浙江省臺州市聯誼五校2025屆數學高二上期末達標檢測試題含解析

浙江省臺州市聯誼五校2025屆數學高二上期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線（t為參數）被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.2．德國數學家高斯是近代數學奠基者之一，有“數學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現出超人的數學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數列，則（）A.96 B.97C.98 D.993．設直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.4．已知，,2成等差數列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.5．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.6．設直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.7．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.88．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.9．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.10．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．音樂與數學有著密切的聯系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”經過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健吧獭薄来艘?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數列12．以下說法：①將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯的把握就越大。其中錯誤的個數是（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下數據為某校參加數學競賽的名同學的成績：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.則這人成績的第百分位數可以是______14．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______15．設、為正數，若，則的最小值是______，此時______.16．某公司青年、中年、老年員工的人數之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，（1）求三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角函數表示）18．（12分）已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.過點的直線l交橢圓于A，B兩點.（1）求該橢圓的方程；（2）若點P為直線上的動點，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數列.19．（12分）已知數列滿足且.（1）證明數列是等比數列；（2）設數列滿足，，求數列的通項公式.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角21．（12分）已知為坐標原點，圓的圓心在軸上，點、均在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點、，點在圓上，求面積的最大值.22．（10分）已知展開式中，第三項的系數與第四項的系數相等（1）求n的值；（2）求展開式中有理項的系數之和（用數字作答）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標方程，利用弦長公式即可求得結果.【詳解】因為直線的參數方程為：（t為參數），故其普通方程為，又，根據，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.2、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C3、C【解析】先求出，的坐標，再求中點坐標，利用點滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯立，解得：，，所以中點坐標為，因為點滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.4、A【解析】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數的運算以及化簡公式的應用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設誰，再根據題干將等量關系轉化為代數關系，從而列出方程，化簡即可.5、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉化成點到直線的距離，結合余弦定理即同角三角函數基本關系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C6、A【解析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，即可解得實數的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.7、C【解析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.【詳解】設等差數列的公差為，則，，聯立，解得.故選：C.8、D【解析】先根據圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.9、B【解析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.10、C【解析】設出雙曲線方程，根據題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、C【解析】根據文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結果【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數列的定義，考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題12、C【詳解】方差反映一組數據的波動大小，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據線性回歸分析中相關系數的定義：在線性回歸分析中，相關系數為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用百分位數的求法直接求解即可.【詳解】解：將所給數據按照從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.數據量，∵是整數，∴故答案為：.14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標式子的結果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當即，時等號成立.故答案為，【點睛】本題考查最值的求法，注意運用“1”的代換法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題16、200【解析】先根據分層抽樣的方法計算出該單位青年職工應抽取的人數，進而算出青年職工的總人數.【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽?。ㄈ耍?因為每人被抽中的概率是0.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S側，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S；（2）連接BC1，確定∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求結論【詳解】（1）在△ABC中，因為AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2所以S＝2S△ABC+S側＝4+（2+2+4）×4＝24+12（2）連接BC1，因為AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角）在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，所以∠BA1C1＝arccos，即異面直線A1B與AC所成角的大小為arccos【點睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關鍵是正確作出線線角，屬于中檔題18、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據焦點坐標及橢圓上的點，利用橢圓的定義求出a，再由關系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計算出，根據等差中項計算，即可證明成等差數列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點坐標分別為，又點在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設.當直線l的斜率為0時，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數列.當直線l的斜率不為0時，設其方程為，由，消去x得.即，成等差數列，綜上可得，，成等差數列.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據題意可得，根據等比數列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數列的通項公式.【詳解】（1）因為，所以，即，所以是首項為1公比為3的等比數列（2）由（1）可知，所以因為，所以……，，各式相加得：，又，所以，又當n=1時，滿足上式，所以20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據中位線的性質，可證，根據線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面法向量，根據二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據線線角的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點，在中，因為O、D分別為、BC中點，所以，又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設，則，所以，則，，因為平面在平面ABC內，且平面ABC，所以即為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問3詳解】由（2）可得，設與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為21、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標，可求得圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）求得點到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求得的表達式，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得結果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因為，所以圓心到直線的距離，所以到直線的距離，設點、，聯立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來