中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)區(qū)間最值問題（知識梳理與考點分類講解）

專題1.6二次函數(shù)區(qū)間最值問題(知識梳理與考點分類講解)

第一部分【知識點歸納】

二次函數(shù)最值問題是中考熱點內(nèi)容，區(qū)間最值則是重難點內(nèi)容。本專題

重在解決區(qū)間為前提的二次函數(shù)最值問題的解題方法。

【知識點11二次函數(shù)區(qū)間最值類型

為了形象和記憶方便，特別作以下規(guī)定：軸：表示對稱軸，區(qū)間：表示自變量的取值

范圍，動：表示含有參數(shù)，二次函數(shù)區(qū)間最值類型有以下四種：

(1)定軸定區(qū)間：即對稱軸，區(qū)間都固定求最值；

(2)定軸動區(qū)間：即對稱軸固定，區(qū)間動求最值；

(3)動軸定區(qū)間：即對稱軸動，區(qū)間固定求最值；

(4)動軸動區(qū)間：即對稱軸動，區(qū)間都動求最值。

【知識點2】解題方法：主要抓住三要素

(1)三點：表示區(qū)間的兩個端點和中點；

(2)一軸：表示二次函數(shù)對稱軸；

(3)開口：表示二次函數(shù)的開口方向；

以上三要素統(tǒng)稱為：”三點一軸及開口"，通過數(shù)形結(jié)合方法，根據(jù)函數(shù)的增減性分類討論

解決問題。

【知識點3］四種區(qū)間情況討論

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)，求以下區(qū)間的最值。

1、若自變量為全體實數(shù)

(1)當(dāng)a>0時，當(dāng)》=_=時，函數(shù)有最小值，如圖(1)

2a

h

(2)當(dāng)a<0時，當(dāng)x=-2時,函數(shù)有最大值，如圖(2)

2a

圖2

2、若：m<x<nS.m<——<n

2a

(1)當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，當(dāng)x=-=時，函數(shù)有最小值；當(dāng)x=n時函數(shù)有最

2a

大值，如圖(3);

(2)當(dāng)a<0時，拋物線開口向下,當(dāng)x=-=時，函數(shù)有最大值；當(dāng)x=n時函數(shù)有最

2a

小值,如圖(4);

圖4

注意：這里一定要注意m,n與一(的水平距離,距離越遠(yuǎn)的點,才是最值一定要結(jié)

合實際情況。

h

3、^m<x<n,且對稱軸x=-上■在區(qū)間的右邊時

2a

(1)當(dāng)a>0時，拋物線開口向上,當(dāng)x=m時，函數(shù)有最大值;當(dāng)x=n時，函數(shù)有最小

值，如圖(5);

(2)當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，當(dāng)x=m時，函數(shù)有最小值；當(dāng)x=n時，函數(shù)有最大

值，如圖(6);

圖5圖6

4、若Yx",且對稱軸戶4在區(qū)間的左邊時

(1)當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，當(dāng)x=m時，函數(shù)有最小值；當(dāng)x=n時，函數(shù)有最大

值。

(2)當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，當(dāng)x=m時，函數(shù)有最大值;當(dāng)x=n時，函數(shù)有最

小值。

圖7圖8

【知識點4］總結(jié)歸納如下：

1、根據(jù)題意畫草圖；

2、根據(jù)題意確定類型：

（1）對稱軸在區(qū)間的左側(cè)；（2）對稱軸在區(qū)間的中間；（3）對稱軸在區(qū)間的右側(cè).

3、畫出最高點和最低點，確定最值。

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1】自變量為全體實數(shù)

【例1】（22-23九年級上?廣東中山?期末）求函數(shù),=-/+4彳+5的最值，并說明是最大值還是最小值.

【答案】當(dāng)x=2時，>=9；是最大值.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)>=辦2+法+。的性質(zhì)，。=-1<0時拋物線開口向下，有最大值，無最小值.用配

方法將其化為頂點式，即可求出最大值.

解：在本函數(shù)中

〃=—1<0

拋物線開口向下，有最大值，

將,=一/+4彳+5進(jìn)行配方，

得y=—x2+4x+5=—（x—2）~+9,

，當(dāng)尤=2時，

y=9,為最大值.

