專題04相交線平行線（難點(diǎn)）

專題04相交線平行線（難點(diǎn)）一、單選題1．兩條平行直線被第三條直線所截時(shí)，產(chǎn)生的八個(gè)角中，角平分線互相平行的兩個(gè)角是（

）.A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯(cuò)角 D．同位角或內(nèi)錯(cuò)角【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，不難看出，同位角和內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行．【解析】如圖所示：，可得角平分線互相平行的是同位角和內(nèi)錯(cuò)角．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，結(jié)合了角平分線的性質(zhì)，畫出圖形，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．2．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，，，，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)結(jié)合根據(jù)平行線的性質(zhì)，計(jì)算得，，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求得，在中可得到【解析】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度及直角三角板的特點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵3．如圖，已知直線，被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線，，上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．【解析】解：（1）如圖1，由，可得，∵，∴．（2）如圖2，過(guò)作平行線，則由，可得，，∴．當(dāng)平分，平分時(shí)，∴，即，又∵，∴；（3）如圖3，由，可得，同理可得：，∴．（4）如圖4，過(guò)E作，由，∴，∴，，∴，∴．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在的下方時(shí)，同理可得，或．綜上所述，的度數(shù)可能為，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及分類討論．4．平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有〔

〕A．1個(gè)或3個(gè) B．2個(gè)或3個(gè)C．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) D．0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3【答案】D【分析】根據(jù)三直線互相平行，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；兩直線平行與第三條指向相交，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；三條直線相交于一點(diǎn)；三條直線兩兩相交，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】解：①三直線互相平行，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；②兩直線平行與第三條指向相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；③三條直線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；④三條直線兩兩相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，注意要分類討論，有4種可能，不要漏掉．5．一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，還在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次拐彎的角度應(yīng)是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意可得兩次拐彎的方向不相同，但角度相等．【解析】解：如圖，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由兩次拐彎后，還在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)得：，由此可知，兩次拐彎的方向不相同，但角度相等，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B符合，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．6．如圖，已知AB∥CD，，．則與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作NE∥AB，MF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，建立與的等式即可得到答案．【解析】如下圖所示，作NE∥AB,MF∥AB,∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MF∥EN得，，,;∴,∵，，∴，∴，∴,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．7．如圖，，，探索圖中角α，β，γ之間的關(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)D作，由，即可得，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)D作，∵，∴，∴，∵，，由①②得：．即故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)H作，過(guò)點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作，過(guò)點(diǎn)F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，則與的數(shù)量關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先設(shè)角，利用平行線的性質(zhì)表示出待求角，再利用整體思想即可求解．【解析】設(shè)則∵∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意整體思想的運(yùn)用．10．如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC，則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度為定值且定值為16°，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；延長(zhǎng)EF交AD于P，延長(zhǎng)CH交AD于Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正確；根據(jù)題意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；延長(zhǎng)EF交AD于P，延長(zhǎng)CH交AD于Q，∵EF∥CH，∴∠EPQ=∠CQP，∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，∵AD∥BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正確；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°∠FGA∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，則∠2=____________．【答案】72°##72度【分析】先根據(jù)平行線的判定定理得到ab，然后再利用平行線的性質(zhì)即可解答．【解析】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°，∴∠3+∠4＝180°，∴ab，∴∠2＝∠1＝72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，若，則______．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，依此即可求解．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．13．如圖所示，l1∥l2∥l3，l1、l2間的距離為3,

