專題10一次函數(shù)

第10講一次函數(shù)（精講精練）結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能畫出一次函數(shù)的圖像。理解正比例函數(shù)。能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的關(guān)系式。會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的關(guān)系式。根據(jù)一次函數(shù)的圖像和關(guān)系式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況。體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。能用一次函數(shù)解決簡單實際問題。TOC\o"11"\h\u考點1：一次函數(shù)圖像與性質(zhì) 3考點2：一次函數(shù)解析式的確定 12考點3：一次函數(shù)圖像的平移 21考點4：一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系 26考點5：一次函數(shù)的應(yīng)用 36課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 54分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 55考點1：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)（1）概念：一般來說，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地，當(dāng)b＝0時，稱為正比例函數(shù)．（2）圖象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過點（0,b）和的直線.特別地，正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條恒經(jīng)過點（0,0）的直線.(3)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)1.求一次函數(shù)與x軸的交點，只需令y=0,解出x即可；2.求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；3.正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(0，0)．｛一次函數(shù)的定義★｝以下函數(shù)中是的一次函數(shù)的是①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】一般地，形如，、是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進行逐一分析即可．【解答】解：①是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；②是一次函數(shù)，故此選項符合題意；③不是一次函數(shù)，是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；④是一次函數(shù)，故此選項符合題意；⑤是一次函數(shù)，故此選項符合題意；⑥是一次函數(shù)，故此選項符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義條件：、為常數(shù)，，自變量次數(shù)為1．｛正比例函數(shù)的定義★｝若函數(shù)為常數(shù)）是正比例函數(shù)，則的值為．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出方程，通過解該方程求得值即可．【解答】解：函數(shù)為常數(shù)）是正比例函數(shù)，，且，解得，．故答案是：．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義．解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)的定義條件是：為常數(shù)且，自變量次數(shù)為1．｛一次函數(shù)的圖像★｝直線和在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是A．B．C． D．【分析】先看一條直線，得出和的符號，然后再判斷另外一條直線是否正確，這樣可得出答案．【解答】解：、直線中，，直線中，，、的取值相矛盾，故本選項不符合題意；、直線中，，直線中，，、的取值一致，故本選項符合題意；、直線中，，直線中，，、的取值相矛盾，故本選項不符合題意；、直線中，，直線中，，、的取值相矛盾，故本選項不符合題意．故選：．【點評】此題考查了一次函數(shù)圖象與和符號的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，在軸的正半軸上，直線與軸交于正半軸；當(dāng)時，在軸的負(fù)半軸，直線與軸交于負(fù)半軸．｛一次函數(shù)的圖像★｝已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是A． B．C． D．【分析】根據(jù)是一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限得出，的取值范圍解答即可．【解答】解：因為一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，可得：，，所以直線的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選：．【點評】此題考查一次函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)是一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限得出，的取值范圍．｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝若點，點，都在一次函數(shù)的圖象上，則A． B． C． D．【分析】由偶次方的非負(fù)性可得出，進而可得出，由，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出隨的增大而增大，進而可得出．【解答】解：，，．，隨的增大而增大，又點，點，都在一次函數(shù)的圖象上，．故選：．【點評】本題考查了偶次方的非負(fù)性以及一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“，隨的增大而增大；，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝下列關(guān)于一次函數(shù)的圖象的說法中，錯誤的是A．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B．函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為 C．當(dāng)時， D．的值隨著值的增大而減小【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：、，，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，說法正確；、時，，函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為，說法錯誤；、當(dāng)時，，說法正確；、，的值隨著值的增大而減小，說法正確；故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．｛一次函數(shù)的定義★｝已知函數(shù)為一次函數(shù)，則1或0．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：由一次函數(shù)的定義可得：或0，，或0，故答案為：1或0．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義條件是：、為常數(shù)，，自變量次數(shù)為1．是考查的重點．｛一次函數(shù)的圖像★｝若，，函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象是A．B．C． D．【分析】根據(jù)，，可以得到、的正負(fù)情況，從而可以得到函數(shù)與的圖象經(jīng)過哪幾個象限．【解答】解：，、異號，，，，函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的性質(zhì)，由、的正負(fù)情況，可以寫出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限．｛一次函數(shù)的圖像★｝若實數(shù)，滿足，且，則函數(shù)的圖象可能是A．B．C． D．【分析】根據(jù)題意可以得到和的正負(fù)，從而可以得到函數(shù)的圖象在哪幾個象限，從而可以解答本題．【解答】解：實數(shù)，滿足，且，，，函數(shù)的圖象在第一、三、四象限，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛一次函數(shù)的圖像★｝函數(shù)的圖象是A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得該函數(shù)的性質(zhì)，然后再作出選擇．【解答】解：函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。还蔬x：．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象．熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝用描點法畫一次函數(shù)圖象，在如表格中有一組數(shù)據(jù)錯誤，這組錯誤的數(shù)據(jù)是121211108A． B． C． D．【分析】在坐標(biāo)系描點，即可得到在同一直線上的三點，從而得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點，如圖，則點，，在同一直線上，點沒在這條直線上，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象，根據(jù)坐標(biāo)系中的點判斷即可．｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝下列有關(guān)一次函數(shù)的說法中，正確的是A．的值隨著值的增大而增大 B．函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為 C．當(dāng)時， D．函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：，，，隨的增大而減小，故選項不符合題意；當(dāng)時，，即函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為，故選項不符合題意；當(dāng)時，，故選項不符合題意；函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選項符合題意；故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝對于一次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是A．