湖南衡陽2025屆高三一輪復(fù)習(xí)9月第3次檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.已知i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足i3?=l+i，則同=（）

A.1B.拒C.2D.百

2.已知集合/={x|0VxVa},8=+3<xVm2+4},若命題'七加eR,幺口5w0”為

假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（l,5）C.（-oo,3）D.（-OO,4）

3.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，

Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah），放電時(shí)間/（單位：h）與放電

電流/（單位：Z）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：c=淇中〃為Peukert常數(shù)為測(cè)算某蓄

電池的Peukert常數(shù)〃，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=30A時(shí)，放電時(shí)間

t=15h；當(dāng)放電電流/=40A時(shí)，放電時(shí)間f=8h.若計(jì)算時(shí)取lg2工0.3,lg3工0.477,貝U該蓄

電池的Peukert常數(shù)〃大約為（）

A.1.25B,1.75C,2.25D,2.55

4.已知平面向量2=（1-x,-x-3）石=（l+x,2）,￡.B=_4,則￡+23與3的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

3434

5.當(dāng)xe[0,2可時(shí),曲線片cosx與y=2sin12x+j的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

6.已知函數(shù)/（x）在工+oo）上單調(diào)遞減且對(duì)任意xeR滿足/（x）=/（2-x），則不等式

/（2x-3）〉/（x）的解集是（）

A[-OO,§]U（3,+OO）B.fD.（3,+CO）

7.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2、4.,且側(cè)棱與底面所成角是60。，則這個(gè)棱

臺(tái)的體積是（）

A.20+12V7C.^-

333

QXY<]

8.已知函數(shù)/(%)=?-,若任意的XER都有/(X)2Q(X+2)恒成立，則實(shí)數(shù)〃

[2x,x>1

的取值范圍為()

A.0,-B.[0,l]C.-,1D.[l,e]

9.已知集合2={-1,0,1,2},8=卜——V0},則2口8中元素的個(gè)數(shù)為（）

x—2

A.lB.2C.3D.4

10.下列各式為y關(guān)于X的函數(shù)解析式是()

A.|j^|—x-(x-3)B.y=x—2+-\J\—x

cfx-l,X<0c為有理數(shù)

--V=1x+l,x>0=為實(shí)數(shù)

11.已知a=g,b=ln#,c=(lgll-l)ln9,則見仇c的大小關(guān)系是()

鼠c<b<aB.Q<cC.b<c<aD，c<a〈b

兀

12.已知角（Z的終邊過點(diǎn)尸（3,-3亞卜則sin|a+-)

2

AgB.逅C庭D._@

33一§3

-)

13.若平面a、（3的法向量分別為。=（V^,sin8,cos@,b=-^-,cos^,sin^,且

aL/3,貝U0等于（）

A.E+；（%eZ）B.lkn+^^keZ）

C.2ATT（左eZ）D.ATI-：（左eZ）

14.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體.”事實(shí)上，有很多

代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：&x-a￥+（y_b）2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)

M（x,y）與點(diǎn)N（a,b）的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得y=Vx2+4x+8+A/X2-4X+8的最小

值為（）

A-4A/2B-2A/2C.V2+VT0D-3+V5

15.已知片，月是雙曲線￡_[=1伍〉人〉0）的左、右焦點(diǎn)，以巴為圓心，。為半徑

a2b~

的圓與雙曲線的一條漸近線交于a3兩點(diǎn)，若3|幺河〉閨周，則雙曲線的離心率的取

值范圍是（）

從卜孚]B.,mC.（1,V2）D.（1,V3）

16.某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中

小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中被抽取

的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的初中生近視人數(shù)分別為（）

A.100,50B.100,1050C.200,50D.200,1050

二、多項(xiàng)選擇題

17.已知拋物線C:「=29（夕>0）的焦點(diǎn)為￡其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)4過點(diǎn)A作斜率為

左直線/與C交于M（X1J1）,N（X2，%）兩點(diǎn).若直線y=G（x-l）經(jīng)過點(diǎn)尸,則（）

A.夕=2B.xxx2=1

C.|A;|>1口.怛刈2+但甘的取值范圍是（8,+00）

18.已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)函數(shù)/'（x）的定義域均為R,且滿足/（x）=_/（6-x）,

r（x）=2-r（4-x）,/,（3）=-1,記g（x）=2/（3-x）-l,則下列說法中正確的有（）

A.函數(shù)r（x）的圖象關(guān)于（5』）對(duì)稱

B.函數(shù)y=/（2x+4）-1為奇函數(shù)

