正交多項式和最佳平方逼近

總結2連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近1

連續(xù)區(qū)間上正交多項式2.4正交多項式和最佳平方逼近正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!

2.4正交多項式和最佳平方逼近

正交多項式是數(shù)值計算中的重要工具，這里只介紹正交多項式的基本概念、某些性質和構造方法。離散情形的正交多項式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項式用于生成最佳平方逼近多項式和下章的高斯型求積公式的構造。它們在數(shù)值分析的其他領域中也有不少應用。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!1連續(xù)區(qū)間上正交多項式連續(xù)區(qū)間上的正交多項式的概念與離散點集上的正交多項式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應的改變。定義2.10函數(shù)f(x)和g(x)在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為

（1）其中的(x)0為給定的權函數(shù)。按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項式組{k(x)}k=0,…n滿足條件(1),則稱它為在區(qū)間[a,b]上的帶權(x)的正交多項式序列。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!事實上，例2.17三角函數(shù)組上關于權函數(shù)1的正交組。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!下面給出幾種常用的正交多項式.

(1)勒讓德（Legendre）多項式.正交多項式記為，由三項遞推公式得(2.4.7)它們是在區(qū)間[-1,1]上的帶權(x)=1的正交多項式.它們的根都是在開區(qū)間(-1,1)上的單根,并且與原點對稱.正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!它們的根都在開區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點對稱。前幾個類Chebyshev多項式如下:正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!它們的根都是在區(qū)間（0，+∞）上的單根。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!它們的根都在區(qū)間（-∞，+∞）上的單根，并且與原點對稱前幾個Hermite多項式如下：正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例如函數(shù)組,其中線性無關。

定理2.9

在[a,b]上線性無關的充要條件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!函數(shù)逼近:用比較簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最小(不同的度量意義)2.函數(shù)逼近問題的提出下面討論在區(qū)間[a,b]上一般的最佳平方逼近問題。下面我們討論在區(qū)間[a,b]上函數(shù)的逼近問題。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!討論最佳平方逼近函數(shù)的存在性，唯一性及計算方法。(1)存在性，唯一性原問題轉化為求數(shù)分知識,它有穩(wěn)定解正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!這是關于{aj}(j=0,1,…n)的線性方程組，稱為法方程.簡記為Ga=d.其展開形式為(2.4.13)正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!事實上,非負誤差與基函數(shù)正交正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!證：法方程組的系數(shù)矩陣為正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!考慮特殊情形-----用多項式｛1,x,x2,…,xn,｝作n次最佳平方多項式p*(x)逼近步驟/方法(權函數(shù)為１時，［a,b］=[0,1])解法方程組Ga=d正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!說明:上式中矩陣G稱為Hilbert矩陣,是一個著名病態(tài)矩陣（見第4章）,即當某個元素有微小變化時,引起解的變化很大,且當n越大時，病態(tài)愈嚴重。求Ga=d比較準確的計算解就很困難.當n很大時它的精度便由舍入誤差影響而迅速惡化。補救的辦法就是取正交多項式作基。改進:用正交多項式作最佳平方逼近.正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!③平方誤差優(yōu)點：用正交多項式求最佳平方逼近多項式，解法方程組變得簡單了。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!在[-1，1]上3次最佳平方逼近多項式。例2.18解：法方程組為正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!法方程組為正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!本節(jié)介紹了最佳平方逼近的基本理論(即最佳平方逼近多項式的存在性、唯一性)及計算方法。用多項式作最佳平方逼近存在缺陷，補救的方法是取正交基。即正交多項式的最佳平方逼近?？偨Y：本課重點：

理解最佳平方逼近的理論推導并會求最佳平方逼近多項式。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!正交多項式的三項遞推公式:是首項系數(shù)為1的i次多項式，則滿足遞推公式:正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!

(2)類Chebyshev多項式.類Chebyshev多項式可由三項遞推公式給出.它們是在區(qū)間[-1,1]上的帶權的正交多項式.(2.4.8)正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!（3）拉蓋爾(Laguerre)多項式。Laguerre多項式可由三項遞推公式給出。它們是在區(qū)間[0,+∞)上帶權的正交多項式。前幾個Laguerre多項式如下:

正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!(4)Hermite多項式Hermite多項式可由三項遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-∞，+∞）上帶權的正交多項式。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!2連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上定義了內(nèi)積（2.4.6）就形成了一個內(nèi)積空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線性無關的基表示。類似地，對內(nèi)積空間任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用線性無關的基表示。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!特別地，它的Gramer行列式Gn是對角矩陣。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!則稱是f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)。對于f(x)∈C[a,b],若存在，使得設是C[a,b]中的線性無關函數(shù),記定義2.12(最佳平方逼近函數(shù))(2.4.11)正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!取得極小值。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!由(2.4.12)知(2.4.14)誤差與基函數(shù)正交正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!(3)平方誤差總結上述討論則有定理2.10-2.12.正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!H幾何解釋：正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!定理2.12（最佳平方逼近）(2)函數(shù)類(2.4.15)正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!法方程Ga=d中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣。正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!正交多項式和最佳平方逼近共41頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!(2)用正交多項式作最佳平方逼近方法（步驟）：