2025年高考數(shù)學(xué)一輪知識點復(fù)習(xí)：等比數(shù)列及其前n項和（原卷版）

6.3等比數(shù)列及其前n項和（原卷版）

一、單項選擇題

1.已知等差數(shù)列｛服｝中，ai=l,公差d#0,如果ai,。2,。5成等比數(shù)列，

那么d等于（）

A.2或-2B.-2

C.2D.3

2.已知實數(shù)人為a,c（a》6Nc>0）的等差中項，若2c,b,2。成等比數(shù)列，

則此等比數(shù)列的公比為（）

A.2-小B.2+小

C.7-473D.7+4/

3.在等比數(shù)列｛外｝中，若a2a5=-弓，02+03+04+05=7,則;+；+；+?

=（）

354

A.1B.-aC.-§D.

4.已知等比數(shù)列｛。，｝的前〃項和S“滿足的=l-A3"i（AGR）,數(shù)列｛況｝是

遞增數(shù)列，且況=4?+珈，則實數(shù)3的取值范圍為（）

A.-|,+8）B.[-1,+8）

C.（-1,+8）D.（一1,+s）

5.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，且（也—1）的+以=g（〃GN*）.記兒=為服

+1,。為數(shù)列｛況｝的前〃項和，則使繪手成立的最小正整數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

6.已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（）

A.若〃1。2>0,貝lj〃2。3<0

B.若+〃3<0,貝lja\+〃2<0

C.若〃2>m>0,貝lja\+〃3>2。2

D.若aia2<0,貝|J（Q2-Q1）（Q2-Q3）<0

7.公比qW-l的等比數(shù)列的前3項、前6項、前9項的和分別為S3,56,

S9,則下列等式成立的是（）

A.S3+5*6=S9

B.516=S3s9

C.S3+S6-5*9=56

D.4+W=S3（S6+S9）

8.已知數(shù)列｛。"｝為無窮等比數(shù)列，且公比q>l,記&為數(shù)列｛0,｝的前〃項

和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2>ai

B.Ql+Q2>0

c.數(shù)列｛加｝是遞增數(shù)列

D.S,存在最小值

二、多項選擇題

9.數(shù)列｛詞的前幾項和為％,若ai=l,-+i=2%（〃WN*）,則有（）

A.S〃=3"T

B.｛a｝為等比數(shù)列

n1

C.an=2-3-

f1,n=l,

D.a=\、

n2■3”-2,7心2

10.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,其前〃項和為S”，前〃項積為4,并且滿

<77—1

足條件。1>1,。7。8>1,一不0.則下列結(jié)論正確的是（）

（78-1

A.0<q<1

B.a7a9<1

C.4的最大值為T7

D.S,的最大值為S7

11.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為且ai=p,2sl-8-i=2p（心2,p為非

零常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列

B.當(dāng)夕=1時，$4二,

C.當(dāng)P=1日寸，ClmCln=Clm+n

D.㈤+嗣=|tZ5|+|<76|

三、填空題

12.已知遞增等比數(shù)列等目的前〃項和為江,02=2,S3=7,數(shù)列｛log2⑸

+1)｝的前〃項和為4,貝.

[2

13.已知必為等比數(shù)列｛Z｝的前〃項和，若。1=W,石=。6,貝IJS6=■

Cln+Cln_1Cln_1*

14.在正項數(shù)列｛防｝中，ai=3,=(〃>2,"CN"),右09

Cln+\~CLn_\Cln—Cln_1

=27,貝1Jaio=.

15.已知等比數(shù)列｛0｝滿足a”>0,且a2a6=4,則logzai+log2a2+log2a3+…

+log2a7=.

四、解答題

16.設(shè)ai=2,。2=4,數(shù)列｛兒｝滿足：bn=an+\-an,bn+i=2bn+2.

(1)求證：數(shù)列｛加+2｝是等比數(shù)列(要指出首項與公比)；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

17.已知數(shù)列｛外｝的前九項和Sn滿足條件Sn=3如+2.

⑴求證：數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列他"｝的通項公式及前〃項和Sn.

18.已知數(shù)列｛所｝的前〃項和為S”，且ai=2,an+i=Sn.