C.函數(shù)g'（x）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱

D.數(shù)列｛g'（〃）｝的前2023項(xiàng)之和為一4050

19.已知數(shù)列也｝滿足4=2也也+i=1,記數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)積為S",前〃項(xiàng)和為卻

則（）

A.，2025=-1Q+1—￡“=-1

C?餐=1（〃"）D/。25s2。25=-W

20.如圖1,在等腰梯形中，ABHCDDA=AB=BC=-CD,E為CD中點(diǎn)，

2

將△ZUE沿ZE折起，使。點(diǎn)到達(dá)尸的位置（點(diǎn)尸不在平面48CE內(nèi)），連接，

PC（如圖2）,則在翻折過程中，下列說法正確的是（）

P

A.BCH平面PAE

B.PB±AE

C.存在某個(gè)位置，使尸C,平面尸ZE

D.P8與平面48CE所成角的取值范圍為（0,/）

三、填空題

21.在空間直角坐標(biāo)系中，已知/（5,2,1）,5（4,2,-1）,C（0,-l,0）,￡＞（1,0,1）,則直

線4B與CD所成角的余弦值為

22.等差數(shù)列｛%｝,｛4｝的前項(xiàng)和分別為S“，Tn,已知率=冬彳，則上的值為

/〃〃+406

23.在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國(guó)選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍.

乒乓球決賽采用7局4勝制.在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到

10平以后，先多得2分者為勝方.在10：10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)

i個(gè)球.若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為2,樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得分

3

的概率為工，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10：10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至

2

13:11的概率為.

24.如圖，|為口無卜1,(刀，礪點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧4g上運(yùn)動(dòng)，則

25.已知隨機(jī)變量X?N0,〃卜且尸(X<3)=0.8，則尸(-1<X<1)的值為

四、解答題

26.記△48C的內(nèi)角45c的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知(b+c)(sin5-sinC)=(b-a)sirk4.

(1)求C；

(2)若△4SC的面積為￡i,c=S，求a+6.

2

27.已知函數(shù)./(x)=(e'T+辦-aex~2)(Inx-x+2)-x+ex-2.

(1)若a=0,求曲線/(x)在x=1處的切線方程；

(2)當(dāng)x>e*-2時(shí)，不等式/(x)40恒成立，求a的取值范圍.

28.如圖，四棱錐尸—45C。中，尸4,底面48CD,PZ=/C=2,8C=1，48=JL

⑴若40,尸8,證明：40〃平面「8C；

(2)若40，DC,且二面角Z-CP-。的正弦值為國(guó)，求AD.

3

29.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園、場(chǎng)

館，投入健身運(yùn)動(dòng)中,成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線，某興趣小組為了解本市不同年齡段的

市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

周平均鍛煉時(shí)間少于6小周平均鍛煉時(shí)間不少于6小合

時(shí)時(shí)計(jì)

60歲以下80120200

60歲以上(含

60240300

60)

合計(jì)140360500

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)

聯(lián)？

⑵現(xiàn)從60歲以上(含60)的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于6小時(shí)用分層隨機(jī)抽

樣法抽取10人做進(jìn)一步訪談,再從這10人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷,記抽取3人中

周平均鍛煉時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：/=-—〃叫豆__^淇中"j+b+c+小

“(Q+/>)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.0250.010.0050.001

%5.0246.6357.87910.828

30.設(shè)雙曲線C:￡-4=1伍〉0力〉0)的離心率為6,且頂點(diǎn)到漸近線的距離為

手.已知直線/過點(diǎn)直線/與雙曲線C的左，右兩支的交點(diǎn)分別為N,

直線/與雙曲線。的漸近線的交點(diǎn)為P,Q,其中點(diǎn)0在了軸的右側(cè).設(shè)△<WP,

△OPQ,△OQN的面積分別是E,$2，

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求_邑_的取值范圍.

E+S3

參考答案

1.答案：B

解析：因?yàn)?=l±i=l±i=(l+i>i=丑=_1+i,

1?3-1,-1,21

所以==_l_i，則同=^(-1)2+(-1)2=V2-

故選：B.

