均值不等式及不等式綜合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題03均值不等式及不等式綜合

空盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：公式直接用..............................................................................1

題型二：公式成立條件............................................................................2

題型三：對(duì)勾型湊配..............................................................................3

題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型.................................................................4

題型五：“1”的代換：有和有積無(wú)常數(shù)型...........................................................4

題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型...........................................................5

題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無(wú)條件型............................................................5

題型八：分母構(gòu)造型：分離型型....................................................................6

題型九：分母構(gòu)造型：一個(gè)分母構(gòu)造型..............................................................7

題型十：分母構(gòu)造型：兩個(gè)分母構(gòu)造型..............................................................7

題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型........................................................................8

題型十二：換元構(gòu)造型...........................................................................9

題型十三：分母拆解湊配型........................................................................9

題型十四：萬(wàn)能“K”型..........................................................................10

題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小.................................................................11

題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型.........................................................12

題型十七：因式分解型...........................................................................12

題型十八：三元型不等式.........................................................................13

更突圍?檐;住蝗分

題型一：公式直接用

;指I點(diǎn)I迷I津

I

基本不等式：

：(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>Q；

：(2)(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b.

：(3)基本不等式的變形：

；①常用于求和的最小值；

：②“6W(空)2,常用于求積的最大值；

I

1?-(江三葡三元最而誦芍：WaVb麗茬贏面植運(yùn)蔡天而莫7_-)

A.gB.a2+b2C.aD.2ab

2.(22-23高三?全國(guó)裸后作業(yè))若a>0力>。，則下列不等式中不成立的是()

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

C.a2+b2>^(a+b)2

D.

aba—b

3.（22-23高一下?黑龍江佳木斯?開學(xué)考試）設(shè)x>0,y>0,且孫=9,則％+丁的最小值為（）

A.18B.9C.6D.3

4.（23-24高一下?河南?開學(xué)考試）設(shè)。>1涉<0,則（）

.a1+b2__77

A.--------..2B.a+b>ab

ab

C.ab<—lD.b<ab

5.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)羽y>0且尤+2y=l,則logz^+log22y的最大值為

題型二：公式成立條件

指I點(diǎn)I迷I津

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）"一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）"三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

1.（23-24高三?遼寧本溪?開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2XX

A.y=x+—B.y=e2+e-2

1兀）X2+3

C.y-sinxH--------0<x<—D.y=~.

sinxl2）JX2+2

2.（23-24高三?安徽六安?開學(xué)考試）設(shè)。>0,b>0,貝〃等26”是"疝?6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高三?西藏林芝?期中）下列命題中正確的是（）

A.若a>0,0>0,且a+b=16,則ah<64

4I4

B.右awO,則〃+—22j〃-一二4

a\a

C.若。,b￡R,則必之絲土丘

2

D.對(duì)任意+均成立.

4.（多選）（23-24高三?四川眉山?期中）下列結(jié)論正確的是（）

+2

A.若％<0,—?—2B.,則/'2

xVx2+1

C.貝D.若々>1,則+—

x

5.（多選）（23-24高三?重慶南岸?期中）下列說(shuō)法正確的是（）

4B函數(shù)”記的最小值是2

A.函數(shù)y=%+-（%<0）的最大值是T

x

C.函數(shù)>=尤+」^?（尤>一2）的最小值是6D.若x+y=4,則f+y2的最小值是8

6.（多選）（23-24高三?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

+b

A.當(dāng)a,Z?eR時(shí)，ab<0

2

B.若x>0,則函數(shù)〃無(wú)）=尤?+：的最小值等于4石

c.若2，+2y=1,則x+y的取值范圍是

?--------------------------Q

D.+（―6WaW3）的最大值是萬(wàn)

題型三：對(duì)勾型湊配

指I點(diǎn)I迷I津

1b

1.對(duì)勾型結(jié)構(gòu)：t+-,at+-

tt

容易出問題的地方，在于能否“取等”汝口sin。+二一，其中。銳角，ylx2+5+-fJ=

sin。A/%2+5

2.對(duì)勾添加常數(shù)型

1。1。

對(duì)于形如cx+d+---------,則把cr+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：-（ax+b）+-----+d-一可消去。不必記憶，直接

ax+baax+ba

根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化

2

1.（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=3-X——，則當(dāng)x<0時(shí)，“X）有（）

X

A.最大值3+2忘B.最小值3+2忘

C.最大值3-2近D.最小值3-20

2.（23-24高三?陜西西安?階段練習(xí)）函數(shù)>=/+*三（好>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