(1)求數(shù)列｛圓｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=1噌詼,求數(shù)列??；的前n項和Tn.

6.3等比數(shù)列及其前n項和（解析版）

一、單項選擇題

1.已知等差數(shù)列｛服｝中，ai=l,公差d#0,如果ai,。2,。5成等比數(shù)列，

那么d等于（）

A.2或-2B.-2

C.2D.3

答案C

解析因為<22,成等比數(shù)列，所以。2=0。5,即3+J）2=ai（ai+4J）,

因為0=1,所以（1+42=1（1+44，解得d=23=0舍去）.故選C.

2.已知實數(shù)6為a,c（a》6Nc>0）的等差中項，若2c,b,2。成等比數(shù)列，

則此等比數(shù)列的公比為（）

A.2-小B.2+S

C.7-473D.7+44

答案B

解析因為實數(shù)6為。，c（a26Nc>0）的等差中項，所以20=a+c①，又

2c,b,2a成等比數(shù)列，所以序=2o2c=4ac②，聯(lián)立①②，得=4ac,

即。2一14絲+°2=0,所以，）-14-^+1=0,解得孩=7±4小.設(shè)等比數(shù)列的公比

為q,由題意，知￡>1,/=端=?=7+4/，所以q=2+小.故選B.

3.在等比數(shù)列伍"｝中，若a2a5=-日，42+43+44+45=],則J

?1IA-JL4-J

=（）

354

A.1B.-1C.D.8

答案C

解析因為數(shù)列｛。，｝是等比數(shù)列，a2a5=-^=。3。4,s+必+。4+公=不所

5

”1上1上1上1一2+a5a3+4—W__5

以。2十。3a4+。5一a2a5。3。4一_3一一3以磔J

-4

4.已知等比數(shù)列｛或｝的前〃項和S,滿足的=1-A3〃+i(A?R),數(shù)列｛為｝是

遞增數(shù)列，且況=A/+B〃，則實數(shù)3的取值范圍為()

A.-|,+8)B.[-1,+8)

C.(-1,+8)D.+8)

答案C

解析因為等比數(shù)列｛而｝的前〃項和S“滿足S〃=1-A3/1(ACR),所以0

=Si=l-9A,t/2=S2-Si=(l-27A)-(l-9A)=-ISA,a3=S3-52=(1-81A)

-(1-27A)=-544,在等比數(shù)列｛飆｝中，因為例=a?,所以(-18A)2=(1-94)(-

544).解得A=]或A=0(舍去)，所以劣=$2+3幾因為數(shù)列｛及｝是遞增數(shù)列，所

1121

以b〃+1-。九=](〃+1)2+B(n+1)——BTI>Q,所以B>——，又〃￡N,所以

5>-1.故選C.

5.已知數(shù)列｛所｝的前〃項和為S〃，且他一l)Sn+a”=y/i(neN*).記b”=出小

+i,4為數(shù)列｛況｝的前〃項和，則使乙>喈成立的最小正整數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

答案C

解析由(6-1設(shè)+酸=啦,可知(啦-i)s+i+斯+1=6,所以(啦-i)(s”

+i-Sn)+an+i-an=0,即也斯+i=a".當(dāng)”=1時,因為(也-l)ai+ai=巾,所以

an+i、叵、叵

ai=lf所以酸W0,所以二1二冷，所以數(shù)列｛板｝是以1為首項，冷為公比的等

2

bn1ClnlCln2Cln21、歷

比數(shù)列，所以丁+=---+----+=—+=V=5.又bl=am=與,所以數(shù)列｛為｝

OnanCln+1Cln7乙J乙乙

、歷121-⑸/_小〃

是以勺為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以〃=------J—=也1一&?又

-一1-2

"坐,所以>g)>H,即&*=g),所以〃>6.又“?N*,所以"的最

小值為7.故選C.