l2、l3間的距離為6,等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)均在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長(zhǎng)為________【答案】【分析】過(guò)A，C作AE，CF垂直于l2，點(diǎn)E，F(xiàn)是垂足，將Rt△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長(zhǎng)DA交l2于點(diǎn)G，由此可得結(jié)論．【解析】如圖，過(guò)A，C作AE，CF垂直于l2，點(diǎn)E，F(xiàn)是垂足，將Rt△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長(zhǎng)DA交l2于點(diǎn)G．由作圖可知：∠DBG=60°，AD=CF=6．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=3，AG=6，DG=12．∴BD=在Rt△ABD中，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．如圖，，一副三角板（其中，，）按如圖所示的位置擺放．若，則的度數(shù)為__________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．15．如圖，直線相交于點(diǎn)O．已知把分成兩個(gè)角，且，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若時(shí)，的度數(shù)是___________．【答案】90°或210°【分析】OF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由兩個(gè)位置可以使∠AOF=120°，分別作出對(duì)應(yīng)的圖像，根據(jù)∠AOC的度數(shù)以及∠AOE與∠COE間的比例求出兩角的值，進(jìn)而可求出角α的度數(shù)．【解析】解：①當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴α=∠AOF∠AOE=120°30°=90°，②如圖所示，當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴α=360°（∠AOF＋∠AOE）=360°150°=210°，故答案為：90°或210°．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角，根據(jù)比例求出角的度數(shù)，以及角的和與差，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，已知，，，則________度．【答案】120【分析】過(guò)E作一條直線，根據(jù)題意，得；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，推導(dǎo)得，再根據(jù)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【解析】解：過(guò)E作一條直線，∵，，∴，∵，，∴，∴又∵，∴．故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而完成求解．17．沈陽(yáng)市政府?dāng)M定在中央公園建設(shè)大型燈光秀，在某平行湖道兩岸所在直線、安裝探照燈，若燈P發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈Q發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，在兩燈同時(shí)開啟后的35秒內(nèi)，開啟______秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直．【答案】或或【分析】設(shè)開啟秒后，兩燈的光束互相垂直，分，時(shí)，燈光返回，第一次與垂直和時(shí)，燈光返回，第二次與垂直，三種情況討論求解即可．【解析】解：燈P照射一次，需要秒，燈Q照射一次，需要秒，設(shè)開啟秒后，兩燈的光束互相垂直；①當(dāng)時(shí)，兩燈光垂直于點(diǎn)，過(guò)作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，燈光返回，第一次與垂直，過(guò)作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；③當(dāng)時(shí)，燈光返回，第二次與垂直，過(guò)作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；綜上：開啟秒或秒或秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．18．如圖，已知直線，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)為，之間一點(diǎn)，且點(diǎn)在的右側(cè)，．若與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)……以此類推，若，則的值是______．【答案】4【分析】作EF//AB則AB//CD//EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME)=64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°，可歸納規(guī)律∠MEnN=(∠BMEn1+∠DMEn1)=，依此建立方程=8°求解即可解答．【解析】解：如圖：作EF//AB∵AB//CD∴AB//CD//EF∴∠FEM=∠BME,∠FEN=∠DNE,∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM+∠FEN=∠MEN=128°同理：ME1N=(∠BME+∠DME)=64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°…∠MEnN=(∠BMEn1+∠DMEn1)=由題意得：=8°，解得n=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、探索圖形規(guī)律、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，正確的識(shí)別圖形、歸納圖形規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖所示的正方形網(wǎng)格，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，、、都在格點(diǎn)上．(1)利用網(wǎng)格作圖：①過(guò)點(diǎn)畫直線的平行線；②過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線，垂足為點(diǎn)；(2)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)________到直線________的距離；(3)比較大?。篲_______（填>、<或=），理由：________．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)(3)，垂線段最短【分析】（1）①在A的右側(cè)取格點(diǎn)D，滿足，再畫直線即可，②如圖，取格點(diǎn)，再畫直線交于即可．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義判斷即可．（3）根據(jù)垂線段最短，解決問(wèn)題即可．【解析】（1）解：①如圖，直線即為所求作．

②如圖，直線即為所求作．（2）線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線的距離，（3）．理由：垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行線的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20．如圖，已知，，，試判定與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：．理由：∵（已知）∴∵（已知）∴______（同位角相等，兩直線平行）∴______（______）∵（已知）∴______（等量代換）∴DEBF（______）∴（______）∴（垂直的定義）(1)請(qǐng)補(bǔ)全上面說(shuō)理過(guò)程；(2)若，求出的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)直接寫出和的關(guān)系______．【答案】(1)；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求出答案；（2）利用平行線的性質(zhì)即可求解；（3）在平行線的性質(zhì)基礎(chǔ)上，利用角的和差關(guān)系即可求解．（1）解：根據(jù)題意，利用平行線的性質(zhì)和判斷得，∵（已知）∴∵（已知）∴FGBC（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵（已知）∴（等量代換）∴DEBF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）∴（垂直的定義）故答案是：；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．（2）解：有（1）的結(jié)論得，∵DEBF，，，∴，∵∴，∴．故答案是：．