數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂學(xué)案：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。角α與α+k·2π(k∈Z）的三角函數(shù)的關(guān)系在直角坐標(biāo)系中，α與α+k·2π的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等,即cos（α+k·2π）=cosαsin（α+k·2π)=sinαtan（α+k·2π）=tanα(1）利用公式（1），我們可把絕對(duì)值大于2π的任一角的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值小于2π角的三角函數(shù)問題來研究。2。角α與—α的三角函數(shù)間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)單位圓與角α，角-α的終邊的交點(diǎn)分別為P和P′，容易看出點(diǎn)P和點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(cosα,sinα），則P′的坐標(biāo)是（cosα,—sinα),于是得到cos(—α）＝cosαsin（—α）=—sinαtan(—α)＝—tanα(2）利用公式（2），我們可用任意正角三角函數(shù)表示負(fù)角三角函數(shù)，從公式（2）還可看出,余弦函數(shù)是偶函數(shù),而正弦函數(shù)、正切函數(shù)都是奇函數(shù).3。角α與α+（2k+1)π（k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系設(shè)角α與α+π的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)P和P′，如下圖所示容易看出，α+π與α-π，α+3π，α—3π，…α+(2k+1)π（k∈Z）的終邊相同，則它們的三角函數(shù)值也相等，由點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以cos［α+（2k+1）π］=—cosαsin［α+（2k+1)π]=—sinαtan[α+(2k+1）π］=tanα（3）疑難疏引(1)由公式（1）和（3）可以看出，α與α加上π的偶數(shù)倍的所有三角函數(shù)值相等；α與α加上π的奇數(shù)倍的余弦、正弦值互為相反數(shù)；角α與α加上π的整數(shù)倍的正切、余切值相等,即sin（α+nπ）=cos(α+nπ)=tan(α+nπ)=tanα,n∈Z。（2)由誘導(dǎo)公式（2）（3），我們可以得到兩個(gè)互為補(bǔ)角三角函數(shù)的關(guān)系，α與π—α兩角互補(bǔ),則sin（π—α)＝sinα,cos(π-α）=-cosα，這就是說，兩個(gè)互為補(bǔ)角的正弦值相等，余弦值是互為相反數(shù)，例如sin=sin=，cos=—cos=,cos=-cos=.(3）因?yàn)槿我饨嵌伎苫癁棣?kπ的形式，并使|α｜＜，所以利用公式（1）（2）（3)，我們可把任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0至之間的角的三角函數(shù)求值問題。公式(1）（2)(3)都叫做誘導(dǎo)公式.利用誘導(dǎo)公式可求三角函數(shù)式的值或化簡(jiǎn)三角函數(shù)式。4。α與α+的三角函數(shù)間的關(guān)系如圖所示,設(shè)α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（cosα,sinα)，α+的終邊與單位圓相交于點(diǎn)N（cos（α+）,sin(α+))，又因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線y=x的軸對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（sinα,cosα）.點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為N(-sinα，cosα).點(diǎn)P經(jīng)過以上兩次軸對(duì)稱變換到達(dá)點(diǎn)N，等同于單位圓作了一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的大小為(如圖所示）：2（—α)+2α=。所以cos(α+）=—sinαsin(α+）=cosα(4）在公式（4)中,以-α替代α，可得另一組公式cos(-α+)=sinαsin(-α+)=cosα(4′)由三角函數(shù)之間的關(guān)系又可得tan（α+）=—cotα,cot（α+)=—tanα，tan（—α+)=cotα，cot（—α+)=tanα。規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)我們知道任意一個(gè)角都可以表示為k·+α(其中|α|＜）的形式。這樣由公式（4）就可把任意角的三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0—之間角的三角函數(shù)求值問題。5.關(guān)于五組誘導(dǎo)公式必須注意的幾個(gè)問題（1)公式中的角α可以是任意角；（2）這五組誘導(dǎo)公式可以敘述為：①α+k·2π,-α，α+(2k+1)π的三角函數(shù)值，等于a的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).