數(shù)學-教材習題點撥：直接證明與間接證明

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥教材問題解答(思考）請對綜合法與分析法進行比較，說出它們各自的特點,回顧以往的數(shù)學學習，說說你對這兩種證明方法的新認識．答：綜合法證明是“由因導果”，分析法證明是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，應注意兩種方法在解題中的綜合應用．在綜合法中：①明確推證方向,選擇最佳途徑是綜合法的難點;②在順推中，聯(lián)系最終結果進行猜想,防止迷路和剪除無用的中間過程,這是一個猜證結合點．在分析法中:①步步追溯的條件都是結論成立的充分條件（當然，充要條件更好)，因此，分析法的表述中都是倒箭頭“”或雙箭頭“”,即為果因,絕不可果?因；②在追溯中要時時關系已知條件P進行猜想，選擇最佳途徑,這也是一個猜證結合點．當所證結論與所給條件之間的關系不明確時，常采用分析法證明,但更多的時候是綜合法與分析法結合使用，先看條件能夠提供什么，再看結論成立需要什么，從兩頭向中間靠攏,逐步接通邏輯思路．練習11．證明：因為cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ）＝cos2θ，命題得證．2．證明：要證eq\r(6）＋eq\r（7）＞2eq\r（2)＋eq\r（5）,只需證（eq\r(6）＋eq\r(7)）2＞（2eq\r（2)＋eq\r（5））2,即證6＋7＋2eq\r(42)＞8＋5＋4eq\r（10)，即證2eq\r（42）＞4eq\r（10),只需證(2eq\r（42)）2＞（4eq\r（10))2，即證168＞160,這是顯然成立的，所以原命題成立．3．證明:因為(a2－b2）2＝（a－b）2(a＋b）2＝（2sinα）2（2tanα）2＝16sin2αtan2α，又因為16ab＝16（tanα＋sinα)（tanα－sinα）＝16eq\f(sinα1＋cosα,cosα）·eq\f（sinα1－cosα，cosα）＝16eq\f(sin2α1－cos2α,cos2α）＝16eq\f（sin2αsin2α,cos2α)＝16sin2αtan2α，從而(a2－b2）2＝16ab.所以命題成立．點撥:進一步熟悉運用綜合法、分析法證明數(shù)學命題的思考過程與特點．練習21．證明：假設∠B不是銳角，則∠B≥90°。因此∠C＋∠B≥90°＋90°＝180°.這與三角形的內角和等于180°矛盾．所以，假設不成立．從而，∠B一定是銳角．2．證明：假設eq\r(2)、eq\r（3)、eq\r（5)成等差數(shù)列，則2eq\r（3）＝eq\r(2）＋eq\r（5)。所以(2eq\r（3）)2＝(eq\r(2)＋eq\r（5））2，化簡得5＝2eq\r(10)，從而52＝(2eq\r(10）)2,即25＝40.這是不可能的．所以假設不成立．從而，eq\r（2)、eq\r（3)、eq\r（5)不可能成等差數(shù)列．習題2.2A組1．證明:由于a≠0,因此方程至少有一個根x＝eq\f(b,a)。假設方程不止一個根,則至少有兩個根，不妨設x1，x2是它的兩個不同的根,則ax1＝b,ax2＝b.兩式相減,得a(x1－x2）＝0.因為x1≠x2,所以x1－x2≠0。從而a＝0，這與已知條件矛盾,故假設不成立．所以，當a≠0時，方程ax＝b有且只有一個根．2．證明：因為（1＋tanA)(1＋tanB）＝2，展開得1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB＝2,即tanA＋tanB＝1－tanA·tanB．①因為A＋B≠eq\f（π，2）,所以A≠eq\f（π，2)－B.因為A、B都是銳角,所以A、eq\f(π，2）－B都是銳角．從而tanA≠tan(eq\f（π,2)－B)，所以tanA·tanB≠1，即1－tanA·tanB≠0。①式變形，得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB）＝1,即tan(A＋B）＝1。因為A、B都是銳角,所以0°＜A＋B＜180°,從而A＋B＝eq\f（π,4)。點撥:本題也可以把綜合法與分析法綜合使用完成證明．3．證明:因為eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，所以1＋2tanα＝0，從而2sinα＋cosα＝0。另一方面,要證3sin2α＝－4cos2α，只要證6sinαcosα＝－4（cos2α－sin2α)，即證2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝0，即證（2sinα＋cosα）(sinα－2cosα)＝0.由2sinα＋cosα＝0,可得（2sinα＋cosα）（sinα－2cosα)＝0，于是命題得證．點撥：本題可以單獨使用綜合法或分析法進行證明,但把綜合法和分析法結合使用進行證明的思路更清晰．4．證明：因為a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列,所以eq\f（2,b）＝eq\f(1，a）＋eq\f(1，c）.假設B＜eq\f（π,2）不成立，即B≥eq\f(π,2)，則B是△ABC的最大內角．所以b＞a，b＞c（在三角形中，大角對大邊)．從而eq\f（1,a）＋eq\f（1,c)＞eq\f（1，b）＋eq\f（1，b）＝eq\f(2，b).這與eq\f(2，b）＝eq\f(1,a)＋eq\f(1，c)矛盾．所以假設不成立．因此B＜eq\f(π,2).B組1．證明：要證s＜2a,由于s2＝2ab所以只需要證s＜eq\f（s2,b)，即證b＜s。因為s＝eq\f（1，2）(a＋b＋c），所以只需證2b＜a＋b＋c，即證b＜a＋c。由于a,b,c為三角形的三條邊,所以上式成立．于是原命題成立．2．證明：由已知條件，得b2＝ac.①2x＝a＋b,2y＝b＋c。②要證eq\f(a，x)＋eq\f(c，y)＝2，只需證ay＋cx＝2xy，只需證2ay＋2cx＝4xy.由①②,得2ay＋2cx＝a（b＋c）＋c（a＋b)＝ab＋2ac＋bc4xy＝(a＋b)（b＋c）＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc所以,2ay＋2cx＝4xy，于是命題得證．3．證明：∵tan(α＋β）＝2tanα,∴eq\f（sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f（2sinα,cosα）.∴2sinαcos(α＋β）＝cosαsin（α＋β)．又3sinβ＝3sin[（α＋β)－α]＝3sin(α＋β)cosα－3cos（α＋β)sinα＝3