2.答案：C

解析：命題匕加eR,w0”為假命題,則命題的否定“V切eR,A^B=0”是真命題,

因?yàn)锳=1x|0<x<a^,B=+3<x<m2+4j-,

所以加2+3〉°,又因?yàn)榍?+323,所以°<3,

故選:C.

3.答案：C

解析：根據(jù)題意由C=/"1可得[C=30”X15,

C=40Hx8

兩式相除可得3°“xl5=i，即可得已丫=A,

40"x815

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得ig'：=愴乙,即可得〃ig[=ig[；

Bn_Ig8-lgl5_31g2-(lg3+l-lg2)_41g2-lg3-l4x0.3-0.477-1_..

Ig3-lg4Ig3-21g2Ig3-21g20.477-2x0.3

故選：C.

4.答案：B

解析：a-b=-4n(l-x)(l+x)-2(x+3)=-4nx=-lna=(2,-2),

B=(0,2)nZ+2B=(2,2),

_廠r,(<7+2b)-b0+4>/2

\a+2b||Z)|2V2x22

v{a+2b,b)e[0,7t],---+=：.

故選：B.

5.答案：C

解析：x=0時(shí),y=2sin^=百，

3

令2x+烏=2,得》=上，止匕時(shí)^=2sinf2x—+—=2,

3212L123J

令2x+1=兀，得x=],此時(shí)y=2sinf2xyH-y'j=0,

令2x+烏=電，得x=包,此時(shí)y=2sinf2x—+—>]=-2,

326I63j

令2x+1=2兀，得x=年,止匕時(shí)y=2sin^2x-^+y^=0,

x=2兀時(shí),y=2sin（2x2兀+=2sin/=6，

函數(shù)k2sin”Y）的周期T若=兀，

結(jié)合周期，利用五點(diǎn)法作出圖象，

故選：C.

6.答案：B

解析：因?yàn)閷?duì)任意xeR滿足/(x)=/(2r),所以/(x)的對(duì)稱軸為直線x=19

又函數(shù)/(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)在(-oo,l)上單調(diào)遞增，

所以/(2x-3)〉/(x)o(2x-3-1?<(》-1外解得工噌,3),

故選：B.

7.答案：B

解析：如圖，。，O]分別為正方形4BC。，4SGA的中心，

則平面48a),過點(diǎn)4作4EL0N,垂足為E,

則A1E1平面ABCD,從而AAXAO=60°,

在直角梯形。。/幺中，4。1=收，AO=242,ZA^AO=60°,

則A[E=tan60°(Z。—Z01)=&，

即正四棱臺(tái)的高為遙,

V6(4+16+V4X16)28屈

所以這個(gè)棱臺(tái)的體積是」-----------L=—.

33

8.答案：A

x

'ex<]

解析：畫出函數(shù)/(x)='的圖象如下所示:

\2x,x>1

因?yàn)槿我獾膞eR都有/(x)2a(x+2)恒成立，即〉=/(%)的圖象恒在y=a(x+2)的上

方(或重合)，

又y=a(x+2)表示過定點(diǎn)(-2,0)的直線，

設(shè)函數(shù)>=e，(x<l)在(/?。)(/<1)處的切線恰過點(diǎn)(-2,0),

由V=e，，貝叮1/=1。，所以切線方程為歹-1。=爐。G-小),

又0-1。=e』(-2-x0),解得X0=-1，此時(shí)切線為y=e-x+2eT,切線的斜率為J,

所以當(dāng)xS1時(shí)/(x)>e-1(x+2),

當(dāng)x〉l時(shí)2x--i(x+2)=(2-e-')x-2e-1>2-3e^>0,

由圖可知OWaWj,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為「0」.

e_

故選：A.

9.答案：C

解析：因6=<>=

Ix-2J11J

故NA8={-1,0,l,2}A(x|-l<x<2}={-1,0,1},

故選：C.

10.答案：C

解析：A項(xiàng)，H=X-(X-3)=3,定義域?yàn)镽,定義域內(nèi)每個(gè)值按對(duì)應(yīng)法則不是唯一實(shí)

數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，y=+g，定義域?yàn)?一2"0,無解，所以不是函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

l-x>0

C項(xiàng)，歹=卜T，x<°,定義域?yàn)镽,對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)值都有唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，

x+l,x>0

所以是函數(shù)，C項(xiàng)正確；

D項(xiàng)，y=奴，當(dāng)x=l時(shí)，y有兩個(gè)值0,1與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，D

為實(shí)數(shù)

項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

11.答案：A

解析：設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>0),

則/(x)=—-—1=旦<0在(0,+oo)上恒成立，

l+x1+X

所以八%)在(0,+8)單調(diào)遞減，

所以/(x)</(0)=0,

即ln(l+x)<x,

所以6=lnW=in[l+』]<，=a,

9I”9

S^jZ>-c=lnlO-ln9-lglbln9+ln9=lnlO-lgll-ln9

b210_lnll+ln9

InlOInlOInlO

1如100：

>-----ta210-=0,

talO

所以6>c,

J—?c<b<a?