為了便于記憶，也可簡(jiǎn)單地說成：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.②α+，-α+的三角函數(shù)值，等于α的余名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角是原函數(shù)值的符號(hào)，記憶口訣為：“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限"。③這兩套公式可以歸納為:k·+α(k∈Z）的三角函數(shù)值,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名函數(shù)值，然后在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，概括為：“奇變偶不變、符號(hào)看象限".這里的奇偶是指k的奇偶?；顚W(xué)巧用【例1】確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）cos；（2）sin（—760°)；(3）tan；（4）cos1962°。解析：(1）因?yàn)閏os=cos（+4π）=cos,而是第一象限角，所以cos＞0。（2)因?yàn)閟in(—760°）=sin（—40°-2×360°）=sin（—40°),而—40°是第四象限角。所以sin（-760°）＜0.（3）因?yàn)閠anπ=tan（+2π)=tan,而是第一象限角,所以tan＞0。（4）因?yàn)閏os1962°=cos（162°+5×360°）=cos162°，而162°是第二象限角，所以cos1962°＜0?！纠?】求下列各三角函數(shù)值:（1）sin（）;(2）cos();(3)tan（-405°).分析：可先利用公式（2)把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成正角的三角函數(shù),再利用公式(1）把絕對(duì)值大于2π（或360°)的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成絕對(duì)值小于2π（或360°）的角的三角函數(shù)去求值.解：（1）方法一：sin(）=—sin=-sin(+6π）=—sin=—.方法二：sin()=sin(—-6π)=sin(-)=-sin=-。（2）cos()=cos=cos（+6π）=cos=;cos（）=cos（——6π）=cos(—）=cos=.(3）tan（—405°)=-tan405°=-tan（45°+360°）=-tan45°=—1；tan（-405°)=tan（-45°-360°)=tan(-45°）=—tan45°=—1。【例3】求下列三角函數(shù)式的值:（1）sin495°·cos(—675°);（2)sin（—1200°）·tan（—）-cos585°·tan（）。解析:（1）sin495°·cos（-675°）=sin（135°+360°）·cos675°=sin135°·cos315°=sin（180°—45°)·cos（360°-45°）=sin45°·cos45°=×=。（2）sin（—1200°）·cot-cos585°·tan(）=—sin1200°·—cos585°·=—sin（120°+3×360°)·+cos（225°+360°)·=-sin120°·+cos225°·=-sin（180°—60°）·+sin（180°+45°）=-sin60°·=cos60°-sin45°=【例4】求sin（2nπ+)·cos（nπ+）的值（n∈Z)。解析：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式=sin·（—cos）=sin(π-)［-cos（π+）］=sin·cos=。(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=sin·cos=sin（π—）·cos(π+）=sin（—cos）=×（-）=.綜上知：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式=，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=.【例5】已知sin(π+α)=，求tan（α-)的值。解析：∵sin(π+α）=—sinα,又∵=，∴sinα=＞0，可知α是第一、二象限的角。若α終邊在第一象限，則cosα=，∴tan(α—）=若α終邊在第二象限，則cosα=-,∴tan（α-）=。綜上知,當(dāng)α為第一象限時(shí),tanα=—;當(dāng)α為第二象限時(shí),tanα=.【例6】已知sinα是方程5x2—7x-6=0的根，求［sin（α+）·sin(-α）·tan2（2π—α）·tan（π-a)］÷［cos（-α)·cos（+α)］的值。解析：5x2—7x—6=0的兩根為x=2或x=，∴sinα=,cosα=±=±?！鄑anα=±。原式==tanα=±.【例7】已知cos(-α）=,求cos(+α)-sin2（α-）的值。解析:∵cos(+α)=cos［π-（-α)］=—cos(-α)=—,sin2(α-）=sin［—（—α）]＝1—cos2（-α）=1-（）2=.∴sin(+α）-sin2(α-）=-—=。【例8】若f（sinx）=cos17x，求f()的值.解析:此類題目是誘導(dǎo)公式與函數(shù)之間的一種混合運(yùn)算，在運(yùn)算的過程中要理解函數(shù)表達(dá)式的意義，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式。f(）=f（sin）=cos=cos(2π+）=cos=cos（π-)=—cos=。【例9】若sin（180°+α)+cos（90°+α）=-a,則cos（270°-α)+2sin（36