6.已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是()

A.若〃1〃2>0,貝［I42。3Vo

B.若+〃3<0,貝lja\+ai<0

C.若a2>a\>0,貝ljai+a3>lai

D.若〃1。2<0,貝|J(Q2-。1)(。2-Q3)V0

答案C

2__

解析數(shù)列｛所｝是等比數(shù)列,對于A,tzi<72>0,即aq>0,可得q>0,則a2a3

=a\q3>0,故A不正確；對于B,tzi+a3=<21(1+q2)<0,可得〃i<0,由于ai+〃2

=ai(l+q),當(dāng)q<-l時，ai+〃2>0,故B不正確；對于C,a2>m>0,可得4>1,

所以QI+〃3-2a2=(21(1-2q+所=<71(1-q)2>0,故ai+a^>2ai,C正確；對于D,

由aiQ2<0,可得aiq<0,可得g<0,所以(〃2-ai)(ai-s)=a\｛q-l)(q-q2)=-aiq(q

-l)2>0,故D不正確.故選C.

7.公比qW-l的等比數(shù)列的前3項、前6項、前9項的和分別為S3,S6,

S9,則下列等式成立的是()

A.S3+S6=S9

B.56=S3s9

C.S3+S6—S9=￡

D.S3+S^=S3(S6+S9)

答案D

解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列，所以。6-

S3)2=S3(S9r6),整理，得士+￡=S3(S6+S9).故選D.

8,已知數(shù)列｛詼｝為無窮等比數(shù)列,且公比01,記S〃為數(shù)列｛為｝的前〃項

和，則下列結(jié)論正確的是（

A.ai>a\

B.a\+〃2>0

7

c.數(shù)列｛詼｝是遞增數(shù)列

D.&存在最小值

答案C

解析因為數(shù)列｛m｝為無窮等比數(shù)列，且公比q>l,但首項的正負(fù)不確定，

所以ci2=aiq與ai的大小關(guān)系不能確定,ai+。2=m（l+q）也不一定大于0,故A,

B錯誤；對于C,因為恁=山（1廣1,所以數(shù)列｛詼｝是首項為0>0,公比為/的

等比數(shù)列，所以片+1-弁=憂等2）"-憂@）—=憂（才）”1（/_1）>0,所以數(shù)列｛揄

是遞增數(shù)列，c正確；對于D,因為S,為數(shù)列｛服｝的前”項和，所以S〃+1-S〃=

an+i=a\q〃,因為首項的正負(fù)不確定，所以S,的增減性不確定，故Sn不一定存在

最小值，故D錯誤.故選C.

二、多項選擇題

9.數(shù)列｛如｝的前。項和為若m=l,呢+i=2S,（〃?N*）,則有（）

A.S”=3"T

B.｛&｝為等比數(shù)列

C.呢=231

1,n=l,

2-3n-2,n>2

答案ABD

解析由題意,數(shù)列｛m｝的前〃項和滿足以+I=2SGGN*）,當(dāng)〃三2時，an

=2Sn_1,兩式相減，可'得+1-a”=2(S”-S”_1)=，可"［導(dǎo)an+1=3t?",即，

3（〃三2）,又由ai=l,當(dāng)〃=1時，s=2Si=2ai=2,所以a=2,所以數(shù)列的通

1,n=l,an+i2-3〃T

項公式為an=cc—c當(dāng)"三2時，Sn=^~=-5—=3"一，又由〃

2-3"/,?>2；

時，Si=m=l,適合上式，所以數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,=3"T；又由方丁=正

=3,所以數(shù)列｛S〃｝為公比為3的等比數(shù)列.綜上可得，選ABD.

10.設(shè)等比數(shù)列｛劣｝的公比為q,其前〃項和為S,前〃項積為。，并且滿

cn-\

足條件ai>l,a7a8>1,—f<0.則下列結(jié)論正確的是（）

48—1

A.Q<q<\

B.〃7。9<1

C.〃的最大值為T7

D.8的最大值為S7

答案ABC

_<77-1

解析因為。1>1,a7a8>1,---7<0,所以。7>1,0<<78<1,所以0<q<l,故

（28-1

—2

A正確；a7a9=或<1,故B正確；。7>1,0<。8<1,所以77是T”中的最大項，故C

正確；因為。1>1,0<^<1,所以S,無最大值，故D錯誤.故選ABC.