隨的增大而增大 B．函數(shù)圖象與軸所成的銳角是 C．函數(shù)圖象與軸交點坐標(biāo)是 D．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的求法即可判斷．【解答】解：、一次項系數(shù)大于0，則函數(shù)值隨自變量的增大而增大，故選項正確；、函數(shù)圖象與軸正方向成角，故選項正確；、當(dāng)時，，則函數(shù)圖象與軸交點坐標(biāo)是，故選項錯誤；、函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選項正確．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，在直線中，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。?020?濟南）若，則一次函數(shù)的圖象可能是A．B．C． D．【分析】由得出，，進而利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，，所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限，故選：．【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與、的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與、的符號有直接的關(guān)系．時，直線必經(jīng)過一、三象限；時，直線必經(jīng)過二、四象限．時，直線與軸正半軸相交；時，直線過原點；時，直線與軸負(fù)半軸相交．（2021?沈陽）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷該函數(shù)的圖象經(jīng)過哪幾個象限，不經(jīng)過哪個象限，本題得以解決．【解答】解：一次函數(shù)，，，該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．（2020?牡丹江）兩個一次函數(shù)和，它們在同一個直角坐標(biāo)系的圖象可能是A．B．C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以得到哪個選項中的圖象是符合題意的．【解答】解：當(dāng)，時，一次函數(shù)和的圖象都經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，當(dāng)，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)，時，一次函數(shù)和的圖象都經(jīng)過第二、三、四象限，由上可得，兩個一次函數(shù)和，它們在同一個直角坐標(biāo)系的圖象可能是中的圖象，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．考點2：一次函數(shù)解析式的確定（1）常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)；②代：將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程或方程組；③解：求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式．（2）常見類型：①已知兩點確定表達(dá)式；②已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定表達(dá)式；③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過點（0,1），則可設(shè)要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）的坐標(biāo)代入即可.｛確定一次函數(shù)解析式★｝一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，則與的值為A． B． C． D．【分析】由于一次函數(shù)經(jīng)過，，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式．【解答】解：把，代入一次函數(shù)，得，解得：．故選：．【點評】本題考查用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★★｝已知一次函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為A．3 B．2 C． D．2或【分析】結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，對分類討論，當(dāng)時，一次函數(shù)隨增大而增大，此時，且，；當(dāng)時，一次函數(shù)隨增大而減小，此時，且，；最后利用待定系數(shù)法求解即可．【解答】解：當(dāng)時，一次函數(shù)隨增大而增大，當(dāng)時，且當(dāng)時，，令，，解得，不符題意，令，，解得，不符題意，當(dāng)時，一次函數(shù)隨增大而減小，當(dāng)時，且當(dāng)時，，令，，解得，令，，解得，符合題意，故選：．【點評】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等，深度理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝已知與成正比例，且當(dāng)時，．（1）寫出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求的值；（3）若的取值范圍是，求的取值范圍．【分析】（1）設(shè)，把、的值代入求出的值，即可求得函數(shù)表達(dá)式；（2）把代入函數(shù)表達(dá)式，即可求得的值；（3）由題意得出關(guān)于的不等式組，求解即可得到的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)，把，代入得：，解得：，，與之間的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）把代入得：；（3）根據(jù)題意得：，解得：，的取值范圍為：．【點評】本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及一元一次不等式組的解法，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝如圖，直線是一次函數(shù)的圖象，且經(jīng)過點和點．（1）求直線的表達(dá)式；（2）求直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．【分析】（1）把點和點代入一次函數(shù)的解析式得到方程組求出方程組的解即可；（2）根據(jù)解析式求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．【解答】解：（1）把點和點代入，得，解得：，直線的表達(dá)式為；（2）在中，令，則，解得，，，，，，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點，則直線的解析式為．【分析】先求得、的坐標(biāo)，然后利用勾股定理得出的長，再利用圓的性質(zhì)得出的長，即可得出的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．【解答】解：在直線中，令，求得；令，求得，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點，，則點的坐標(biāo)為：，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為．故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用等，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝已知與成正比例，當(dāng)時，．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，求自變量的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）代入計算即可．【解答】解：（1）與成正比例，設(shè)，由題意得，，解得，，則；（2）當(dāng)時，則，解得．【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是解題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，并且交軸于點．（1）求該一次函數(shù)的解析式和點的坐標(biāo)；（2）求的面積．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求得．【解答】解：（1）將，代入得：，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在中，令得，，．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．｛確定一次函數(shù)解析式★｝如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，線段的中點為．將沿直線折疊，使點與點重合，直線與軸交于點．（1）求此一次函數(shù)的解析式；（2）求點的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得點，點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）如圖，連接，設(shè)，則，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用表示出的長，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：（1）設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，由線段的中點為，得，，解得，．即，，一次函數(shù)的解析式為．（2）如圖，連接，設(shè)，則，，，，解得，即點的坐標(biāo)為，．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，正確的求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（2021?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，點，．以為一邊在第一象限作正方形，則對角線所在直線的解析式為A． B． C． D．【分析】過點作軸于，如圖，證明得到，，則，然后利用待定系數(shù)法求直線的解析式．【解答】解：過點作軸于，如圖，點，．，，四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為．故選：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)，需要兩組，的值．利用全等三角形的性質(zhì)求出點坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．