B.1C. D.2．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.4．若實數滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構成等差數列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.186．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.47．甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是（）A.極差 B.平均數C.中位數 D.都不相同8．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．函數f（x）=xex的單調增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）10．已知命題：拋物線的焦點坐標為；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.11．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.512．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若恒成立，則______.14．已知數列滿足（），設數列滿足：，數列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________15．展開式的常數項是________16．已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點，是左頂點，為左焦點，直線與相交于點，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題實數滿足成立，命題方程表示焦點在軸上的橢圓，若命題為真，命題或為真，求實數的取值范圍18．（12分）現將兩個班的藝術類考生報名表分別裝進2個檔案袋，第一個檔案袋內有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一個檔案袋，然后從中隨機抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率19．（12分）已知函數.（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實數a的取值范圍.20．（12分）已知，是函數的兩個極值點.（1）求的解析式；（2）記，，若函數有三個零點，求的取值范圍.21．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風景區(qū)在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）.在點與圓弧上的一點（不同于A，B兩點）之間設計為直線段小路，在直線段小路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再從點到點設計為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內側（注意是一側）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）.（1）設(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對的圓心角)22．（10分）設等差數列的各項均為整數，且滿足對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱這樣的數列具有性質（1）若數列的通項公式為，數列是否具有性質？并說明理由；（2）若，求出具有性質的數列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質的數列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結論)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】，，所以拋物線的焦點到其準線的距離是，故選D.2、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.3、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實數的取值范圍，結合充分不必要條件的定義可得出結論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.4、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因實數滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B5、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項和為.故選：C.6、A【解析】由橢圓的定義得，進而根據中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A7、B【解析】由平均數、極差及中位數的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數分別為，，故不同，故選：8、D【解析】由直線方程可得斜率，根據斜率與傾斜角的關系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D9、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數f（x）=xex的單調增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.10、D【解析】求出的焦點坐標，及等軸雙曲線的離心率，判斷出為假命題，q為真命題，進而判斷出答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，故命題為假命題；命題：等軸雙曲線中，，所以離心率為，故命題q為真命題，所以為真命題，其他選項均為假命題.故選：D11、C【解析】根據橢圓的定義，結合題意，即可求得結果.【詳解】設橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.12、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】利用導數研究的最小值為，再構造研究其最值，即可確定參數a的值.【詳解】令，則且，當時，遞減；當時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，綜上，.故答案為：114、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據不等式恒成立求出參數的范圍即可.【詳解】當時，有當時，由①有②由①－②得：所以，當時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數列不等式問題，屬于中檔題.15、【解析】求出的通項公式，令的指數為0，即可求解.【詳解】的通項公式是，，依題意，令，所以的展開式中的常數項為.故答案為：.16、##【解析】先求出頂點和焦點坐標，求出直線直線與的斜率，利用到角公式求出的正切值，進而求出正弦值.【詳解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】首先根據復數的乘方及復數模的計算公式求出命題為真時參數的取值范圍，再根據橢圓的性質求出命題為真時參數的取值范圍，依題意為假，為真，即可求出參數的取值范圍；【詳解】解：因為，，，，所以，所以，所以為真時，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，所以，即為真時，所以為假時參數的取值范圍為或，因為命題為真，命題或為真，所以為假，為真，或18、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：19、（1）在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導數的正負判斷函數的單調性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構造函數，利用導數研究函數的單調性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當時，，所以當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數a的取值范圍是.點睛】利用導數研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍20、（1）；（2）【解析】（1）根據極值點的定義，可知方程的兩個解即為，，代入即得結果；（2）根據題意，將方程轉化為，則函數與直線在區(qū)間，上有三個交點，進而求解的取值范圍【詳解】解：（1）因為，所以根據極值點定義，方程的兩個根即為，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根據題意，，，，根據題意，可得方程在區(qū)間，內有三個實數根，即函數與直線在區(qū)間，內有三個交點，又因為，則令，解得；令，解得或，所以函數在，上單調遞減，在上單調遞增；又因為，，，，函數圖象如下所示：若使函數與直線有三個交點，則需使，即21、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數；（2）利用導數可求得結果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長為（2）由（1）可知，令得，因為所以，當單調遞增，當單調遞減，所以當時，使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛：仔細審題，注意題目中的關鍵詞“兩側”和“一側”是解題關鍵.22、（1）數列具有性質，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解析】（1）由題意，由性質定義，即可知是否具有性質.（2）由題設，存在，結合已知得且，則，由性質的定義只需保證為整數即可確定公差的所有可能值；（3）根據（2）的思路，可得且，由為整數，在為定值只需為整數，即可判斷數列的個數是