3.（21-22高二上?陜西咸陽(yáng)?期中）已知函數(shù)〃x）=4x-2+/^的定義域?yàn)?8,：｝則的最大值

為（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

4.（23-24高三?吉林?階段練習(xí)）已知x>3,貝l|y=-^+2*的最小值是（）

x-3

A.6B.8C.10D.12

5.（23-24高三廣東佛山?模擬）函數(shù)〃同=尤+」三，x>l的最小值為（）

X—1

A.1B.2C.3D.5

題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型

指I點(diǎn)I迷I津

“1”的代換

.利用常數(shù)Lx加=1代換法。多稱之為“1”的代換

m

1.（2022高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）若。，6eR,仍>0且。+6=2,則的最小值為（）

ab

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24高三?貴州黔南?階段練習(xí)）已知尤,y>0且x+4y=l,則工+工的最小值為（）

xy

A.4夜B.8C.9D.10

3.（23-24高三?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）若。>0,6>0,。+3b=1,則的工+二最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

21

4.（22-23高一下?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí)）設(shè)〃>0,匕>0,若2a+b=2,則一+7的最小值為（）

ab

21

5.（22-23高三?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）已知x,y為正實(shí)數(shù)，且—+—=2,則％+2）的最小值是（）

A.2B.4C.8D.16

題型五：“1”的代換：有和有積無(wú)常數(shù)型

指I點(diǎn)I迷I津

有和有積無(wú)常數(shù)

形如+=,可以通過(guò)同除ab,化為g+4=t構(gòu)造"1”的代換求解

1.（23-24高三上?江蘇連云港?階段練習(xí)）若a>0,b>0,且a+6=",則2a+b的最小值為（）

A.3+2夜B.2+2&C.6D.3-2&

2.（23-24高二上?陜西西安?期中）已知。>0,6>0且2"=a+2b,貝!|a+86的最小值為（）

27

A.45/2B.10C.9D.

3.（2022?四川樂山?一模）已知尤>0,y>0,且4x+2，一孫=0,則2x+y的最小值為（）

A.16B.8+4點(diǎn)C.12D.6+4及

4.（21-22高三?山西太原?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則Q+〃的最小值為（）

A.2B.3C.2+,\/2D.2+-\/3

5.（23-24高一下?廣西?開學(xué)考試）已知a>0,b>0,S.a+b=ab,則2必-a+7Z?的最小值是（）

A.6B.9C.16D.19

題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型

指I點(diǎn)I迷I津

有和有積有常數(shù)

形如（M+〃y）+g='求7"+改型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”

的系數(shù)系數(shù)，如下：

/、/、〃/、/、/xp（mx）+（ny）

t=（rnx+ny）+pxy=（mx+ny）---（nvc）（ny）<\mx+ny）----（z---------）x2

mnmn2

1.（23-24高三產(chǎn)西渡雙）巨而*/+/=而+4,貝!ja+匕前猿改宿為（）

A.2B.4C.8D.2V2

2.（23-24高三?甘肅?模擬）若正數(shù)〃，力滿足刈=々+）+3,則次?的取值范圍是（）

A.(-co,6]B.[6,9]

C.[9,+a)D.[9,12]

3.（23-24高三?江蘇?模擬）已知正實(shí)數(shù)〃，b滿足"+〃+/?=8,則a+〃的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

4.（23-24高三?安徽阜陽(yáng)?模擬）已知正實(shí)數(shù)劉V滿足2x+y+6=w，記沖的最小值為〃；若帆幾>0且

1Q

滿足相+〃=1,記一+―的最小值為b.則Q+〃的值為（）

mn

A.30B.32C.34D.36

5.（23-24高三,福建莆田,模擬）已知％>2,>>1,xy=x+2y+2,則％+y的最小值是（）

A.1B.4C.7D.3+A/17

題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無(wú)條件型

指I點(diǎn)I迷I津

無(wú)條件分母和定型

;二（，）+J（x）型「滿足

mf^x)+ng^x)=t(定值)，則可以構(gòu)造

1

：…（x）一"/⑺+必可^_1

a+/(x)+

9!的最小值為（）

1.（2020高三?全國(guó)?專題練習(xí)）一^+-

acosa

A.2B.16C.8D.12

一14

2.（21-22高三?福建莆田?期末）當(dāng)Ov犬vl時(shí)，-+--的最小值為（）

X1-x

A.0B.9C.6D.10

12

3.（2024?山西臨汾?三模）若Ovxvl,則一+；的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+2垃D.3+20