（2021?樂山）如圖，已知直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點，那么過原點且將的面積平分的直線的解析式為A． B． C． D．【分析】根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征求出，，則的中點為，所以經(jīng)過的中點，直線把平分，然后利用待定系數(shù)法求的解析式；【解答】解：如圖，當(dāng)，，解得，則；當(dāng)，，則，的中點坐標(biāo)為，直線把面積平分直線過的中點，設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，的解析式為，故選：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，明確直線過的中點是解題的關(guān)鍵．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一個頂點在原點處，且，點的坐標(biāo)是，則直線的表達(dá)式是．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得的長，根據(jù)三角函數(shù)，可得與，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案．【解答】解：如圖，由菱形的一個頂點在原點處，點的坐標(biāo)是，得．又，．，．，，，．設(shè)的解析式為，將，點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，直線的表達(dá)式是，故答案為：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用銳角三角函數(shù)得出點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了菱形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．考點3：一次函數(shù)圖像的平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”①一次函數(shù)圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.｛一次函數(shù)的平移★｝將直線向右平移1個單位，再向上平移1個單位后，所得直線的表達(dá)式為A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律求解即可．【解答】解：將直線向右平移1個單位，再向上平移1個單位后，所得直線的解析式為，即．故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換，在平面直角坐標(biāo)系中，平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”．｛一次函數(shù)的平移★｝在平面直角坐標(biāo)系中，將直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的直線的表達(dá)式為．【分析】求得直線與坐標(biāo)軸的交點，進一步求得旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：由直線可知，直線與軸的交點為，與軸的交點為，交點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到、，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為，代入點和得，解得，旋轉(zhuǎn)后得到的直線的表達(dá)式為，故答案為：．【點評】本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的平移★｝已知直線與直線關(guān)于軸對稱，則3，．【分析】根據(jù)若兩條直線關(guān)于軸對稱，則與軸的交點關(guān)于軸對稱，這兩條直線交于軸上同一點，即值相同可以直接寫出答案．【解答】解：直線關(guān)于軸對稱的解析式為．直線與直線關(guān)于軸對稱，，．故答案為：3，7．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)得幾何變換，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合來分析此類型的題，根據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn)和值之間的關(guān)系．｛一次函數(shù)的平移★｝將直線先向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到的直線解析式是．【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可解決問題．【解答】解：直線先向右平移3個單位，，再向下平移2個單位得到，即．故答案為．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移，熟記平移規(guī)律是解決問題的捷徑．｛一次函數(shù)的平移★｝直線沿軸向右平移2個單位，再沿軸向下平移3個單位所得直線解析式為【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，直線沿軸向右平移2個單位所得直線的解析式為由“上加下減”的原則可知，直線沿軸向下平移3個單位，所得直線的函數(shù)關(guān)系式為，即；故答案為：．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的平移★｝將直線向上平移2個單位，再向左平移1個單位長度后，所得直線的解析式是．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出函數(shù)解析式即可．【解答】解：將直線向上平移2個單位，再向左平移1個單位長度后，所得直線的解析式是，即，故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”直線平移的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型（2021?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向上平移3個單位，平移后的直線經(jīng)過點，則的值為A． B．1 C． D．5【分析】先根據(jù)平移規(guī)律求出直線向上平移3個單位的直線解析式，再把點代入，即可求出的值．【解答】解：將直線向上平移3個單位，得到直線，把點代入，得．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確求出平移后的直線解析式是解題的關(guān)鍵．（2021?桂林）如圖，與圖中直線關(guān)于軸對稱的直線的函數(shù)表達(dá)式是．【分析】關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)特點是：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【解答】解：關(guān)于軸對稱的點橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，直線關(guān)于軸對稱的直線的函數(shù)表達(dá)式是，即．故答案為．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵．（2020?廣安）一次函數(shù)的圖象過點，將函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，所得函數(shù)的解析式為．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得，然后根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則“上加下減”，就可以求出平移以后函數(shù)的解析式．【解答】解：一次函數(shù)的圖象過點，，一次函數(shù)為，將函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，所得函數(shù)的解析式為，即．故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，利用函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵，注意求直線平移后的解析式時要注意平移時的值不變．考點4：一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系（1）一次函數(shù)與方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).（2）一次函數(shù)與方程組：二元一次方程組的解兩個一次函數(shù)和圖象的交點坐標(biāo).（3）一次函數(shù)與不等式（1）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集（2）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＜0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集｛一次函數(shù)與方程★｝已知函數(shù)的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)于的方程的解是153A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得當(dāng)，，即時，，進而利用函數(shù)解析式求出時的值即可．【解答】解：當(dāng)，，當(dāng)時，自變量，關(guān)于的方程的解是，故選：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是正確連接一次函數(shù)解析式和一元一次方程的關(guān)系．｛一次函數(shù)與方程★｝如圖，直線與相交于點，則關(guān)于，的方程組的解是A． B． C． D．【分析】先把代入求出，根據(jù)函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解可得到答案．【解答】解：把代入得，直線與相交于點，關(guān)于，的方程組的解是；故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組：函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．｛一次函數(shù)與不等式★｝已知一次函數(shù)為常數(shù)，且和．當(dāng)時，，則的取值范圍是A．且 B． C． D．且【分析】解不等式，根據(jù)題意得出且且，解此不等式即可．【解答】解：一次函數(shù)為常數(shù)，且和，當(dāng)時，，，，且且，當(dāng)時，時，，所以不等式組的解集為且；當(dāng)時，也成立，故的取值范圍是且，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出時，且解答．｛一次函數(shù)與不等式★★｝一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，中，正確的個數(shù)是A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)和的圖象可知：，，所以當(dāng)時，相應(yīng)的的值，圖象均高于的圖象．