【點撥】本題考查二次函數(shù)y=al+bx+c的性質(zhì)，熟練掌握拋物線圖像與系數(shù)的關(guān)系，能正確求出頂點

坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

【變式1］（23-24九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）請同學(xué)們借助所學(xué)知識確定代數(shù)式-f-2x+3有最大

值還是最小值，是多少？（）

A.有最小值是4B.有最大值是4

C.有最小值是8D.有最大值是8

【答案】B

【分析】把代數(shù)式化成完全平方的形式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

解:-X2-2X+3=-X2-2X-1+4=-(X+1)2+4,

0-1<0,

團(tuán)當(dāng)x=T時，代數(shù)式-/一2%+3有最大值，最大值為4,

故選：B.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，把代數(shù)式化成完全平方的

形式.

【變式2](23-24九年級上?重慶?階段練習(xí))二次函數(shù)y=-2d+4x-6的最大值是.

【答案】-4

【分析】先求出對稱軸，再求出最大值即可.

解：Ey=-2x2+4x-6

團(tuán)二次函數(shù)y=-2d+4x-6開口向下，在頂點處有最大值，

4

回二次函數(shù)y=-2/+4x-6對稱軸為直線-2?(2)=1，

回當(dāng)x=l時，>=-2+4-6=-4,即最大值為：-4,

故答案為：-4.

【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【題型2】自變量取值范圍為7〃VxK"且m<—<n

2a

【例2】(23-24九年級上?陜西延安?期中)求二次函數(shù)y=f2+2x+5在04x43范圍內(nèi)的最小值和最大

值.

【答案】最小值為2,最大值為6

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，先求得對稱軸與頂點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得最小值，

即可求解.

角星：回y=—%2+2x+5=—(x—I)2+6,

國拋物線的開口向下，對稱軸為％=1,頂點坐標(biāo)為(1,6),

00<x<3,

回當(dāng)X=1時，取得最大值y=6；當(dāng)尤=3時，取得最小值y=2.

團(tuán)二次函數(shù)在04xW3范圍內(nèi)的最小值為2,最大值為6.

【變式1】（23-24九年級上,浙江溫州?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象（0WxW4）如圖，關(guān)于該函數(shù)在

所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.有最小值-2,無最大值B.有最小值-2,有最大值-L5

C.有最小值-2,有最大值2.5D.有最小值-1.5,有最大值2.5

【答案】C

【分析】根據(jù)圖象及x的取值范圍，求出最大值和最小值即可.

解：根據(jù)圖象及x的取值范圍，

當(dāng)尤=1時，y取最小值為-2,

當(dāng)x=4,y取最大值為2.5,

.?.該函數(shù)有最小值-2,有最大值2.5,

故選：C.

【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是要能根據(jù)圖象確定函數(shù)的最大值和最小

值，函數(shù)所對的最低點的y值為最小值，最高點的y值為最大值.

【變式2*23-24九年級上?北京石景山?期中）當(dāng)-2WxW2,則函數(shù)y=爐-2x最大值______,最小值______

【答案】8-1

【分析】將拋物線解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合解析式即可得到答案.

解：,y=x2—2x=（x—1）—1,

:.a=l>0,拋物線開口向上，

-2<x<2,

，當(dāng)x=i時，y的值最小為一1,

當(dāng)x=2時，y=22-2x2=0,

當(dāng)x=-2時，y=（-2）2—2x（-2）=4+4=8,

8>0,

，當(dāng)一24x42,則函數(shù)>=必一2%最大值為8,最小時為一1,

故答案為：8,—1.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將解析式化為頂點式是解此題的關(guān)鍵.

【題型3】若且對稱軸1=-2在區(qū)間的右邊時

2a

【例3】(20-21九年級上?廣東廣州?期中)當(dāng)-2WX41時，二次函數(shù)y=-(x-3)2+m2+l有最大值4,

求實數(shù)m的值.

【答案】mi—77,nri2=-幣

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x<3時，y隨x的增大而增大，根據(jù)題意列式計算即可.