故選:A.

12.答案：A

解析：因?yàn)榻莖的終邊過點(diǎn)尸（3,-3后卜

a+V3

所以sin1~cosa=——

3

故選：A.

13.答案：D

解析：平面a、B的法向量分別為a=（行,sin9,cos@,

b=冬cos&sin。,

:.a'b-V2x^-+sin^cos^+cos^sin6^=2sin^cos6^+l=sin28+l=0,

2

jrjr

20=2kn--,左eZ,解得。=hr—a，keZ,

24

故選：D.

14.答案：A

解析：

y=f(x)=A/X2+4x+8+A/X2-4x+8=J(x+2)~+(0+2)~+^(x-2)2+(0-2)*，

則/(x)可看作x軸上一點(diǎn)尸(x,0)到點(diǎn)A(-2,-2)與點(diǎn)8(2,2)的距離之和，即

\P^\+\PB\,

則可知當(dāng)Z,P,8三點(diǎn)共線時(shí)，|尸山+7碼取得最小值，

即(M+HL=\AB\=V(-2-2)2+(-2-2)2=4萬

故選：A.

15.答案：B

解析：設(shè)以月(c,0)為圓心，。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線樂-即=0交于4B

兩點(diǎn)，

則寫到漸近線樂-即=0的距離d=—=5,所以|/倒=27^萬，

yja2+b211

因?yàn)?|2同>閨閭，所以3X2VZ^〉2C，可得9/一9/〉°2=。2+/,

即4a2>5/=5。2一5/，可得5c2<9"，

所以U<2,所以e<￡i,

a155

又e>l，所以雙曲線的離心率的取值范圍是卜竽］

故選：B

16.答案：D

解析：由分層抽樣的概念可得樣本容量為辿~=200,則該地區(qū)的初中生有

40%

200x35%=3500人,所以該地區(qū)的初中生近視人數(shù)為3500X30%=1050.

2%

故選:D

17.答案：ABD

解析：因?yàn)閽佄锞€C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為E且直線y=G(x—l)經(jīng)過點(diǎn)尸,

所以尸(1,0),則勺1,解得：2=2,故A正確；

所以拋物線方程為：/=以,則4-1,0),

設(shè)過點(diǎn)Z作斜率為左直線/的方程為：y=kx+k,

聯(lián)立：卜2=〃，消去了可得：左2/+(2左2—4)》+r=0,

y=kx+k

顯然左70,A=(2k2—4)2—4左4=16—16>2>0,解得—1(左<0或0<左<1,故C錯(cuò)誤;

由韋達(dá)定理可得：石+/=-2左；4,N々=1,故B正確;

k~

因?yàn)閨無0|=石+1,歸N|=%+1，

以怛+「N|=X；+x；+2（而+/）+2=（X[+/）~+2（西+々）一2X1X?+2=—2

令/=二,則/e（4,+oo）,則313_2]=/?_2）=（/_1）2—1〉（4—1）2_1=8,

kk\kJ

所以+怛時(shí)的取值范圍是⑶+oo）,故D正確；

故選：ABD.