【解答】解：的函數(shù)值隨的增大而減小，．故①結(jié)論正確；的圖象與軸交于負(fù)半軸，．故②結(jié)論正確；當(dāng)時，相應(yīng)的的值，圖象均高于的圖象，，故③結(jié)論錯誤．故選：．【點評】本題考查了兩條直線相交問題，難點在于根據(jù)函數(shù)圖象的走勢和與軸的交點來判斷各個函數(shù)，的值．｛一次函數(shù)與方程★｝一次函數(shù)與的部分自變量和對應(yīng)函數(shù)值如表：0121234501252則關(guān)于的不等式的解集是A． B． C． D．【分析】根據(jù)統(tǒng)計表確定兩個函數(shù)的增減性以及函數(shù)的交點，然后根據(jù)增減性判斷．【解答】解：根據(jù)表可得中隨的增大而增大；中隨的增大而減?。覂蓚€函數(shù)的交點坐標(biāo)是．則當(dāng)時，．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定增減性以及交點坐標(biāo)是關(guān)鍵．｛一次函數(shù)與方程★｝直線與相交于點，則關(guān)于，的二元一次方程組的解為．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以得到兩個函數(shù)交點坐標(biāo)，從而可以得到兩個函數(shù)聯(lián)立的二元一次方程組的解．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖可知，函數(shù)與的圖象交于點的坐標(biāo)是，把，代入，可得：，解得：，故關(guān)于，的二元一次方程組的解為，故答案為：．【點評】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．｛一次函數(shù)與不等式★｝如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式組的解集為．【分析】先將點代入，求出的值，再找出直線落在的下方且都在軸下方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【解答】解：一次函數(shù)的圖象過點，，解得，，又與軸的交點是，關(guān)于的不等式組的解集為．故答案為．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，準(zhǔn)確確定出的值，是解答本題的關(guān)鍵．（2021?賀州）直線過點，，則關(guān)于的方程的解為A． B． C． D．【分析】所求方程的解，即為函數(shù)圖象與軸交點橫坐標(biāo)，確定出解即可．【解答】解：方程的解，即為函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)，直線過，方程的解是，故選：．【點評】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為，為常數(shù)，的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標(biāo)的值．（2021?福建）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，則不等式的解集是A． B． C． D．【分析】先把代入得，則化為，然后解關(guān)于的不等式即可．【解答】解：把代入得，解，則化為，而，所以，解得．故選：．方法二：一次函數(shù)的圖象向右平移1個單位得，一次函數(shù)的圖象過點，一次函數(shù)的圖象過點，由圖象可知，當(dāng)時，，不等式的解集是，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，把點代入解析式求得與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2020?益陽）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A．B．C．隨的增大而減小 D．當(dāng)時，【分析】直接利用一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點得出答案．【解答】解：如圖所示：、圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則，故此選項錯誤；、圖象與軸交于點，故，正確；、，隨的增大而增大，故此選項錯誤；、當(dāng)時，，故此選項錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．考點5：一次函數(shù)的應(yīng)用1.一般步驟：（1）設(shè)出實際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式；（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（4）確定自變量的取值范圍；（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；（6）做答.2.常見題型（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題.｛一次函數(shù)的應(yīng)用★｝東東和爸爸一起出去運動，兩人同時從家出發(fā)，沿相同路線前行，途中爸爸有事返回，東東繼續(xù)前行，5分鐘后也原路返回，兩人恰好同時到家．東東和爸爸在整個運動過程中離家的路程（米，（米與運動時間（分之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論中正確的是①兩人前行過程中的速度為200米分；②的值是15，的值是3000；③東東開始返回時與爸爸相距1500米；④運動18分鐘或30分鐘時，兩人相距900米．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個小題中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：由圖可得，兩人前行過程中的速度為（米分），故①正確；的值是，的值是，故②正確；爸爸返回時的速度為：（米分），則東東開始返回時與爸爸相距：（米，故③正確；運動18分鐘時兩人相距：（米，東東返回時的速度為：（米分），則運動30分鐘時，兩人相距：米，故④正確，結(jié)論中正確的是①②③④．故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發(fā)4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離（米與甲出發(fā)的時間（分之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為60米分；②乙走完全程用了36分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達(dá)終點時，甲離終點還有300米．其中正確的結(jié)論有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得：甲步行速度（米分）；故①結(jié)論正確；設(shè)乙的速度為：米分，由題意可得：，解得，乙的速度為80米分；乙走完全程的時間（分，故②結(jié)論錯誤；由圖可得，乙追上甲的時間為：（分；故③結(jié)論錯誤；乙到達(dá)終點時，甲離終點距離是：（米，故④結(jié)論錯誤；故正確的結(jié)論有①共1個．故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝甲、乙兩人分別從筆直道路上的、兩地出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回地，乙繼續(xù)向地前行，約定先到地者停止運動就地休息．若甲、乙兩人相距的路程（米與甲行走的時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米分鐘，乙的速度是80米分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時，兩人在地相遇；③乙到達(dá)地時，甲與地相距450米，其中正確的說法有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)圖象可知、兩地相距3720米；利用速度路程時間可求出甲、乙的速度，由二者相遇的時間、兩地之間的路程二者速度和，可求出二者相遇的時間，再由、兩地之間的距離甲的速度二者相遇的時間可求出、兩地之間的距離，由、兩地之間的距離結(jié)合甲、乙的速度，可求出乙到達(dá)地時甲與地相距的路程．【解答】解：由圖象可知，、兩地相距3720米，甲的速度為（米分鐘），乙的速度為（米分鐘），故①說法正確；甲、乙相遇的時間為（分鐘），故②說法正確；、兩地之間的距離為（米，乙到達(dá)地時，甲與地相距的路程為（米．故③說法正確．即正確的說法有3個．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)量關(guān)系，求出甲、乙的速度及、兩地之間的距離是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝星期六下午，小張和小王同時從學(xué)校沿相同的路線去書店買書，小王出發(fā)4分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶錢包，立即調(diào)頭按原速原路回學(xué)校拿錢包，小王拿到錢包后，以比原速提高的速度按原路趕去書店，結(jié)果還是比小張晚4分鐘到書店（小王拿錢包的時間忽略不計）．在整個過程中，小張保持勻速運動，小王提速前后也分別保持勻速運動，如圖所示是小張與小王之間的距離（米與小王出發(fā)的時間（分鐘）之間的函數(shù)圖象，則學(xué)校到書店的距離為840米．【分析】結(jié)合題意根據(jù)最后一段圖象可求得根據(jù)小王后來的速度，進而可求得小王原來的速度，再根據(jù)第一段圖象可求得小張的速度，最后根據(jù)兩人行完全程的時間相差4分鐘可得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：由題意可知：最后一段圖象是小張到達(dá)書店后等待小王前往書店的圖象，則小王后來的速度為：（米分鐘），小王原來的速度為：（米分鐘），根據(jù)第一段圖象可知：（米分鐘），小張的速度為：（米分鐘），設(shè)學(xué)校到書店的距離為米，由題意得：，解得：，答：學(xué)校到書店的距離為840米，故答案為：840．【點評】本題考查了函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，行程問題的基本關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，有一定的難度，求出兩人的速度是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛．圖中折線表示快、慢兩車之間的距離與它們的行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系．以下結(jié)論：①快車途中停留了；②快車速度比慢車速度多；③圖中；④快車先到達(dá)目的地．其中正確的是②③．