解：二次函數(shù)y=-(x-3)2+m2+1的對稱軸是x=3,

Ea=-KO,

回當(dāng)x<3時，y隨x的增大而增大，

由題意得，當(dāng)x=l.時，二次函數(shù)y=-(x-3)2+m2+l有最大值4,

則-(1-3)2+m2+l=4,

解得，ml=77,m2=-?.

【點撥】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0),當(dāng)a<0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，

y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少.

【變式1】(2024?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?三模)已知實數(shù)a,b滿足6-a=l且/4,則代數(shù)式/一傷+11的最

小值是()

A.7B.4C.6D.3

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)題意用含b的代數(shù)式表示。，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含b的代數(shù)式，

配方后，求最值即可.

解:a=1,

=1,

回4-46+11=("-ip-46+11

=/一26+1—46+11

="-66+12

=(6-3『+3；

0Z?>4,

回當(dāng)Z,=4時，僅一3『+3的值最小為4；

故選B.

【變式2】(23-24九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知函數(shù)y=Y-2x+3,當(dāng)OWxW加時，有最大值3,

最小值2,則機(jī)的取值范圍是.

【答案】1WM1V2

【分析】先將該函數(shù)的表達(dá)式化為頂點式，得出當(dāng)x=l時，y有最小值2,再把y=3代入、=犬-2x+3,

求出X的值，即可求出"2的取值范圍.

角率：回y=尤~—2x+3=(x—1)~+2,a=l>0,

回當(dāng)x=l時，y有最小值2,

把，=3代入y=x2_2x+3得：3=/一2%+3,

解得：=2,Xj=0,

團(tuán)當(dāng)IVxWm時，有最大值3,最小值2,

01<m<2,

故答案為：1WmV2.

【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和增減性，以

及求二次函數(shù)的最值的方法.

【題型4】若根且對稱軸x=-2在區(qū)間的左邊時

2a

【例4】(22-23九年級上?廣東韶關(guān)?期中)已知0<x<2,貝幅數(shù)y=d+x+l()

A.有最小值3;，但無最大值B.有最小值3;，有最大值7

C.有最小值1,有最大值7D.無最小值也無最大值

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，先把解析式化為頂點式得到開口方向和對稱軸，進(jìn)而得到

在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，據(jù)此結(jié)合自變量的取值范圍即可得到答案.

解：由題意得，拋物線解析式為y=f+x+l=(x+,T+3,

回拋物線對稱軸為直線x=-1,

2

El>0,

團(tuán)在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，

國當(dāng)0VxW2時，當(dāng)x=0時，y有最小值1,當(dāng)x=2時，y有最大值2?+2+1=7,

故選：C.

【變式1】（2024?山東臨沂?三模）若二次函數(shù)，=加-x+2的圖象經(jīng)過點（2,-1）,當(dāng)力W2時，丁有

最大值3,最小值-1,貝打的取值范圍應(yīng)是（）

A.-6<t<2B.t<-2C.-6<t<-2D.-2<t<2

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)丁=依2-》+2的圖象經(jīng)過點（2,-1）,

可以求得。的值，然后即可得到該函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，時，V有最大值3,最

小值-1,即可得到/的取值范圍.

解：二次函數(shù)y=a/-x+2的圖象經(jīng)過點（2,-1）,

-1=4x22—2+2,

解得。=二,

4

112

y-——x-x+2——z（%+2）+3,

二?該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線x=-2,當(dāng)x=-2時，該函數(shù)取得最大值3,

當(dāng)，KxK2時，y有最大值3,最小值一1,當(dāng)％=2時，y=-l,

根據(jù)對稱性可得了=-6時，y=-i,

-6W，《—2,

故選：C.

【變式2］當(dāng)2.54XW5時，二次函數(shù)y=—（x-1）2+2的最大值為一

【答案】二

4

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可

解:函數(shù)y=—（x—l）2+2的圖象的開口向下，對稱軸為直線x=L

當(dāng)2.5<x<5時，y的值隨x值的增大而減小，

所以當(dāng)x=2.5時，y最大=—(2.5—1)12+*42=-^.

故答案為7.

【點撥】此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題時根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的增減性質(zhì)，然后

根據(jù)范圍判斷出取最值的x值，然后求出最大值即可，此題易錯為不考慮24x45的范圍，單純的考慮y=

-(x-1)2+2的最大值，出現(xiàn)錯誤答案.

