數(shù)學(xué)-互動(dòng)課堂復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。復(fù)數(shù)的加法與減法(1)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算法則（a+bi）±（c+di）=(a±c）+（b±d）i,即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減)就是實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減)。（2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+（z2+z3).2.復(fù)數(shù)的乘法(1）復(fù)數(shù)乘法的法則復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，但必須在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù),即(a+bi)(c+di）=ac+bci+adi+bdi2=(ac—bd）+（bc+ad)i.（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算定理復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律。即對任何z1、z2、z3有z1·z2=z2·z1，（z1·z2)·z3=z1·（z2·z3），z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立,即對z1、z2、z∈C及m、n∈N＊，有zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn,(z1·z2)n=z1n·z2n。(3）i冪的周期性i4n+1=i,i4n+2=-1，i4n+3=-i,i4n=1,n∈N＊.3.復(fù)數(shù)的除法規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)（x+yi）=a+bi(c+di≠0）的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或.因?yàn)?x+yi)(c+di)=（cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx—dy)+(dx+cy)i=a+bi。由此可得解這個(gè)方程組，得于是有(a+bi）÷（c+di）=(c+di≠0)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí),通常先把（a+bi)÷(c+di）寫成的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c-di，化簡后，即可得出上面的結(jié)果.4.共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù),虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做互為共軛虛數(shù)。復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果z=a+bi，那么=a—bi.當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0時(shí),有z=，也就是說，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身;當(dāng)b≠0時(shí)，a+bi與a-bi叫做共軛虛數(shù).案例計(jì)算下列各題（1);(2）；（3).探究：(1)原式=［(1+i)2］3+［（1-i)2]3·-=（2i）3·i+（—2i）3·（—i）—=8+8—16—16i=-16i.(2）=—i·（)5·[(1+i）2］2·(1+i）+(—1+i)——i=i。（3）(i)12+=（—i）12·—=+（)=?！疽?guī)律總結(jié)】復(fù)數(shù)的除法與實(shí)數(shù)的除法有所不同,實(shí)數(shù)的除法可以直接地約簡，得出結(jié)論，但復(fù)數(shù)的除法因?yàn)榉帜笧閺?fù)數(shù)一般不能直接約分化簡,復(fù)數(shù)的除法一般作法是，由于兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，可以先把它們的商寫成分式形式，然后分子分母都乘上分母的共軛復(fù)數(shù)（注意是分母的共軛復(fù)數(shù)），并把結(jié)果化簡即可。對于復(fù)數(shù)的運(yùn)算，除了應(yīng)用四則運(yùn)算法則之外，對于一些簡單的算式要知道其結(jié)果,這樣起點(diǎn)就高,計(jì)算過程就可以簡化,達(dá)到快速簡捷出錯(cuò)少的效果.比如下列結(jié)果，要記?。孩?-i；②=i；③=—i;④a+bi=i（b-ai）；⑤=1；⑥=-1.活學(xué)活用1.計(jì)算:（6+6i)+（3-i）-（2—4i）。解析:（6+6i)+(3—i)-（2—4i)=（6+3-2）+（6—1+4)i=7+9i.2。計(jì)算：（7+5i)—3i+（-5+6i）解析：（7+5i）—3i+（—5+6i）=（7+0—5)+（5—3+6）i=2+9i。3。已知x、y∈R,且，求x、y的值.解析：可寫成，5x（1—i)+2y（1-2i)=5-15i，(5x+2y）-(5x+4y）i=5-15i?！?.計(jì)算：解析:====i-i=0。5。計(jì)算i+2i2+3i3+…+50i50解析：設(shè)s=i+2i2+3i3+…+50i50則is=i2+2i3+3i4+…+50i51∴s—is=i+i2+i3+…+i50—50i51即（1-i)s=+50i=-1+51i∴s==—26+25i。6.已知f（z）=2z+—3i，f（+i)=6—3i，求f（—z）。分析：需先求出z，再代入函數(shù)中求值.解：∵f(z）=2z+—3i，∴f（+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z—i—3i=2+z-2i.又知f(+i）=6—3i，∴2+z—2i=6—3i。設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，則=a-bi，∴2（a-bi)+（a+bi)=6-i，即3a—bi=6-i，由復(fù)數(shù)相等定義解得a=2，b=1。z=2+i，故f(-z)=f（—2—i)=2（-2-i）+（—2+i)—3i=—6-4i.7。計(jì)算.解析：原式==[（1+i)2］3·（1+i)·=［（1+i)2］3·（1+i)·(—i）7·=(—8i）(1+i)·i·=4（1+i）（）=()+(）i.8.計(jì)算：(1)；（2)。分析：這是兩道含冪運(yùn)算的問題，運(yùn)算比較復(fù)雜,應(yīng)盡量使用代數(shù)式運(yùn)算技巧。解法一:原式==i6+=—1+i。解法二(技巧解法):原式=(=-1+i(2）解法一：原式=［（+i)2]2=(+i—)2=（+i)2=——i=i.解法二（技巧解法):原式=[—(）]4=（-ω2）4(令ω=）=ω8=ω2（∵ω6=1）=(∴ω2=)=.9.f(n)=in+i-n(n∈N＊)的值域中的元素個(gè)數(shù)是()A.2B。3C。4解析：根據(jù)i的周期性，當(dāng)n=4k（k∈N*）時(shí)f(n)=i4k+i-4k=1+1