（將正確答案的序號填在橫線上）【分析】根據(jù)題意可知兩車出發(fā)2小時后相遇，據(jù)此可知他們的速度和為，相遇后慢車停留了，快車停留了，此時兩車距離為，據(jù)此可得慢車的速度為，進而得出快車的速度為，根據(jù)“路程和速度和時間”即可求出的值，從而判斷出誰先到達(dá)目的地．【解答】解：根據(jù)題意可知，兩車的速度和為：，慢車的速度為：，則快車的速度為，所以快車速度比慢車速度多；故②結(jié)論正確；，故相遇后慢車停留了，快車停留了，此時兩車距離為，故①結(jié)論錯誤；，所以圖中，故③結(jié)論正確；快車到達(dá)終點的時間為小時，慢車到達(dá)終點的時間為小時，因為，所以慢車先到達(dá)目的地，故④結(jié)論錯誤．所以正確的是②③．故答案為：②③．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，行程問題中數(shù)量關(guān)系的運用，函數(shù)圖象的意義的運用，解答時讀懂函數(shù)圖象，從圖象中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝某商店購進甲，乙兩種商品，甲的進貨單價比乙的進貨單價高10元，已知20個甲商品的進貨總價與30個乙商品的進貨總價相同．（1）求甲、乙商品的進貨單價；（2）若甲、乙兩種商品共進貨100件，甲商品按進價提高后的價格銷售，乙商品按進價提高后的價格銷售，若甲、乙兩種商品全部售完，設(shè)甲商品進貨件，利潤為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在條件（2）下，要求兩種商品全部售完后的銷售總額不低于2950元，并且不再考慮其他因素，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)甲的進貨單價是元，則乙的進貨單價是元，根據(jù)20個甲商品的進貨總價與30個乙商品的進貨總價相同，可得，即可得到答案；（2）由已知銷售一件甲商品利潤為3（元，銷售一件乙商品利潤為6（元，即可得；（3）根據(jù)兩種商品全部售完后的銷售總額不低于2950元，可得，解得，根據(jù)，即得時，最大是450（元．【解答】解：（1）設(shè)甲的進貨單價是元，則乙的進貨單價是元，根據(jù)題意可得：，解得，，答：甲的進貨單價是30元，則乙的進貨單價是20元；（2）甲商品按進價提高后的價格銷售，乙商品按進價提高后的價格銷售，銷售一件甲商品利潤為（元，銷售一件乙商品利潤為（元，；答：關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（3）由（2）可得，甲商品單價為（元，乙商品單價為（元，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于2950元，，解得，，而，隨的增大而減小，時，最大是（元，答：甲商品進貨50件時，利潤最大，最大利潤是450元．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，根據(jù)各量的關(guān)系正確列出不等式．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝甲、乙兩車從地出發(fā)，沿同一路線駛向地，甲車先出發(fā)勻速駛向地，后，乙車出發(fā)，勻速行駛一段時間后，在途中的貨站裝貨耗時半小時．由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了，結(jié)果與甲車同時到達(dá)地．甲乙兩車距地的路程與乙車行駛時間之間的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法：①；②甲的速度是；③乙剛開始的速度是；④乙出發(fā)第一次追上甲用時．其中正確的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：由圖象可得，，故①正確；甲的速度是，故②正確；設(shè)乙剛開始的速度是，則后來的速度為，，解得，故③錯誤；設(shè)乙出發(fā)第一次追上甲用時，，解得，，故④正確；故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，從函數(shù)圖象中獲取解答問題的信息是解答本題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝春暖花開，萬物復(fù)蘇，同住美好佳苑小區(qū)的黃老師和蔣老師兩家人相約自駕沿同一高速公路前往翠屏山公園踏青賞花．因為需要準(zhǔn)備燒烤工具與食材，蔣老師比黃老師晚半小時出發(fā)，勻速行駛一段時間后，遇到其他車輛交通事故導(dǎo)致的堵點，原地停車等待了12分鐘；而出發(fā)較早的黃老師一路暢通，勻速行駛抵達(dá)終點．為了盡快趕上黃老師，蔣老師在堵點疏通后，立刻加速以100千米小時勻速度向翠屏山公園趕去（兩車上下高速時間與啟動加速時間均忽略不計），在兩車行駛的過程中，兩車之間的距離（千米）與黃老師行駛時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示，則蔣老師從家到翠屏山公園一共用了小時．【分析】設(shè)黃老師，蔣老師出發(fā)時的速度分別為、千米小時，由圖象可知，蔣老師比黃老師晚本小時出發(fā)，當(dāng)蔣老師出發(fā)時，黃老師與蔣老師相距35千米，則黃老師的速度為千米時，從圖象信息可得出蔣老師的速度，根據(jù)“時間路程速度”即可求解．【解答】解：設(shè)黃老師，蔣老師出發(fā)時的速度分別為、千米時，由圖象可知，蔣老師比黃老師晚本小時出發(fā)，當(dāng)蔣老師出發(fā)時，黃老師與蔣老師相距35千米，故（千米時），由題意可知，當(dāng)時，蔣老師開始以100千米時的速度追趕黃老師，此時將老師行駛時間為：（小時），則，解得，當(dāng)蔣老師追上黃老師時，，解得，由圖象可知，當(dāng)時，蔣老師到達(dá)翠屏山公園，，解得，故當(dāng)時，蔣老師到達(dá)翠屏山公園，因為蔣老師在時出發(fā)，所以蔣老師從家出發(fā)到達(dá)翠屏山公園一共用了：．故答案為：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了路程、速度、時間三者之間的關(guān)系，準(zhǔn)確識圖并獲取信息是解題的關(guān)鍵．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝甲、乙兩車從地出發(fā)，勻速駛向地．甲車以的速度行駛后乙車才沿相同路線行駛．乙車先到達(dá)地并停留后，再以原速按原路返回，直至與甲車相遇．在此過程中，兩車之間的距離與乙車行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則160．點的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計算出的值，并求出點的坐標(biāo)，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，乙車的速度為：，，點的縱坐標(biāo)為：，橫坐標(biāo)為7，即點的坐標(biāo)為，故答案為：160，．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝小明的爸爸和小明早晨同時從家出發(fā)，以各自的速度勻速步行上班和上學(xué)，爸爸前往位于家正東方的公司，小明前往位于家正西方的學(xué)校，爸爸到達(dá)公司后發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)作業(yè)在自己的公文包里，于是立即跑步去小明，終于在途中追上了小明把作業(yè)給了他，然后再以先前的速度步行再回公司（途中給作業(yè)的時間忽略不計）．結(jié)果爸爸回到公司的時間比小明到達(dá)學(xué)校的時間多用了8分鐘．如圖是兩人之間的距離（米與他們從家出發(fā)的時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系圖，則小明家與學(xué)校相距1800米．【分析】小明的爸爸回到公司的時間比小明到達(dá)學(xué)校的時間多用了8分鐘，由段可知8分鐘小明的爸爸正好從家步行到公司，可以推出段兩人之間的距離正好是家到學(xué)校的距離，求出設(shè)段兩人之間的距離即可解決問題．【解答】解：由圖象可知，設(shè)段兩人之間的距離為米，則有，解得米，爸爸回到公司的時間比小明到達(dá)學(xué)校的時間多用了8分鐘，由段可知8分鐘小明的爸爸正好從家步行到公司，段兩人之間的距離正好是家到學(xué)校的距離，小明家與學(xué)校相距1800米，故答案為1800．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．｛一次函數(shù)的應(yīng)用★★｝某商店銷售10臺型和20臺型電腦的利潤為4000元，銷售20臺型和10臺型電腦的利潤為3500元．（1）求每臺型電腦和型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中型電腦的進貨量不少于型電腦的3倍且不超過型電腦的4倍，設(shè)購進型電腦臺，這100臺電腦的銷售總利潤為元．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進型、型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？【分析】（1）設(shè)每臺型電腦銷售利潤為元，每臺型電腦的銷售利潤為元；然后根據(jù)銷售10臺型和20臺型電腦的利潤為4000元，銷售20臺型和10臺型電腦的利潤為3500元列出方程組，然后求解即可；（2）①根據(jù)總利潤等于兩種電腦的利潤之和列式整理即可得解；②根據(jù)型電腦的進貨量不少于型電腦的3倍且不超過型電腦的4倍列不等式求出的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出利潤的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)每臺型電腦銷售利潤為元，每臺型電腦的銷售利潤為元；根據(jù)題意得，解得：，答：每臺型電腦銷售利潤為100元，每臺型電腦的銷售利潤為150元；（2）①根據(jù)題意得，，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②據(jù)題意得，，解得：，，隨的增大而減小，為正整數(shù)，當(dāng)時，取最大值，則，該商店購進型電腦20臺，型電腦80臺，才能使銷售總利潤最大．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題目信息，準(zhǔn)確找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵，利用一次函數(shù)的增減性求最值是常用的方法，需熟練掌握．（2021?赤峰）甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步，先到終點的人原地休息．已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離（米與乙出發(fā)的時間（秒之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是①乙的速度為5米秒；②離開起點后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點12米；③甲、乙兩人之間的距離超過32米的時間范圍是；④乙到達(dá)終點時，甲距離終點還有68米．