1?5

4.⑵-23高三江蘇南通?模擬）函數(shù)“正癡+"（-1.）的最小值是（）

7896

A.-B.—C.—D.一

6785

132

5.（23-24高三?四川成都?期中）若0<%<不，貝！]丫=<+丁丁的最小值為（）

32xl-3x

B.6+4后C.9+76D.不

A.12

題型八：分母構(gòu)造型：分離型型

指I點(diǎn)I迷I津

對(duì)勾分離常數(shù)型（換元型）

“C型，可以通過(guò)換元f+〃分離降暴，轉(zhuǎn)化為對(duì)勾型

mx+n

L_______________________________________________________________________________________________-

1.（21-22高三?遼寧沈陽(yáng)?模擬）若不等式號(hào)產(chǎn)>。在區(qū)間[0,1]上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.ci<A/2—B.avlC.ci<.—D.a<2A/2—

232

2.（23-24高三?海南?？?階段練習(xí)）若函數(shù)/（尤）=立空±￡在》€(wěn)[0,內(nèi)）是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

X+1

是（）

A.（-8,2]B.[0,1]

C.D.[1,2]

3.（2020高三?河北石家莊?階段練習(xí)）已知x<3,則y=的最大值是（）

x—3

A.-1B.-2C.2D.7

.丫2―y?1

4.（20-21高三?遼寧大連?模擬）24"是"關(guān)于-的不等式x丘（%>1）有解"的（）

X—1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（20-21高三?浙江紹興?期中）若,貝蜂=上^^—有（）

2尤-2

A.最大值-IB.最小值-1C.最大值1D.最小值1

題型九：分母構(gòu)造型：一個(gè)分母構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

單分母

形如a+6=t,求—+1■型，則可以湊配（°+加）+伍）=/+〃2,再利用“1”的代換來(lái)求解。

a+mb

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配。

1.（23-24高三?浙江溫州?模擬）已知非負(fù)實(shí)數(shù)羽》滿足％+y=l,則一+一的最小值為（）

x1+y

794

A.—B.2C.—D.一

353

2.（23-24局一下,福建南平,期中）已知a>0,b>0,2a+b-3=0貝!J.+的取小值為（)

f2〃+17b

33

A.2B.1C.-D.-

24

7I

3.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)。>1,b>0,滿足a+6=3,則義+1的最小值為（

a—1b

八3+2^D3+20r3+4003+4四

4224

i4

4.（23-24IWJ二,浙江,模擬）已知b>0,且。+工=2,則的最小值為（）

ba-1

A.4B.6C.8D.9

44

5.（23-24IWJ三?廣東肇慶?模擬）已知a>0,b>l,a+---=1,則—的最小值為（）

b-\a

A.15B.16C.17D.18

題型十：分母構(gòu)造型：兩個(gè)分母構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

雙分母

形如a+6=f,求—1—+」—型，則可以湊配（a+M+0+〃）=f+〃z+〃，再利用“1”的代換來(lái)求解。

a+mb+n

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配。

L⑵24?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)“’6滿足a”=2‘則￡+為的最小值為（）

345

A2B.一C.一D.

?3456

2.（23-24高三?浙江?期中）已知且2a+Z?=3,則---+——的最小值為（）

2a-12b-1

9i

A.1B.-C.9D.-

22

41

3.（23-24高三?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足--+-=1,不等式相+恒成立，則實(shí)

a+bb+l

數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

4.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)X,y滿足一一+丁二=1,則x+y的最小值為（）

3X+y2y+2

5.（23-24高三?湖北?階段練習(xí)）若x>0,y>0,且一二則3x+y的最小值為（）

x+1x+2y

A.3B.275C.；+逐D.4+2君

題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

對(duì)于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過(guò)常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化

為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來(lái)求解

cx+dcx+dccx+d

43x-7

1.（23-24圖二?廣東佛山?階段練習(xí)）已知正數(shù)x,丁滿足x+y-2,貝IJ+/的最小值是（）

x+23y+4

1113527

A.—B.—C.—D.—

1616816

（高三上?廣東東莞?期中）已知為正實(shí)數(shù)，且則生的最小值為（）

2.23-24a,b0+?=1,±±1+±1

ab

A.1+25/2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2A/2

r2+4y2+1

3.（23-24高三?全國(guó),期末）已知尤>0,>>0,且x+y=4,則^—+—的最小值為（）

xy

725

A.4B.-C.——D.5

44

X22

4.（23-24高三?湖北武漢,模擬）已知%且無(wú)+>=1,則一—v的最小值為（）

x+1y+2

111

A.-B.-C.1D.一

423

5.（22-23高一下?云南?階段練習(xí)）已知〃>一2,b>0,a+2b=3,則即+g的最小值為（）

a+2b

A.4B.6C.8D.10

題型十二：換元構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

若已知=r（定值），一^+77'型，則可通過(guò)線性換元，令[?產(chǎn)’?，反解出x,y

g（x,y）h[x,y）\b=h[x,y）

代入條件等式y(tǒng)），中，換元為簡(jiǎn)單的條件不等式

?___________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三上?四川巴中?開學(xué)考試）已知x>y>0且4x+3y=l,則:的最小值為（）

