2025屆浙江省杭州市第四中學(xué) 數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題含解析

2025屆浙江省杭州市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知角的終邊在第三象限，則點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．下列函數(shù)中為奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)是（）A. B.C. D.3．如圖，在平面內(nèi)放置兩個(gè)相同的直角三角板，其中，且三點(diǎn)共線(xiàn)，則下列結(jié)論不成立的是A. B.C.與共線(xiàn) D.4．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B.C. D.5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.6．下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.7．已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的最大值是（）A.0 B.C. D.18．，，，則（）A. B.C. D.9．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A.3 B.2C. D.10．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則_________12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________________________13．若則函數(shù)的最小值為_(kāi)_______14．已知且，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)___________.15．某種商品在第天的銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元）為，第x天的銷(xiāo)售量（單位：件）為，則第14天該商品的銷(xiāo)售收入為_(kāi)_______元，在這30天中，該商品日銷(xiāo)售收入的最大值為_(kāi)_______元.16．已知一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為1，其高與母線(xiàn)的夾角為45°，則該圓錐的體積為_(kāi)___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù)，其中（1）若當(dāng)時(shí)取到最小值，求a的取值范圍（2）設(shè)的最大值為，最小值為，求的函數(shù)解析式，并求的最小值18．已知向量，1若

，共線(xiàn)，求x的值；2若，求x的值；3當(dāng)時(shí)，求與夾角的余弦值19．設(shè)集合，，（1），求；（2）若“”是“”的充分條件，求的取值范圍20．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．已知函數(shù).（1）若，求的解集；（2）若為銳角，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)角的終邊所在象限，確定其正切值和余弦值的符號(hào)，即可得出結(jié)果.【詳解】角的終邊在第三象限，則，，點(diǎn)P在第四象限故選：D.2、D【解析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于在定義域上不單調(diào)，不符合題意；對(duì)于在定義域上不單調(diào)，不符合題意；對(duì)于，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，符合題意故選：D3、D【解析】設(shè)BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.4、D【解析】利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式：，并求出和，由條件和正弦函數(shù)的最值列出方程，求出的表達(dá)式，由誘導(dǎo)公式求出的值【詳解】解：函數(shù)（其中，又時(shí)取得最大值，，，即，，，故選：5、A【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A：定義域?yàn)椋?，即為偶函?shù)，且在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：定義域?yàn)椋?，即為偶函?shù)，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)椋?，故為非奇非偶函?shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A6、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞減，所以，故A正確；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，即，所以，故D錯(cuò)誤；故選：A7、C【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.故選C.8、B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出，，的大小關(guān)系【詳解】，，，故選：9、B【解析】令系數(shù)為，解出的值，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得答案【詳解】解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選：B10、A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數(shù)，排除；由排除，從而得到結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除又，排除故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題通常采用排除法來(lái)進(jìn)行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調(diào)性，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：12、(-1,2).【解析】分析：由對(duì)數(shù)式真數(shù)大于0，分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合得答案詳解：由，解得﹣1＜x＜2∴函數(shù)f（x）=+ln（x+1）的定義域?yàn)椋ī?，2）故答案為（﹣1，2）點(diǎn)睛：常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0定義域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)13、1【解析】結(jié)合圖象可得答案.【詳解】如圖，函數(shù)在同一坐標(biāo)系中，且，所以在時(shí)有最小值，即.故答案為：1.14、9【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以，又、為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9.15、①.448②.600【解析】銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量相乘即得收入，對(duì)分段函數(shù)，可分段求出最大值，然后比較．【詳解】由題意可得（元），即第14天該商品的銷(xiāo)售收入為448元.銷(xiāo)售收入，，即，.當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，y取最大值，，當(dāng)時(shí)，易知，故當(dāng)時(shí)，該商品日銷(xiāo)售收入最大，最大值為600元.故答案為：448；600.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用．根據(jù)所給函數(shù)模型列出函數(shù)解析式是基本方法．16、##【解析】由題可得，然后利用圓錐的體積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h,由圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為1，其高與母線(xiàn)的夾角為45°，∴，∴該圓錐的體積為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），最小值為.【解析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，要使得函數(shù)在取到最小值，則函數(shù)必須先減后增，列出方程組，即可求解；（2）由（1）知，若時(shí)，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，得到；若時(shí)，令，求得，分，，三種情況討論，求得函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)、換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，要使得函數(shù)在取到最小值，則函數(shù)必須先減后增，則滿(mǎn)足，解得，即實(shí)數(shù)取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，設(shè)，若時(shí)，即時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，可得；若時(shí)，即時(shí)，令，即，解得或，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在恒成立，即，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在恒成立，即，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，可得；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，又由，可得，（i）當(dāng)時(shí)，，即，所以，此時(shí)；（ii）當(dāng)時(shí)，，即，所以，此時(shí)，綜上可得，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為；當(dāng)時(shí)，令，則，可得，則，綜上可得，函數(shù)的最小值為.18、（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）若，則有，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程，解得的值即可；（3）根據(jù)題意，由的值可得的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得和的值，結(jié)合，計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得若，則有，又由向量，，則有，即，解可得.根據(jù)題意，若，則有，，【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量共線(xiàn)、垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題19、（1）（2）或【解析】（1）先求集合B的補(bǔ)集，再與集合A取交集；（2）把“”是“”的充分條件轉(zhuǎn)化為集合A與B之間的關(guān)系再求解的取值范圍【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，又故【小問(wèn)2詳解】由題意知：“”是“”的充分條件，即當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，欲滿(mǎn)足則必須解之得綜上得的取值范圍為或20、（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函數(shù)性質(zhì)求