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通過函數(shù)圖象可得，甲出發(fā)3秒走的路程為12米，乙到達(dá)終點所用的時間為80秒，根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系可以求出甲、乙的速度，利用數(shù)形結(jié)合思想及一元一次方程即可解答．【解答】解：由函數(shù)圖象，得：甲的速度為（米秒），乙的速度為（米秒），故①正確；設(shè)乙離開起點秒后，甲、乙兩人第一次相遇，根據(jù)題意得：，解得：，離開起點后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點為：（米，故②錯誤；當(dāng)甲、乙兩人之間的距離超過32米時，，可得，故③正確；乙到達(dá)終點時，所用時間為80秒，甲先出發(fā)3秒，此時甲行走的時間為83秒，甲走的路程為：（米，乙到達(dá)終點時，甲、乙兩人相距：（米，故④正確；結(jié)論正確的個數(shù)為3．故選：．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．（2021?德州）小亮從學(xué)校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離（米與時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象提供的信息，給出以下結(jié)論：①他在前12分鐘的平均速度是70米分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為①④．【分析】由圖象可以直接得出前12分鐘小亮的平均速度，從而得出①正確；由圖象可知從12分到19分小亮又返回學(xué)校，可以判斷②錯誤；分別求出小亮第15分和第24分離家距離可以判斷③錯誤；求出小亮33分離家距離，可以判斷④正確．【解答】解：由圖象知，前12分中的平均速度為：（米分），故①正確；由圖象知，小亮第19分中又返回學(xué)校，故②錯誤；小亮在返回學(xué)校時的速度為：（米分），第15分離家距離：，從21分到41分小亮的速度為：（米分），第24分離家距離：（米，，故③錯誤；小亮在33分離家距離：（米，故④正確，故答案為：①④．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用已知信息和圖象所給的數(shù)據(jù)分析題意，依次解答．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．（2022?鄂州模擬）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖象可知，關(guān)于的不等式的解集是A． B． C． D．【分析】以兩函數(shù)圖象交點為分界，直線在直線的下方時，．【解答】解：根據(jù)圖象可得：不等式的解集為：，故選：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是能從圖象中得到正確信息．2．（2022?安徽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象可能是A． B． C． D．【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【解答】解：與，時，兩函數(shù)的值都是，兩直線的交點的橫坐標(biāo)為1，若，則一次函數(shù)與都是增函數(shù)，且都交軸的正半軸，圖象都經(jīng)過第一、二、三象限；若，則一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，經(jīng)過第一、三、四象限，且兩直線的交點的橫坐標(biāo)為1；故選：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題．一次函數(shù)的圖象有四種情況：①當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；②當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；③當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；④當(dāng)，時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．3．（2022?樂昌市一模）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，則不等式的解集是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖象過點，且，即可確定不等式的解集．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式的解集是：，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與一元一次不等式的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．4．（2022?佛山二模）若一次函數(shù)的圖象過點、，則不等式的解集是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出一次函數(shù)過點，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【解答】解：一次函數(shù)的圖象過點、，，一次函數(shù)向右平移一個單位過，隨的增大而增大，不等式的解集是，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)求得一次函數(shù)的圖象過點是解題的關(guān)鍵．5．（2022?于洪區(qū)二模）如圖，若，且，則一次函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．【分析】根據(jù)、的符號確定直線的變化趨勢和與軸的交點的位置即可．【解答】解：，且，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解系數(shù)與圖象位置的關(guān)系，難度不大．6．（2022?蘭州模擬）已知關(guān)于，的方程組的解是，則直線與的交點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】將代入，求出交點坐標(biāo)，即可確定象限．【解答】解：將代入，得，交點坐標(biāo)為，交點在第二象限．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟練掌握二元一次方程組的解即是兩一次函數(shù)的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?重慶模擬）一輛貨車從甲地到乙地，一輛轎車從乙地到甲地，兩車沿同一條筆直的公路分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛．兩車離乙地的距離（單位：和兩車行駛時間（單位：之間的關(guān)系如圖所示．下列說法錯誤的是A．兩車出發(fā)時相遇 B．甲、乙兩地之間的距離是 C．貨車的速度是 D．時，兩車之間的距離是【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接判斷、是否正確，再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出貨車的速度，從而可以判斷，再計算出轎車的速度，從而可以計算出時，兩車之間的距離，從而可以判斷．【解答】解：由圖象可得，兩車出發(fā)時相遇，故選項正確，不符合題意；甲、乙兩地之間的距離是，故選項正確，不符合題意；貨車的速度是，故選項正確，不符合題意；轎車的速度為：，則時，兩車之間的距離是，故選項錯誤，符合題意；故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022?開州區(qū)模擬），兩地相距，甲、乙兩人沿同一條路從地到地．甲、乙兩人離開地的距離（單位：與時間（單位：間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是A．乙比甲提前出發(fā) B．甲行駛的速度為 C．時，甲、乙兩人相距 D．或時，乙比甲多行駛【分析】由圖象可以直接判斷正確；根據(jù)圖象可以求出甲車速度，可以判斷正確；求出乙車速度再求乙車走的路程和甲車走的路程即可判斷；分兩種情況求出甲、乙走的路程即可判斷．【解答】解：由圖象可得，乙車比甲車早出發(fā)1小時，故正確；甲的速度是，故正確；乙的速度是，甲車行走的路程為，乙車行走的路程為，后甲、乙相距，故錯誤；乙車走了，甲車還在地沒出發(fā)，此時乙比甲多行駛，乙走了，此時甲行走的路程為，乙車比甲車多走了，故正確．故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，每當(dāng)增加1個單位時，增加3個單位，則此時函數(shù)圖象向上平移2個單位長度的表達(dá)式是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意得出一次函數(shù)的圖象也經(jīng)過點，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，進而根據(jù)平移的規(guī)律即可求得平移后的函數(shù)解析式．【解答】解；由題意可知一次函數(shù)的圖象也經(jīng)過點，，解得此函數(shù)表達(dá)式是，函數(shù)的圖象向上平移2個單位長度的表達(dá)式為，故選：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）10．（2021?德州）小亮從學(xué)校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離（米與時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象提供的信息，給出以下結(jié)論：①他在前12分鐘的平均速度是70米分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為①④．【分析】由圖象可以直接得出前12分鐘小亮的平均速度，從而得出①正確；由圖象可知從12分到19分小亮又返回學(xué)校，可以判斷②錯誤；分別求出小亮第15分和第24分離家距離可以判斷③錯誤；求出小亮33分離家距離，可以判斷④正確．【解答】解：由圖象知，前12分中的平均速度為：（米分），故①正確；由圖象知，小亮第19分中又返回學(xué)校，故②錯誤；小亮在返回學(xué)校時的速度為：（米分），第15分離家距離：，從21分到41分小亮的速度為：（米分），第24分離家距離：（米，，故③錯誤；小亮在33分離家距離：（米，故④正確，故答案為：①④．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用已知信息和圖象所給的數(shù)據(jù)分析題意，依次解答．11．（2021?鐵西區(qū)模擬）一個有進水管和出水管的容器，從某時刻開始內(nèi)只進水不出水，在隨后的內(nèi)既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)，容器內(nèi)的水量與時間之間的關(guān)系如圖所示，則每分鐘的出水量為3.75．【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以先求出進水量，然后再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，即可求得出水量，本題得以解決．