圖形變換與裁剪

計耳機畫形序

跆淹城7嗤火孝

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圖形變換與裁剪

哈爾濱工業(yè)大學計算機學院

唐好選

2010年7月21日

葉用翱窗形房

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5.1窗口視圖變換

L窗口和視圖區(qū)

/用戶坐標系(worldcoordinatesystem,簡稱

WCS)

/設(shè)備坐標系(devicecoordinatesystem,簡稱

DCS)

/窗口區(qū)(window)

/視圖區(qū)(viewport)

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2.窗口到視圖區(qū)的變換窗口

Wyt

窗口區(qū)與視圖區(qū)間的映射關(guān)系：

窗口區(qū)中的任一點(xw,yw)

Wyb

與視圖區(qū)中的任一點(xV,yV)存

OwWWX

在如下對應(yīng)關(guān)系：X1xr

v視圖區(qū)

V

XV~xl—vxr--匕/

(5-1)

Xw一wxr一

y.-Vyb=?一

(5-2)

九~^yb一%

OuVV

X1xrXv

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由式（5-1）和式（5-2）可分別解得:

V—V7

%=—~~-(/-%)+%(5-3)

嗎〃一%/

yv=?"(兒-％)+%(5-4)

叫一嗎力

令v—v,v—V,

a=----------c=------------—wxl+v,

V—V,v—V.

y?yb

+3

沙-小沙-5

有

xv=ax^+b(5-5)

(5-6)

yv=①卬+"

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5.2二維圖形幾何變換

5.2.1二維圖形幾何變換的原理

二維圖形由點或直線段組成

直線段可由其端點坐標定義

二維圖形的幾何變換：對點或?qū)χ本€段端點的變換

P=[xy]Pf=[xy

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522幾種典型的二維圖形幾何變換

1.平移變換(translation)

Tx平行于x軸的方向上的移動量

Tv平行于y軸的方向上的移動量

幾何關(guān)系

x'=x+北

(5-7)

矩陣形式

3力=卜歹］+忙Ty\(5-8)

平移變換

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2.比例變換(scale)

指相對于原點的比例變換

又平行于X軸的方向上的縮放量

Sy平行于y軸的方向上的縮放量

相對于原點的比例變換

幾何關(guān)系|y

—x*S

JC(5-9)

'*Sy

矩陣形式I

oX

[%'yr]=卜y](5-10)

0邑相對于重心的比例變換

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/比例變換的性質(zhì)

當s.=s，時，變換前的圖形與變換后的圖形相似

xy

當S.=S,〉1時，圖形圈放大，并遠離坐標原點

xy

占

、、、

當S

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3.旋轉(zhuǎn)變換（rotation）

點P繞原點逆時針轉(zhuǎn)。角

（設(shè)逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正方向）

幾何關(guān)系|

J-。（5-11）

\y=rsincp

旋轉(zhuǎn)變換

\jC-rcos(0+(p)-rcos(pcos0-rsin9sin6

(5-12)

[y'=尸sin(6+9)=/cos9sin0+rsin9cos6

將式(5-11)代入式(5-12)得：

卜，=xcos?-ysin0

(5-13)

Ixsin3+ycos3

cos。sin0

矩陣形式上H=[x刃(5-14)

-sin夕COS0

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5.2.3齊次坐標(homogeneouscoordinates)技術(shù)

1.齊次坐標技術(shù)的引入

平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換

處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級聯(lián)在一起。

2.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點

-便于變換合成

-便于硬件實現(xiàn)

3.齊次坐標技術(shù)的基本思想

把一個n維空間中的幾何問題轉(zhuǎn)換到n+1維空間中解決

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4.齊次坐標表示

(?X]5工25,,,)(CO%15COX25...5CDX^5CO)

有n個分量的向量有n+1個分量的向量

啞元或標量因子

…"〃⑷)(X]/。/2/????，X〃/⑼

齊次坐標表示不是唯一的

3=1規(guī)格化的齊次坐標

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5.基本幾何變換的齊次坐標表示

1oo

/平移變換y'1]=xy1010

\TXTy1_

-

~SX0o

/比例變換yVl]=[xy1；0JO

001

cos0sin00

/旋轉(zhuǎn)變換:x'yr1]=xy1]-sin0cos00

001

逆時針為正

6.無窮遠點或無窮遠區(qū)域的齊次坐標表示

①二0時，齊次坐標（5,工2,表示一■個n維的無窮遠點

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5.2.3常用的二維幾何變換

1.對稱變換(symmetry)(反射變換或鏡像零換)

(1)相對于y軸對稱

(2)相對于x軸對稱

對稱變換(2)

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（3）相對于原點對稱（即中心對稱）

44*

關(guān)某[丁』—、

-100一

矩陶

形國x'yi]=：%y1]0-10=-x-y

001對稱變換（3）

（4）相對于直線y=x對稱

幾柯

010

矩pzf1]100=[j；x1]

形m，yl]=[xy

001對稱變換（4）

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(5)相對于直線y=-x對稱

幾何關(guān)系

[%'=-y

b=r

矩陣形式I

0-10

ayl]=[xy1]-1o0=[->-X1]

001

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2.錯切變換（shear）

（1）沿x軸方向關(guān)于y軸錯切

將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成。角的

傾斜線，而保持y坐標不變。

幾何關(guān)系*'=JT+Ax

V=y

令a=ctgOWAx=yctgO—

X=x+ay

l、'=y

矩陣形式

10o錯切變換（i）

卜'VU=[xyi]a10=[x-\-ayyi]