（3）解：∵DEBF，，∴，，又∵，∴，∴，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)和判定來(lái)確定線與角的關(guān)系，理解和掌握平行線的判定方法，以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）如圖（1），當(dāng)、、滿足條件______時(shí)，有ABCD，并說(shuō)明理由．（2）如圖（2），當(dāng)ABCD時(shí)，，，的關(guān)系是______．【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由見(jiàn)解析；（2）∠1+∠2∠AEC=180°．【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFAB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFAB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【解析】解：（1）當(dāng)∠A、∠C、∠AEC滿足條件∠AEC=∠A+∠C時(shí)，有ABCD．理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，如圖：∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，∴∠2=∠C，∴EFCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∵EFAB，∴ABCD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）；故答案為：∠AEC=∠A+∠C；（2）當(dāng)ABCD時(shí)，∠1，∠2，∠AEC的關(guān)系是∠1+∠2∠AEC=180°，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，如圖：∴∠3+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵ABCD（已知），∴EFCD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行），∴∠FEC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠AEC+∠3=∠2，∴∠3=∠2∠AEC，∴∠2∠AEC+∠1=180°（等量代換），即∠1+∠2∠AEC=180°．故答案為：∠1+∠2∠AEC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．能夠正確的作輔助線并熟記平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)在如圖①的位置時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．解：．（根據(jù)如圖填射線的畫法）因?yàn)椋裕ǎ裕▋芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（請(qǐng)繼續(xù)完成接下去的說(shuō)理過(guò)程）(2)當(dāng)點(diǎn)在如圖②的位置時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）的條件下，如圖③，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與的平分線分別交射線于點(diǎn)、，回答下列問(wèn)題（直接寫出答案）：圖中與相等的角是，度．【答案】(1)過(guò)點(diǎn)作；；；；如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行；見(jiàn)解析(2)(3)，45【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差、等量代換即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，再根據(jù)、角的和差即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)即可得出答案(1)解：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，，（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．．，．．，．．(2)解：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，．，．．，．．．故答案為：．(3)解：如圖③，過(guò)點(diǎn)作，，，．，，．．，由（2）已得：，；平分，．平分，．，故答案為：，45．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．23．如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝；猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由見(jiàn)解析；（3）∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F【分析】（1）過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可解決問(wèn)題；（2）如圖2，過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）分兩種情況討論，根據(jù)（1）中的解題方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出規(guī)律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的結(jié)論2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可計(jì)算出∠EPF+2n+1?∠EQnF的結(jié)果，從而得出結(jié)論．【解析】解：（1）過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°；猜想：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF＝2∠EQF．理由如下：∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，即∠EPF＝2∠EQF；故答案為：55°；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：如圖2，過(guò)P作PM//AB，過(guò)Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)，根據(jù)（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，…則∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．綜上，∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．24．已知：如圖（1）直線AB、CD被直線MN所截，∠1＝∠2．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖（2），點(diǎn)E在AB，CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，則∠PEQ和∠PFQ之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)作PH∥EQ交CD于點(diǎn)H，連接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【分析】（1）首先證明∠1＝∠3，易證得AB//CD；（2）如圖2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH∥AB．理由平行線的性質(zhì)即可證明；（3）如圖3中，設(shè)∠QPF＝y(tǒng)，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，則∠EQF＝∠FQH＝5y，想辦法構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；【解析】（1）如圖1中，∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥CD．（2）結(jié)論：如圖2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．理由：作EH∥AB．∵AB∥CD，EH∥AB，∴EH∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，∴∠PEQ＝∠1+∠4，同法可證：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．