【解答】解：由圖象可得，每分鐘的進水量為：，每分鐘的出水量為：，故答案為：3.75．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2020?南京）將一次函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．【分析】利用直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，求得旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：在一次函數(shù)中，令，則，令，則，直線經(jīng)過點，將一次函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則點的對應(yīng)點為，的對應(yīng)點是設(shè)對應(yīng)的函數(shù)解析式為：，將點、代入得，解得，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的函數(shù)解析式為：，故答案為．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．（2020?黔東南州）把直線向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，則平移后所得直線的解析式為．【分析】直接利用一次函數(shù)的平移規(guī)律進而得出答案．【解答】解：把直線向左平移1個單位長度，得到，再向上平移2個單位長度，得到．故答案為：．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．1．（2022?恩施州）如圖1是我國青海湖最深處的某一截面圖，青海湖水面下任意一點的壓強（單位：與其離水面的深度（單位：的函數(shù)解析式為，其圖象如圖2所示，其中為青海湖水面大氣壓強，為常數(shù)且．根據(jù)圖中信息分析（結(jié)果保留一位小數(shù)），下列結(jié)論正確的是A．青海湖水深處的壓強為 B．青海湖水面大氣壓強為 C．函數(shù)解析式中自變量的取值范圍是 D．與的函數(shù)解析式為【分析】由圖象可知，直線過點和．由此可得出和的值，進而可判斷，；根據(jù)實際情況可得出的取值范圍，進而可判斷；將代入解析式，可求出的值，進而可判斷．【解答】解：由圖象可知，直線過點和，，解得．直線解析式為：．故錯誤，不符合題意；青海湖水面大氣壓強為，故錯誤，不符合題意；根據(jù)實際意義，，故錯誤，不符合題意；將代入解析式，，即青海湖水深處的壓強為，故正確，符合題意．故選：．【點評】本題主要考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識．關(guān)鍵是計算過程中需要結(jié)合實際意義．2．（2022?玉林）龜兔賽跑之后，輸了比賽的兔子決定和烏龜再賽一場．圖中的函數(shù)圖象表示了龜兔再次賽跑的過程表示兔子和烏龜從起點出發(fā)所走的時間，，分別表示兔子與烏龜所走的路程）．下列說法錯誤的是A．兔子和烏龜比賽路程是500米 B．中途，兔子比烏龜多休息了35分鐘 C．兔子比烏龜多走了50米 D．比賽結(jié)果，兔子比烏龜早5分鐘到達(dá)終點【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確．【解答】解：、“龜兔再次賽跑”的路程為500米，原說法正確，故此選項不符合題意；、烏龜在途中休息了（分鐘），兔子在途中休息了（分鐘），兔子比烏龜多休息了35分鐘，原說法正確，故此選項不符合題意；、兔子和烏龜同時從起點出發(fā)，都走了500米，原說法錯誤，故此選項符合題意；、比賽結(jié)果，兔子比烏龜早5分鐘到達(dá)終點，原說法正確，故此選項不符合題意．故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，能夠從函數(shù)圖象中獲取解答問題的信息是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022?東莞市校級一模）如圖，直線分別與軸、軸交于點和點，點，分別為線段，的中點，點為上一動點，當(dāng)值最小時，點的坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點、的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式求出點、的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點的坐標(biāo)，結(jié)合點、的坐標(biāo)求出直線的解析式，令即可求出的值，從而得出點的坐標(biāo)．【解答】解：作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，此時值最小，最小值為，如圖．令中，則，點的坐標(biāo)為；令中，則，解得：，點的坐標(biāo)為．點、分別為線段、的中點，點，點．點和點關(guān)于軸對稱，點的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，直線過點，，，解得：，直線的解析式為．令，則，解得：，點的坐標(biāo)為．故選：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及軸對稱中最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是求出直線的解析式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．4．（2022?周村區(qū)一模）如圖，點的坐標(biāo)是，點是以為直徑的上的一動點，點關(guān)于點的對稱點為點．當(dāng)點在上運動時，所有這樣的點組成的圖形與直線有且只有一個公共點，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)點的對稱性和直徑所對的圓周角是直角，可知點的運動軌跡；當(dāng)點所組成的圖形與直線有且只有一個公共點時，即直線與圓相切，根據(jù)求出的值，即可求出的值．【解答】解：連接，，為圓的直徑，，與關(guān)于點對稱，，點運動的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓．點組成的圖形與直線有且只有一個公共點，直線與圓相切．設(shè)直線與軸，軸相交于，，作，垂足為，，當(dāng)時，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，，，，代入，，，，，．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與圓的綜合題，確定點的運動軌跡和點的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，本題難度較大．5．（2022?靖西市模擬）對于實數(shù)，，我們定義符號，的意義為：當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；如：，，，，若關(guān)于的函數(shù)為，，則該函數(shù)的最小值是A．2 B．1 C．0 D．【分析】根據(jù)新定義內(nèi)容分情況討論，然后結(jié)合一次函數(shù)的增減性求得函數(shù)最小值．【解答】解：當(dāng)時，解得：，此時，，隨的增大而增大，當(dāng)時，最小為1；當(dāng)時，解得：，此時，，隨的增大而減小，綜上，當(dāng)時，最小為1，故選：．【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義內(nèi)容，分情況列出函數(shù)解析式并掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022?長垣市一模）如圖，在菱形中，，，點，在直線上，且點的坐標(biāo)為，．將菱形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第85次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為A．， B． C． D．，【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角，先求出點坐標(biāo)，由題意可得每次8旋轉(zhuǎn)一個循環(huán)，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)菱形對角線與交于點，點，，點，在直線上，，，，，四邊形是菱形，，，，，第一次旋轉(zhuǎn)，點的坐標(biāo)為，第三次旋轉(zhuǎn)，點的坐標(biāo)為，第五次旋轉(zhuǎn)，點的坐標(biāo)為，由題意可得每次8旋轉(zhuǎn)一個循環(huán)，，第85次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)與第五次旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)相同，為，故選：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，找到旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．7．（2022?增城區(qū)一模）如圖所示，直線分別與軸、軸交于點、，以線段為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角，，則過、兩點直線的解析式為A． B． C． D．【分析】過作垂直于軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及，利用得到三角形與三角形全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到，，由求出的長，即可確定出坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過、兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：對于直線，令，得到，即，，令，得到，即，，過作軸，可得，，為等腰直角三角形，即，，，，在和中，，，，，即，，設(shè)直線的解析式為，，，解得．過、兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2022?三明模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象為直線，在下列結(jié)論中：①無論取何值，直線一定經(jīng)過某個定點；②過點作，垂足為，則的最大值是；③若與軸交于點，與軸交于點，為等腰三角形，則；④對于一次函數(shù)，無論取何值，始終有，則或．其中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）①②④．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別判斷．【解答】解：一次函數(shù)，當(dāng)時，．函數(shù)圖象過定點．①正確．，垂足為，當(dāng)點與點重合時，最大．此時．②正確．在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，．，是等腰三角形，．或，或．③錯誤．一次函數(shù)的圖象過定點，一次函數(shù)過定點，無論取何值，始終有當(dāng)時，若，兩直線平行時，始終有．