18.答案：BD

解析：/（x）=-/（6-x）^>f'[x}=/，（6-x）且/<x）關(guān)于x=3對(duì)稱,

由/'(x)+/(4-x)=2知”x)關(guān)于(2,1)對(duì)稱,故A錯(cuò),由這兩個(gè)對(duì)稱可得/'(x)周期

7=4,

Xg,（x）=-2/,（3-x）,綜上及"3）=-1有/⑴=-2/（2）=-2*1=一2,

g<2）=—2/⑴=-2[2-/-（3）]=-6,gf（3）=-2/（0）=-2/（4）=一2/12）=-2,

g，（4）=—2/（-1）=-2八-1+4）=2,

故g'（l）+g'（2）+g<3）+g'（4）=-8,｛g'（〃）｝的前2024項(xiàng)之和為-8x竽=—4048,前

2023項(xiàng)之和為-4048-2=-4050,故D對(duì)，

記〃（x）=/f（2x+4）-l,由T=4得/z（x）=,

貝UVxeR,—力（一x）=l—/'（4—2x）=1—[2—/'（2x）]=/z（x）,故B對(duì)，

不妨取/<x）=Zsin亡x1+l,由/⑶=1—N=—1得/=2,

故g，（x）=-2/，（3-x）=—2l+2sin-|-（3-x）=4cos[]x]_2,

g'（x）不關(guān)于x=l對(duì)稱，C錯(cuò)，

故選：BD.

19.答案：AD

解析：已知數(shù)列｛4｝滿足4=2也~bnbn+l=1,則62=1-：=；也=1一，=一1，

“=1-（=2=4

所以數(shù)列｛4｝是以3為一個(gè)周期的周期數(shù)列.

對(duì)于A項(xiàng)也025=，3=-l,A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，Q=b6n+[=4=2,B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)任意相鄰三項(xiàng)均在一個(gè)周期內(nèi)，則……2!（TTC項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，品25=等義[2+[1]=等,S2025=，xgx（-“亍=-1，所以

品25s2必=一等，D項(xiàng)正確.

故選：AD.

20.答案：ABD

解析：選項(xiàng)A：因?yàn)镋為CZ)中點(diǎn)，所以45=CE，

2

又因?yàn)?8〃CE，所以四邊形48CE為平行四邊形，所以8CV/ZE，

又因?yàn)?C.平面H4E，ZEu平面尸NE，所以BC7/平面尸4E1，故選項(xiàng)A正確;

選項(xiàng)B：連接3E，取4E■的中點(diǎn)。，連接PO，BO

因?yàn)镻/=PE，。為ZE的中點(diǎn)，所以尸O_LZE，

又易證為平行四邊形，所以BE=AD=4B，又。為NE的中點(diǎn)，所以

B0上AE，

又因?yàn)槭?八80=。，尸O,BOu平面尸08,所以平面尸08，

又因?yàn)镻5u平面P08，所以/E_LP8，故選項(xiàng)B正確；

R

於

選項(xiàng)C：若PC，平面尸/E，則尸CLPE，

在直角△尸EC中，必有EC>PE，與EC=PE矛盾,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：在選項(xiàng)B的圖形的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)尸作尸08，交80或8。延長(zhǎng)線于點(diǎn)

M，

由選項(xiàng)B的解析知，平面尸08，

又因?yàn)镻Mu平面P08，所以

又因?yàn)?E，8。都在平面48CE內(nèi)，且相交于點(diǎn)。，所以W_L平面48CE.

所以/尸8。為直線與平面48CE所成的角，顯然NP3Oe(0，m］，故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

21.答案：士

5

解析：因?yàn)橛?(-1,0,-2),CD=(1,1,1),所以

cos/ZB,CD)=夕"=—叵,所以直線AB與CD所成角的余弦值為

'/圍?m?V5xV35

V15

r

22.答案：-

3

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可得凡=%+%+…+%="(a；%)=10，

同理可得。=1也，

所以4_=上￡=鼠，由&=2"+3得屋=2x11+3=3

b6nb6TnTn〃+4Tn11+43

因此"=

b63

故答案為：-

3

23.答案：1/0.25

4

解析：記甲為馬龍，乙為樊振東，在比分為10：10后甲先發(fā)球的情況下,

甲以13:11贏下此局分兩種情況：

①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：P=2X1X2X1=1.

132329

②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，^=lxlx-xl=-,

2323218

乙以13:11贏下此局分兩種情況：

③后四球勝方依次為乙甲乙乙，概率為：P=lxlxlxi=—

3323236

④后四球勝方依次為甲乙乙乙，概率為，P=2X1X1X1=1

4323218

所以，所求事件概率為q+R+巴+勺=,+工+二-+工='.