【題型5】若且對稱軸x=-2在區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論

2a

【例5】(23-24八年級下?北京?期中)已知二次函數(shù)y=f2+6x-5.當(dāng)fWxWf+3時，函數(shù)的最大值

為m，最小值為“，若加-〃=3,求/的值.

【答案】3-6或6

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可解答.

解：y=—x2+6%-5=—(x-3)2+4,

團(tuán)對稱軸為x=3,

團(tuán)當(dāng)x<3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>3時，y隨x的增大而減小，

①當(dāng)f+3<3即時，

時，y有最小值"，x=t+3時，y有最大值加，

—廣+6?-5=ri

回《2，

一(f+3)+6(/+3)—5=,"

又加一”=3，

整理得-卜+3)2+6卜+3)-5-[-產(chǎn)+6/-5]=3,

解得1=1,

又/<0,

回不符合題意，舍去；

②當(dāng)f>3時，

x=t時，y有最大值m,x=x+t時，y有最小值n,

一廠+6r—5=77?

回47,

一?+3)-+6?+3)-5=〃

又加一”=3,

整理得-(f+3)2+61+3)-5-[-r+6f-5]=-3,

解得r=2,

又方>3,

回不符合題意，舍去；

③當(dāng)0V/V3時，t<3<t+3<6,

回x=3時，y有最大值為4,

Em=4,

又m-n=3,

0n=l,

0-F+6r—5=1或—(f+3)+6(f+3)-5=1,

解得4=3—>/3,Z2=3+-y/3,t3=-\/3,=—A/3,

又0w,

0t的值為3-右或6.

綜上，t的值為3-0或6

【變式1】(22-23九年級上?安徽亳州?期中)當(dāng)1VX43時，二次函數(shù)y=(x-/?>+1(人為常數(shù))有最小

值10,則h的值為

【答案】-2或6/6或-2

【分析】先把>=1。代入y=(x-獷+1,求出尤-丸=3或x-〃=-3,再根據(jù)位置關(guān)系分類討論。的取值問

題即可.

解：令y=10代入y=(x-獷+1得，

10=(x-/?)2+l,

E(x—/?)"=9,

回％-/2=3或工一九=一3,

①當(dāng)/z>3時，y在x=3處取得最小值，

0/?=0(舍去)或/z=6,

②當(dāng)/?<1時，y在彳=1處取得最小值，

回?zé)o=一2或/z=4(舍去)，

③當(dāng)lV/z<3時，V在x=/z處取得最小值，

最小值為1,不符合題意，

綜上，〃的值為-2或6,

故答案為：-2或6.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)的頂點式和最小值，熟練運用二次函數(shù)的圖象特征是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2023?吉林長春?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)的表達(dá)式為，=-/+2辰一〃，當(dāng)-LVxVl時，函數(shù)

有最大值“，貝1的最小值是.

【答案】-/-0.25

4

2/z

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)頂點式等.根據(jù)題意可知對稱軸彳=-丁丁^=/7,分三

2x(-1)

段區(qū)間對拋物線增減性最值進(jìn)行求解即可得出本題答案.

解：Ey=—x2+2hx-h,

,拋物線開口向下，對稱軸為直線方=一02)]、=h,

2x(-1)

當(dāng)無4-1時，x=-l時'取最大值，此時〃=-l-2/z-/z=—l—3/?22；

當(dāng)一時，x=/z時'取最大值，itfcHyl-n——h2+2h2—h=h2—h=(h——)2——,

244

當(dāng)時，x=l時'取最大值，此時”=一1+2〃一〃=/i—1)0,

綜上所述：況的最小值為

故答案為：.

4

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】(2024?浙江?中考真題)已知二次函數(shù)y=/+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點4-2,5),對

稱軸為直線x=-g.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點3(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移機(jī)(機(jī)>。)個單位長度后，恰好落在丁=/+法+。的圖

象上，求相的值;

0

(3)當(dāng)-〃時，二次函數(shù)y=%+fex+c的最大值與最小值的差為了,求幾的取值范圍.

