安徽省天長市關(guān)塘中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

安徽省天長市關(guān)塘中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.2．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.3．的展開式中，常數(shù)項為（）A. B.C. D.4．已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則5．若圓的半徑為，則實數(shù)（）A. B.-1C.1 D.6．直線（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.7．對于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項和為8．雙曲線的離心率的取值范圍為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.8010．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點稱作近（遠(yuǎn)）地點，近（遠(yuǎn)）地點與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠(yuǎn)地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.11．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設(shè)有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某足球俱樂部選拔青少年隊員，每人要進(jìn)行3項測試．甲隊員每項測試通過的概率均為，且不同測試之間相互獨立，設(shè)他通過的測試項目數(shù)為X，則_________14．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程；15．已知函數(shù)，則________.16．已知雙曲線的漸近線上兩點A，B的中點坐標(biāo)為（2，2），則直線AB的斜率是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結(jié)論.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；19．（12分）已知圓（1）求圓心的坐標(biāo)和圓的面積；（2）若直線與圓相交于兩點，求弦長20．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程22．（10分）【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.2、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.3、A【解析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數(shù)項為.故選：A.4、B【解析】A．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；B．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯故選B【點睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟定理是解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型5、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.7、B【解析】由等差數(shù)列的通項公式判定選項A正確；利用等比數(shù)列的通項公式求出，即判定選項B錯誤；利用對數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項A正確；對于B：由條件可得，，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，則，即數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列，即選項C正確；對于D：，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項D正確.故選：B.8、C【解析】分析可知，利用雙曲線的離心率公式可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意有，，則，解得：故選：C.9、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C10、A【解析】根據(jù)遠(yuǎn)地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A11、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.12、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷2個命題的真假，再利用復(fù)合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二項分布的方差公式即可求出【詳解】因為，所以故答案為：14、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點C在中線上及求得答案；（2）設(shè)出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及求出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設(shè)C點的坐標(biāo)為，則由題知，即.【小問2詳解】設(shè)B點的坐標(biāo)為，則中點M坐標(biāo)代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.15、2【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故答案為：2.16、##【解析】設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立直線的方程和漸近線的方程，結(jié)合中點的坐標(biāo)來求得直線的斜率.【詳解】雙曲線，，漸近線方程為，設(shè)直線的方程為，，由，由，所以，所以直線的斜率是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點F，使.事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說明假設(shè)錯誤。從而證明原結(jié)論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結(jié)合時，，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數(shù)列等比數(shù)列，且；【小問2詳解】假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側(cè)是奇數(shù)，右側(cè)是一個偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；【小問3詳解】關(guān)于正整數(shù)n的不等式，即，當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，；當(dāng)n=3時，；當(dāng)n=4時，，并且當(dāng)時，，因關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.19、（1）圓心，面積為；（2）.【解析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出圓心、半徑和圓的面積；（2）求出圓心到直線的距離，進(jìn)而通過勾股定理求得答案.【小問1詳解】由已知，得：，所以圓心，半徑為，面積為.【小問2詳解】圓心到直線距離為，則.20、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點面距離.（3）設(shè)（），由可得關(guān)于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點A為原點，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設(shè)平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設(shè)存在滿足條件的點M，設(shè)（），則，從而.即，即，此方程無實數(shù)解，故不存在滿足條件的點M.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標(biāo)原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進(jìn)而可得到點在以為直徑的圓上運(yùn)動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標(biāo)原點【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當(dāng)時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運(yùn)動，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動點的軌跡方程為22、(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a≥時，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當(dāng)0<x<2時，f′（x）<0；當(dāng)x>2