11.已知數(shù)列｛m｝的前〃項和為的，且ai=p,2Sn-S"_i=2p（n》2,p為非

零常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列

B.當(dāng)p=l時，54=y

=

C.當(dāng)p/時，ClmCln—Clm+n

D.\as\+\as\=|。5|+㈤

答案ABC

解析對于A,在數(shù)列｛或｝中，因為ai=p,2SLSJ\=2P（G2,2為非零

常數(shù)）①，

當(dāng)7?=2時，2（<22+P）-p=2p,解得?2=2，當(dāng)"三3時，2S"_i-Sn_2=2P②,

由①-②，得功-嘰1=0,gp—=1,又因為,"，所以數(shù)列3｝是首

un_1乙N

1nf-1

項為P，公比為]的等比數(shù)列，因此A正確；對于B,由A項，得斯=?｛之,

(1、"-11-15

因此當(dāng)P=1時，如=0,S4=----------二=9，B正確；對于C,由A項，得

用“T、1flf①機①〃由"+〃

Cln=P'y2JJ因此當(dāng)p=5時，。"二'aman~\2j'y2j=6J=am+n5因

此C正確；對于D,由A項，得z=pg),因此|向|+陵|=|夕|?!!)+|冰8

733dI?_

=Ip卜市，|討+|。6|=I川?⑸+加1,⑸=加卜市，所以|。3|+嗣＞依|+|。6|,D不正

確.故選ABC.

三、填空題

12.已知遞增等比數(shù)列｛麗｝的前“項和為S”，一=2,53=7,數(shù)列口噌⑸

+1)｝的前〃項和為Tn,則T"=.

.._n(n+1)

答案一2一

2

解析設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,由奧=2,S3=ai+42+。3=7,W-+2

+2q=7,即2q2—5q+2=0,解得q=2或q=](舍去)，貝ljm=^=]=l,所以

1一2〃n(n+1)

Sn-~~=2"—1.令bn=log2(Sz?+1),貝lj6〃=R)g22〃=n,所以A=-.

1—21

12

13.已知S,為等比數(shù)列｛a”｝的前〃項和，若ai=,，而=。6,貝1JS6=.

364

答案—

解析設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,則由如=燃,得(。應(yīng)3)2=a應(yīng)列即aiq=1,

|x(1-36)

因為所以q=3,所以S6=r---j773----=丁，

Un+4〃_1Cln_l.

14.在正項數(shù)列｛外｝中，0=3,---------=--------("22,n€N),若ai9

(In+1—Un_1Cln-Cln_\

-27,貝ljmo=.

答案9

Cln+Cln-1Cln_12222

角牛因為=jkA恁_i=+1。九一i—_ij^FfkA=

Cln+1~Cln_\Cln_Cln_1

2

a”_i,a4+i(〃22),故數(shù)列｛aa｝為等比數(shù)列,所以aio=aiai9=81,又說>0,所以

<710=9.

15.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足an>0,且〃2。6=4,貝ljlog2al+log2?+log2a3+…

+log2a7=.

答案7

_2

解析由已知可得aiai=a2a6=03a5=a：=4,所以。4=2,所以log2al+log2a2

+log2a3+…+log2a7=log2(aia2a3…。7)=log2(27)=7.

四、解答題

16.設(shè)ai=2,<22=4,數(shù)列｛bQ滿足:bn=an+i-an,bn+i=2bn+2.

(1)求證：數(shù)列｛況+2｝是等比數(shù)列(要指出首項與公比);

(2)求數(shù)列｛a〃｝的通項公式.

解(1)證明:因為%+1=2瓦+2,兩邊同時加2,得%+1+2=2(瓦+2),

又。1=。2-。1=2,61+2=4,

所以數(shù)列｛瓦+2｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)可知，瓦+2=4-2"T=2〃+I.

所以仇=2”+1-2.

貝1J+1—a”=2"+1—2.

〃=1,2,,,1,n—1,

貝＜72—Gl=2-—2,(13-＜722,-2,,,■,dn-Cln_12"-2,

將上式相加，得an=(2+22+23+…+2")—2(〃-1)=2/1-2—2〃+2=2n+1

-2n,

所以a〃=2"i-2九

17.