（3）如圖3中，設(shè)∠QPF＝y(tǒng)，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，則∠EQF＝∠FQH＝5y，∵EQ∥PH，∴∠EQC＝∠PHQ＝x，∴x+10y＝180°，∵AB∥CD，∴∠BPH＝∠PHQ＝x，∵PF平分∠BPE，∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，∴∠FPH＝y(tǒng)+z﹣x，∵PQ平分∠EPH，∴Z＝y(tǒng)+y+z﹣x，∴x＝2y，∴12y＝180°，∴y＝15°，∴x＝30°，∴∠PHQ＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)．（2）中能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵；（3）中能熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖1所示，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：_________；（2）①若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，則_________，________；（用含t的式子表示）②在①的條件下，若，則________秒．（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作交于點(diǎn)D，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）60°；（2）①，；②30；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）①根據(jù)題意可得；②設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t=1?（30+t），可得t值；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t120°，∠BCD=120°∠BCD=t60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°，故答案為：60°；（2）①由題意可得：，，故答案為：，；②設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD，∴2t=1?（30+t），解得t=30；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180°2t，∴∠BAC=60°（180°2t）=2t120°，又∵∠ABC=120°t，∴∠BCA=180°∠ABC∠BAC=180°t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°∠BCA=120°（180°t）=t60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．26．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E、F點(diǎn)，．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，，請(qǐng)寫出與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長(zhǎng)AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究，與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當(dāng)點(diǎn)P在線段GF的延長(zhǎng)線上時(shí)，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【分析】（1）如圖1，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；（2）如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后結(jié)合已知條件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，則NP∥OG∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進(jìn)一步可得結(jié)論；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段GF的延長(zhǎng)線上時(shí)，同上面方法利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：（1）如圖1，作CP∥a，∵，∴CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°，故答案為136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°．理由如下：如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，而∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段GF的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及平行公理的推論等知識(shí)，屬于常考題型，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．已知：直線l分別交AB、CD與E、F兩點(diǎn)，且AB∥CD．（1）說(shuō)明：∠1=∠2；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在AB、CD之間，且在直線l左側(cè)，若∠EMN+∠FNM=260°，①求：∠AEM+∠CFN的度數(shù)；②如圖3，若EP平分∠AEM，F(xiàn)P平分∠CFN，求∠P的度數(shù)；（3）如圖4，∠2=80°，點(diǎn)G在射線EB上，點(diǎn)H在AB上方的直線l上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接寫出∠GQH的度數(shù)．

【答案】（1）理由見(jiàn)解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角的性質(zhì)即可得證；（2）①過(guò)拐點(diǎn)作AB的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)推理即可得到答案；②過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求得角的度數(shù)；（3）分情況討論，畫出圖形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)分別求出答案即可．【解析】（1），；（2）①分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線GH，IJ與AB平行，則，如圖：，，，；②過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，，∵EP平分∠AEM，F(xiàn)P平分∠CFN，∴，即；（3）分四種情況進(jìn)行討論：由已知條件可得，①如圖：②如圖：，；③如圖：，；④如圖：，；綜上所述，∠GQH的度數(shù)為38°、74°、86°、122°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及分類討論的思想．28．已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說(shuō)明理由．【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN，根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以得出：∠BPE=∠DBP=40°，，據(jù)此進(jìn)一步求解即可；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN，根據(jù)平角可得∠DBA=100°，再由角平分線和平行線的性質(zhì)得∠BPE＝130°，，據(jù)此進(jìn)一步求解即可；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出∠BPE=∠DBP=40°，然后根據(jù)題意得出，由此再利用平行線性質(zhì)得出∠CPE度數(shù)，據(jù)此進(jìn)一步求解即可.【解析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN．∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可證：，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°?80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴，∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝180°?∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴，∵M(jìn)N∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°?∠DCG＝130°，∴，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°?∠PCA＝