001

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(2)沿y軸方向關(guān)于x軸錯切

修圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成中角的傾斜線,

而保持x坐標不變。

幾何關(guān)系|

\x=x

Iy=J^+Ay

令方=ctgcpAy=xctgcp=

(X，=X

[y，=y+bjc

矩陣形式

錯切變換(2)

1b0

xy1010xbx+y1]

001

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5.3.3二維組合變換

1.相對于任意點(xO,yO)的比例變換

對任意點比例變換的步驟：

(1)平移變換

(2)相對于原點的比例變換

(3)平移變換

/當(xo,yo)為圖形重心的坐標時，這種變換實現(xiàn)的是相

對于重心的比例變換。

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100L必i]

平移口

T=010

11001

_-xo一九1

k%i]=卜%i]010

Soo-

__X0一歹0L

S=0Sy0

比例31

001

|Xool

-10o-S0

兩73U=卜2%U0y

%=010001

__________________________________"

%1_平移匚

I---1

T=TXST2100

則有，4居1]=卜3%1]010

/y*1

■ayi]=ky41]0

Mi]4s%=卜必I]T任意點比例變換示意圖

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2.繞任意點(xo,yo)的旋轉(zhuǎn)變換

繞任意點旋轉(zhuǎn)變換的步驟:

(1)平移變換

(2)對圖形繞原點進行旋轉(zhuǎn)變換

(3)平移變換

相對于任意點(Xo，y())的旋轉(zhuǎn)變換

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令rioo[%%i]

T,=010

-xo一九11oo-

y1]=國必Uoio

cos0sin802

__________________________________-，0-%L

R--sin6^cos80

旋轉(zhuǎn)只

001

cos0sin0

100

[13%1]=卜2歹21]-sincos30

5二010001J

1

/y0平移乩

-100

民歹41]=卜3為1]010

則有

/盟1

4

?k'VU=卜y4i]

=卜%1]4氏丁2=卜乂1]7任意點旋轉(zhuǎn)變換示意圖

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三維幾何變換(1/8)

，三維齊次坐標

/(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標為

xh=hx.yh=hy.zh=〃z，〃w0

/標準齊次坐標(x,y,zj)

/右手坐標系八Z

>

y

X

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三維幾何變換（2/8）

，平移變換

1000

0100

T=

0010

ri

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三維幾何變換（3/8）

，放縮變換

sQ0Q

0Sy00

00sz0

0001

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三維幾何變換（4/8）

?旋轉(zhuǎn)變換:右手螺旋方向為正

-繞X軸

i000

ocos3sin30

R、（e）=

o-sin0cosO0

0001

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三維幾何變換（5/8）

-繞y軸

cosO0-sinO0X

0100

Ry（e）=

sinOcosO0

0001

o

y軸指向紙外

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三維幾何變換(6/8)

-繞Z軸

Z

COS0sin3

-sin0cosO

RO

00

00X

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三維幾何變換(7/8)

/錯切變換

沿Z含X錯切沿Z含y錯切

三維錯切變換

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三維幾何變換（8/8）

，三維變換的一般形式

O

O

平移

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圖形變換與裁剪

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基本內(nèi)容

1三維圖形的基本問題

2平面幾何投影

平行投影

透視投影

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三維圖形的基本問題（1/5）

1.在二維屏幕上如何顯示三維物體?

,顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的

,顯示對象是三維的

/解決方法--投影

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三維圖形的基本問題（2/5）

2.如何表示三維物體？

/三維形體的表示----空間直線段、曲線段、多邊形、

曲面片

/三維形體的輸入、運算、有效性保證----困難

/解決方法----各種用于形體表示的理論、模型、方法

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三維圖形的基本問題（3/5）

3.如何反映遮擋關(guān)系？

/物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關(guān)系

/解決方法----消除隱藏面與隱藏線

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三維圖形的基本問題（4/5）

4.如何產(chǎn)生真實感圖形

/何謂真實感圖形？

,真實感來源于

/透視關(guān)系和遮擋關(guān)系

/光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布

/解決方法

/建立光照明模型

,真實感圖形繪制

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三維圖形的基本問題（5/5）

三維圖形的基本研究內(nèi)容

i.投影

2.三維形體的表示

3.消除隱藏面與隱藏線

4.建立光照明模型、研究真實感圖形繪制方法

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平面幾何投影(1/16)

/如何投影？

/生活中的類比-如何拍攝景物?

/拍攝過程

/選景

/取景--裁剪

/對焦一參考點

/按快門--成像

/移動方式

/移動景物

/移動照相機

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平面幾何投影(2/16)

，投影一照相機模型

/選定投影類型

,設(shè)置投影參數(shù)-拍攝方向、距離等

/三維裁剪—取景

/投影和顯示-成像

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平面幾何投影(3/16)

，平面幾何投影及其分類

/投影

/將n維的點變換成小于n維的點

/將3維的點變換成小于3維的點

/投影中心

/觀察點、視點

/投影面

/不經(jīng)過投影中心

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平面幾何投影(4/16)

/投影線

,從投影中心向物體上各點發(fā)出的射線

/平面幾何投影

/投影面是平面

/投影線為直線

/投影變換

/投影過程

/投影的數(shù)學表示

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平面幾何投影(5/16)

-投影分類平面幾何投影

透視投影平行投影

二

兩

三

點

點

點

透

透

透

視

視

側(cè)

視

側(cè)

俯

等

正

正

正

軸

視

視