【答案】([)、=/+了+3(2)〃z=4(3)-1<n<l

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

(1)采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；

(2)先求出平移后點8的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入解析式即可；

(3)分為〃<-；，-:時，”>1時，建立方程解題即可.

(1)解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=+左，把A(-2,5)代入得卜2+31+左=5,

解得《=?，

4

Sy=|x+—|+—=x2+x+3；

I2；4

(2)解：點8平移后的點的坐標(biāo)為。-八9),

貝！J9=(1-〃ip+(i-m)+3,解得帆=4或m=-1(舍),

曲〃的值為4；

(3)解：當(dāng)〃<-工時，

2

(1V11-|91

團(tuán)最大值與最小值的差為5-\n+-\+-=-,解得：4=%=-;不符合題意，舍去；

當(dāng)一gv〃vi時，

團(tuán)最大值與最小值的差為5-：11=Q符合題意；

44

當(dāng)〃>1時，

最大值與最小值的差為]+工丫+1-口=2,解得4=1或叼=-2,不符合題意；

I2)444

綜上所述，w的取值范圍為-gw/Vl.

【例2】(2023?浙江杭州?中考真題)設(shè)二次函數(shù)>=。(*一m)(*一〃2-左)(。>0,加,左是實數(shù))，貝IJ()

A.當(dāng)左=2時，函數(shù)y的最小值為-aB.當(dāng)左=2時，函數(shù)y的最小值為-2。

C.當(dāng)k=4時，函數(shù)y的最小值為一。D.當(dāng)左=4時，函數(shù)y的最小值為一2a

【答案】A

【分析】令1=0,則。=a（x-m）（彳-力-左），解得：x1=m,x2=m+k,從而求得拋物線對稱軸為直線

x=m+ln+k=2m+k,再分別求出當(dāng)左=2或左=4時函數(shù)y的最小值即可求解.

W：令y=o,則0=々（X_根）（％_徵_左），

解得：石=m，x2=m+k,

、，士小m+m+k2m+k

回拋物線對稱軸為直線尤=——-——=--—

當(dāng)左=2時，拋物線對稱軸為直線了=加+1,

把X=〃Z+］代入y=。（了_〃7）（了_m_2）,得y=-a,

回。>0

團(tuán)當(dāng)％=m+1,左=2時，y有最小值，最小值為一

故A正確，B錯誤；

當(dāng)左=4時，拋物線對稱軸為直線犬=m+2,

才巴犬=〃z+2代入y=〃（％一m）（無一根_4）,得y=-4a,

回。>0

團(tuán)當(dāng)％=帆+2,攵=4時，y有最小值，最小值為-4。，

故C、D錯誤，

故選：A.

【點撥】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸.利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關(guān)鍵.

2、拓展延伸

【例1】（23-24九年級上?浙江舟山?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系》。了中，若點尸的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，

則稱點尸為完美點.已知二次函數(shù)>=辦2+4工+。（。/0）的圖象上有且只有一個完美點［T，：］，且當(dāng)

3

04光?機(jī)時，函數(shù)y=o?+4x+。一二（〃w0）的最小值為-3,最大值為1,則加的取值范圍是（）

4

797

A.—l<m<0B.2<m<—C.2<m<4D.—<m<—

242

【答案】c

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式，利用數(shù)形結(jié)合的思

想是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)完美點的概念，可得ox?+4%+c=x,即ox?+3x+c=0,根據(jù)只有一個完美點，可得4=3?-4勿;=0,

93

從而解出〃=-1，c=--,所以函數(shù)>=以2+4%+?！?、—2>+1,由此得出函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸

44

及性質(zhì)，即可求解.

W：令cue2+4尤+c=%,即ax2+3x+c=0,

由題意可得，圖象上有且只有一個完美點，

0A=32—4ac=0,即4QC=9,

又回方程的根為尤=S'ac=匚=3,

2a2a2

?9

回Q=-1,C=--,

4

3

回函數(shù)y=ax1+4x+c——=—x2+4無一3=-(.x-2)2+1,

4

國該函數(shù)圖象的頂點為(2,1),

如圖，在對稱軸直線x=2右側(cè)，y隨x的增大而減小，在尤=2左側(cè)，y隨x的增大而增大，

3

當(dāng)04xW機(jī)時，函數(shù)y=