2x—yx+2y

A.10B.9C.8D.7

21

2.（23-24高三上?山東?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足了>>>0,且3x-y=2,則——+——的最小值為

x+yx-y

（）

A.3B.4C.5D.6

38

3.（21-22高三?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）已知正數(shù)x,3滿足（x+2y）y+（3x+2y）Y=2,則孫的最小值是（）

381

4.（22-23高三上?江西南昌?階段練習(xí)）已知正數(shù)工，丁滿足白喬+西西1=1'則孫的最小值是（）

5845

A.-B.一C.一D.一

4332

21

（2022?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)X,y滿足+-=1,則x+y的最小值（

x+3y3x+y

A3+203+6_3+2五D3+及

A.----------RC.----------

4488

題型十三：分母拆解湊配型

指I點(diǎn)I迷I津

湊配拆解型

形如a+b=r,求—型，則可以湊配（"+M+（bx+〃）=rS+b）,再利用“1”的代換來(lái)求解。

ax+mbx+n

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配

1.（22-23高三上?河北保定?階段練習(xí)）不等式/一4x+/,0的解集為口嬴后，其中0（根＜4,貝！J

11

----------------1---------------的最小值為（

10a+2b4b-4a

1111

A.-B.—C.-D.—

2468

549

2.（22-23高三?河北承德?期末）已知正實(shí)數(shù)a/滿足。+6==,則一十+「「的最小值為（）

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

3.（19-20高三上?陜西榆林?階段練習(xí)）已知＞=1嗝，-17）的值域?yàn)椋鬯?劃，當(dāng)正數(shù)a,b滿足

91

-——-+——不~=初時(shí)，則7a+4b的最小值為（）

3a+ba+2b

A2R1r5+2「

44

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若是正實(shí)數(shù)，且+=則。+6的最小值為（）

3a+b2a+4b

42

A.-B.-C.1D.2

53

1323

5.（23-24高三下?河北?開學(xué)考試）已知。，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足一+1=2,則三一+7r1的最小值為

ab2a-l2b-3

（）

A.2B.2A/2C.2A/3D.276

題型十四：萬(wàn)能“K”型

指I點(diǎn)I迷I津

一般情況下的“萬(wàn)能K法”

設(shè)K法的三個(gè)步驟：

團(tuán)、問誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；

回、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；

回、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），20確定最值。

求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，構(gòu)造方程用均值

1.（22-23高三上?江蘇南京?模擬）已知正實(shí)數(shù)x,V滿足x+'+4y+'=10,則x+4y的最大值為（）

尤y

B.1C.2D.9

1Q

2.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知〃/為正實(shí)數(shù)，且〃+〃=6+—+丁，則，+人的最小值為（）

ab

A.6B.8C.9D.12

14

3.（2022秋?四川成都?高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎龜?shù)〃/滿足〃+b+—+:=16,貝g+〃的最大值

ab

是.

14

4.（21-22高三上?湖北襄陽(yáng)?期中）若正數(shù)無(wú)，丁滿足2x+2y+—+—=9,則工+丁的最小值是（）

xy

153

A.-B.-C.-D.2

242

題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小

r旨?點(diǎn)?迷?津

幾個(gè)重要不等式

；(1)a2+b2>_2ab(a,beR)；

[(2)ny[ab(a,匕￡R)；

(3)—l—22(a,b同號(hào))；

ba

\(4)e審]_或而(a,6eR)；

：(5)尸葉2箍2口(a，beR,a,6>0)

L___2__?___3________a二_______________

1.(23-24高三下.全國(guó)?階段練習(xí))已知。=1,6=ln/=(log67-l)ln5,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2023?河南洛陽(yáng)?一模）下列結(jié)論正確的是（)

2U232023

log2023<log2022

A-1°§20212022<log20222023<^22B.20222021

20232023

C.^<log20222023<log20212022D.^<log20212022<log20222023

3.(22-23高三?江蘇常州?模擬)若a>方>7>1且a”#?,設(shè)a=bg/,b=\ogpa,c=logzj3,IJllJ()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

4.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知2