數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂學(xué)案：兩角和與差的余弦

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.兩角差的余弦公式把cos(α-β）看成是兩個(gè)向量夾角的余弦,可以考慮利用兩個(gè)向量的數(shù)量積來(lái)研究,如下圖,設(shè)α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P1（cosα,sinα),P2(cosβ，sinβ）,由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù),所以我們只考慮0≤α-β＜π的情況。設(shè)向量a==（cosα，sinα）,b==(cosβ，sinβ）,則a·b=｜a|｜b|·cos(α-β)=cos（α-β)。另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是，對(duì)于任意的α、β，都有上述式子成立。2。兩角和的余弦公式比較cos（α—β）與cos（α+β），并且注意到α+β與α-β之間的關(guān)系：α+β=α—(—β),則由兩角差的公式得:cos（α+β）=cos［α—(-β）］=cosαcos（-β)+sinαsin(—β）=cosα·cosβ—sinαsinβ，即cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ。3。對(duì)兩角和與差的公式的理解和記憶（1）上述公式中的α、β都是任意角。(2)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)之積，連接符號(hào)與左邊的連接符號(hào)相反.（3)要注意和（差）角的相對(duì)性，掌握角的變化技巧。如2α=（α+β）+（α—β），α=(α+β)—β,α=（α-β)+β?；顚W(xué)巧用【例1】利用公式Cα-β,Cα+β證明下列等式。（1）cos（π-α）=—cosx；(2)cos(—α）=—sinα。解析：(1）cos(π—α）=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.(2)cos（—α）=coscosα+sin·sinα=0·cosα—sinα=-sinα?！纠?】已知sinα=，cosβ=，α、β均為第二象限角，求cos(α-β）,cos（α+β）.解析:由sinα=，α為第二象限角,∴cosα=。又由cosβ=—，β為第二象限角，∴sinβ=.∴cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（—)×（)+×=.【例3】已知＜β＜α＜，cos(α—β）=,sin(α+β)=,求cos2α與cos2β。解析：∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜，π＜α+β＜,∴sin（α—β)=，cos（α+β）=，∴cos2β=cos［（α+β）-（α—β）]=cos(α+β)cos（α-β）+sin(α+β)sin（α-β)=—×+(）×=-.c