123491836184

故答案為：1

4

24.答案：-匕0

2

解析：連接0C，則西=網(wǎng)=網(wǎng)=1,

由題可設(shè)=貝1J/3oc=1一。，

所以0.赤=（刀一雙）.（礪?雙）=方.礪—E次—礪.反+雙2

Ixlxcos-----Ixlxcos8—1x1xcos+1=——cos<9-cos-----6

2\3

二-----------cos。----sin8=——cos0--，

2222I3j

因?yàn)椤?Ce,所以cos（9-g）eg,l

3

^G4-C5=--cosf^+-K[-l,0

2I3jL2

故答案為：一_L,o

2

25.答案：0.3

解析：由隨機(jī)變量X?N（L"）,且尸（X<3）=0.8,可得尸（X>3）=1-0.8=0.2,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得P（-1<X<1）=

故答案為：03

26.答案：（1）C=-

3

（2）5

解析：（1）由正弦定理得,/一C2=仍一/,即02=仍,

由余弦定理得,cosC="+二一°2=四=:

2ab2ab2

又Ce(O,兀)，所以C=(

(2)因?yàn)椤鱊BC的面積為±8,所以LabsinC=』ab?立=吏，即M=6,

22222

由c=J7,則cosC=j^=Jd3=匕即/+°2=13，

2ab122

所以〃+/+2"=(a+b『=13+2。6=13+12=25,即。+6=5-

27.答案：(1)j=

(2)a<\-----

e-1

解析：(1)當(dāng)@=0時(shí),/(x)=ex-2-(lnx-x+2)-x+ex-2=ex-2-(lnx-x+3)-x,

加2

/,(x)=eA-2(hx-x+3)+e^2f--lj-l,

7

則/⑴==-1,

所以曲線/(x)在x=l處的切線方程為止?-1)=R-1),即〉=個(gè)-1%.

x

(2)不等式/(x)W0可整理為1-a+aIn^r-——^z-4-l<0

ex-2-

令P(x)=W，P'(x)=9?，

cc

所以當(dāng)xe(-co,l),y(x)>0,2(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+oo),p'(x)<0,2(x)單調(diào)

遞減，所以p(x)?Wl)=e,

又x〉ei,所以令仁會(huì)e(l,e],

e

則Q<--------

Intt—1

令力⑴二^——1

Inxx-1

1111x

-------1------=---------1------

x(lnx)2(x-1)2x(in%)?(x-1)2

1

ci12O1Inx—xH—

2lnx1l丫

令s(x)=(lnx)2--——(xe(l,e]),貝“(x)=-----1+—=---------&

XXXX

令=2lnx-x+—,(x￡,則d(X)=--l--^=2<0,(xe,

XXXX

所以夕(x)單調(diào)遞減，⑴=0,所以s'(x)<0,

s(x)單調(diào)遞減，s⑴<s⑴=0,所以(lnx『<G—^_(x￡(l,e]),

X

所以h'(x)=-一一+<0,

(Inx)(x-l)%(inx)(x-l)

所以〃(x)單調(diào)遞減，A(x)>/z(e)=l--彳，

所以aWl-

e-l

28.答案：(I)證明見解析

(2)AD=C

解析：⑴因?yàn)槭?±平面ABCD^ADu平面4BCD,所以P4_LAD,

又4D_LPB,PBC]P4=P,PB,P4u平面PAB，所以ND_L平面尸ZB,

而48u平面PAB，所以4D，4g.

因?yàn)?c2+4^2=/。2,所以BCLNB,

又AD,BCu平面ABCD，故ADUBC,

又ADU平面PBC,BCu平面PBC,所以ADU平面PBC-

(2)以。。為軸，過點(diǎn)D作平面ABCD垂直的線為z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz-.

B

令20=/,則2(/,0,0),尸&0,2),。(0,0,0),

DC=14-戶,C(0,"一/,0卜

AC=(-t,J4",o),2p=(o,O,2)

設(shè)平面NCP的法向量南=(XQI/J,所以］<^=一"+"3”乂=°

nx-AP=24=0

設(shè)再=-/，則%=￡,4=0,所以t,0卜

’——?—?

設(shè)平面CPQ的法向量為［=(9，％/2)，所以12笠一“亡：—°

%.DC=，4-/%=0

設(shè)Z2=%，則％2=-2,%=0,所以〃2=(-2,0/),

因?yàn)槎娼莦—CP—。的正弦值為巫，則余弦值為3,

33

2"-/

又二面角為銳角，所以三=辰晨成唱

2」4+/

解得”血，所以=

29.答案：（1）能認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)

（2）分布列見解析;期望為U

5

解析：（1）提出假設(shè)〃°：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無關(guān)聯(lián),

由2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得

_500x(80x240-120x60)2_500

x23.81>10.82