符合題意．當(dāng)時，設(shè)經(jīng)過點，的直線為，，解得：，，．如圖：一次函數(shù)的圖象過定點，當(dāng)，若時，直線，不論取何值，始終有，符合題意．或．④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查一次函數(shù)綜合問題，充分掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．9．（2021?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸相交于點，，是直線上一點．當(dāng)時，點的坐標(biāo)是或．【分析】過點作垂足為，連接、，先求出、點的坐標(biāo)、線段、、三條線段長，再用等面積法求出長，先用三角函數(shù)求出長，再設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)兩點距離公式表示長，然后列成方程求出解即可．【解答】解：過點作垂足為，連接、，令，，解得，，令，，，，，在中根據(jù)勾股定理得，，，，當(dāng)時，在中，，設(shè)，，解得，，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時．故答案為：或．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，掌握等面積法、兩點距離公式、三角函數(shù)求出線段的長是解題關(guān)鍵．10．（2022?沂源縣一模）如圖，四邊形的頂點坐標(biāo)分別為，，，，當(dāng)過點的直線將四邊形分成面積相等的兩部分時，則直線的函數(shù)表達(dá)式為．【分析】根據(jù)題意畫出直線，再設(shè)解析式，代入點坐標(biāo)，分別求出和得解析式，根據(jù)鉛垂高水平寬等于的面積，即可求出的值，再代入、點坐標(biāo)即可求出解析式．【解答】解：如圖所示，作直線交于點，過點作軸，交于點．設(shè)直線將四邊形的面積分成面積相等的兩部分，設(shè)直線的解析式為，代入點，，得，設(shè)直線的解析式為，代入點，，得，設(shè)，則，四邊形的面積為，，解得，點坐標(biāo)為，設(shè)的解析式為，代入和，解得，的解析式為．【點評】本題考查了一次函數(shù)和三角形面積，正確求出一次函數(shù)解析式并表示出的面積是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022?昭化區(qū)模擬）2022年冬奧會已經(jīng)圓滿結(jié)束，但是人們對冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融的喜愛只增不減．2022年1月初，某冬奧會吉祥物特許商品零售店銷售冰墩墩和雪容融這兩款毛絨玩具，當(dāng)月售出了200個冰墩墩和100個雪容融，銷售總額為28000元．2月售出了300個冰墩墩和200個雪容融，銷售總額為46000元．（1）求冰墩墩和雪容融毛絨玩具的銷售單價．（2）已知冰墩墩和雪容融毛絨玩具的成本分別為80元個和50元個．進入2022年3月后，這兩款毛絨玩具持續(xù)熱銷，于是該特許商品零售店再次購進了這兩款毛絨玩具共600個，其中雪容融毛絨玩具的數(shù)量不超過冰墩墩毛絨玩具的2倍，且購進總價不超過37200元．為回饋新老客戶，該特許商品零售店決定對雪容融毛絨玩具降價后再銷售，若3月購進的這兩款毛絨玩具全部售出，當(dāng)冰墩墩毛絨玩具購進多少個時，該特許商品零售店當(dāng)月的銷售利潤最大？并求出最大利潤．【分析】（1）根據(jù)當(dāng)月售出了200個冰墩墩和100個雪容融，銷售總額為28000元．2月售出了300個冰墩墩和200個雪容融，銷售總額為46000元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）設(shè)購進“冰墩墩”個，購進“雪容融”個，根據(jù)“雪容融毛絨玩具的數(shù)量不超過冰墩墩毛絨玩具的2倍，且購進總價不超過37200元”可列出關(guān)于的一元一次不等式組，求出的取值范圍，再根據(jù)題干條件列出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為元和元，由題意可得：，解得，答：“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為100元和80元；（2）設(shè)購進“冰墩墩”個，購進“雪容融”個，利潤為元，根據(jù)題意可知，，解得．，，隨的增大而增大，當(dāng)時，最大為（元．當(dāng)冰墩墩毛絨玩具購進240個時，該特許商品零售店當(dāng)月的銷售利潤最大，最大利潤為9840元．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．1．（2022?攀枝花）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學(xué)者公認(rèn)為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，線段表示貨車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系：折線表示轎車離西昌距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系，則以下結(jié)論錯誤的是A．貨車出發(fā)1.8小時后與轎車相遇 B．貨車從西昌到雅安的速度為 C．轎車從西昌到雅安的速度為 D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有【分析】根據(jù)“速度路程時間”分別求出兩車的速度，進而得出轎車出發(fā)的時間，再對各個選項逐一判斷即可．【解答】解：由題意可知，貨車從西昌到雅安的速度為：，故選項不合題意；轎車從西昌到雅安的速度為：，故選項不合題意；轎車從西昌到雅安所用時間為：（小時），（小時），設(shè)貨車出發(fā)小時后與轎車相遇，根據(jù)題意得：，解得，貨車出發(fā)1.8小時后與轎車相遇，故選項不合題意；轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有，故選項符合題意．故選：．【點評】此題為一次函數(shù)的應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．2．（2022?欽州一模）定義一種運算：則函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可得當(dāng)時，，分兩種情況：當(dāng)時和當(dāng)時，分別求出一次函數(shù)的關(guān)系式，然后判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，即：，當(dāng)時，，即：，，當(dāng)時，，函數(shù)圖象從左向右逐漸上升，隨的增大而增大，綜上所述，選項符合題意．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，能在新定義下，求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于、兩點，以線段為邊在右側(cè)作等邊三角形，邊與軸交于點，邊與軸交于點，點是軸上的一個動點，連接，，．下面的結(jié)論中，正確的是①；②；③當(dāng)時，；④點的坐標(biāo)為；⑤當(dāng)時，；A．①③ B．②④⑤ C．①②③ D．①②③④⑤【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由題意可得，，從而得到，進而得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，則①正確；過點作軸于點，軸于點，則，可證得，，從而得到，，再由三角形的面積，可得②正確；根據(jù)，可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，，則得到③正確；過點作于點，可得過點，根據(jù)勾股定理可得，，從而得到，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得④正確；設(shè)點，則，，可得到，，再由，求出，即可求解．【解答】解：為等邊三角形，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，，，，，，故①正確；如圖，作軸，軸，則，，，，，，，，，，，即，，，故②正確；，，，，，，故③正確；如圖，過點作于點，，過點，，，，，，，，，，，，，，，，，，點的坐標(biāo)為，故④正確；設(shè)點，則，，，，，，，即，，解得：，，故⑤正確所以正確的有①②③④⑤，共5個．故選：．【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相關(guān)知識點，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2021?揚州）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點，，把直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交軸于點，則線段長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點和點坐標(biāo)，得到為等腰直角三角形和的長，過點作，垂足為，證明為等腰直角三角形，設(shè)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出，得到關(guān)于的方程，解之即可．【解答】解：一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，令，則，令，則，則，，，則為等腰直角三角形，，，過點作，垂足為，，為等腰直角三角形，設(shè)，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，又，，解得：，，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．5．（2021?臺兒莊區(qū)模擬）如圖，已知點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，點在直線上運動，當(dāng)最大時點的坐標(biāo)為A． B． C．， D．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及待定系數(shù)法可求得答案．【解答】解：作關(guān)于直線對稱點，易得的坐標(biāo)為；連接，可得直線的方程為；求與直線的交點，可得交點坐標(biāo)為；此時取得最大值，其他不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得；故選：．【點評】本題考查軸對稱的運用，有很強的綜合性，難度較大．二．填空題（共1小題）6．（2022?竹山縣模擬）一次函數(shù)的圖象于軸、軸分別交于點，，點，分別是，的中點，是上一動點．當(dāng)周長最小時，點的坐標(biāo)為．【分析】作點關(guān)于中的對稱點，連接交軸于點，此時的值最小，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出、點的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，再求出與軸的交點坐標(biāo)即可．【解答】解：如圖：作點關(guān)