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文檔簡介
專題03均值不等式及不等式綜合
空盤點?置擊看考
目錄
題型一:公式直接用..............................................................................1
題型二:公式成立條件............................................................................2
題型三:對勾型湊配..............................................................................3
題型四:“1”的代換:基礎代換型.................................................................4
題型五:“1”的代換:有和有積無常數(shù)型...........................................................4
題型六:“1”的代換:有和有積有常數(shù)型...........................................................5
題型七:分母構(gòu)造型:分母和定無條件型............................................................5
題型八:分母構(gòu)造型:分離型型....................................................................6
題型九:分母構(gòu)造型:一個分母構(gòu)造型..............................................................7
題型十:分母構(gòu)造型:兩個分母構(gòu)造型..............................................................7
題型十一:分離常數(shù)構(gòu)造型........................................................................8
題型十二:換元構(gòu)造型...........................................................................9
題型十三:分母拆解湊配型........................................................................9
題型十四:萬能“K”型..........................................................................10
題型十五:均值不等式應用比大小.................................................................11
題型十六:利用均值不等式求恒成立參數(shù)型.........................................................12
題型十七:因式分解型...........................................................................12
題型十八:三元型不等式.........................................................................13
更突圍?檐;住蝗分
題型一:公式直接用
;指I點I迷I津
I
基本不等式:
:(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>Q;
:(2)(2)等號成立的條件:當且僅當a=b.
:(3)基本不等式的變形:
;①常用于求和的最小值;
:②“6W(空)2,常用于求積的最大值;
I
1?-(江三葡三元最而誦芍:WaVb麗茬贏面植運蔡天而莫7_-)
A.gB.a2+b2C.aD.2ab
2.(22-23高三?全國裸后作業(yè))若a>0力>。,則下列不等式中不成立的是()
A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab
C.a2+b2>^(a+b)2
D.
aba—b
3.(22-23高一下?黑龍江佳木斯?開學考試)設x>0,y>0,且孫=9,則%+丁的最小值為()
A.18B.9C.6D.3
4.(23-24高一下?河南?開學考試)設。>1涉<0,則()
.a1+b2__77
A.--------..2B.a+b>ab
ab
C.ab<—lD.b<ab
5.(2024?重慶?模擬預測)設羽y>0且尤+2y=l,則logz^+log22y的最大值為
題型二:公式成立條件
指I點I迷I津
利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:
(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù);
(2)"二定"就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)
成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;
(3)"三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是
所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
1.(23-24高三?遼寧本溪?開學考試)下列函數(shù)中,最小值為2的是()
2XX
A.y=x+—B.y=e2+e-2
1兀)X2+3
C.y-sinxH--------0<x<—D.y=~.
sinxl2)JX2+2
2.(23-24高三?安徽六安?開學考試)設。>0,b>0,貝〃等26”是"疝?6”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.(23-24高三?西藏林芝?期中)下列命題中正確的是()
A.若a>0,0>0,且a+b=16,則ah<64
4I4
B.右awO,則〃+—22j〃-一二4
a\a
C.若。,b£R,則必之絲土丘
2
D.對任意+均成立.
4.(多選)(23-24高三?四川眉山?期中)下列結(jié)論正確的是()
+2
A.若%<0,—?—2B.,則/'2
xVx2+1
C.貝D.若々>1,則+—
x
5.(多選)(23-24高三?重慶南岸?期中)下列說法正確的是()
4B函數(shù)”記的最小值是2
A.函數(shù)y=%+-(%<0)的最大值是T
x
C.函數(shù)>=尤+」^?(尤>一2)的最小值是6D.若x+y=4,則f+y2的最小值是8
6.(多選)(23-24高三?貴州貴陽?階段練習)下列命題中正確的是()
+b
A.當a,Z?eR時,ab<0
2
B.若x>0,則函數(shù)〃無)=尤?+:的最小值等于4石
c.若2,+2y=1,則x+y的取值范圍是
?--------------------------Q
D.+(―6WaW3)的最大值是萬
題型三:對勾型湊配
指I點I迷I津
1b
1.對勾型結(jié)構(gòu):t+-,at+-
tt
容易出問題的地方,在于能否“取等”汝口sin。+二一,其中。銳角,ylx2+5+-fJ=
sin。A/%2+5
2.對勾添加常數(shù)型
1。1。
對于形如cx+d+---------,則把cr+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系:-(ax+b)+-----+d-一可消去。不必記憶,直接
ax+baax+ba
根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化
2
1.(2023?湖南岳陽?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=3-X——,則當x<0時,“X)有()
X
A.最大值3+2忘B.最小值3+2忘
C.最大值3-2近D.最小值3-20
2.(23-24高三?陜西西安?階段練習)函數(shù)>=/+*三(好>5)的最小值為()
A.2B.5C.6D.7
3.(21-22高二上?陜西咸陽?期中)已知函數(shù)〃x)=4x-2+/^的定義域為18,:}則的最大值
為()
A.5B.-5C.1D.-1
2
4.(23-24高三?吉林?階段練習)已知x>3,貝l|y=-^+2*的最小值是()
x-3
A.6B.8C.10D.12
5.(23-24高三廣東佛山?模擬)函數(shù)〃同=尤+」三,x>l的最小值為()
X—1
A.1B.2C.3D.5
題型四:“1”的代換:基礎代換型
指I點I迷I津
“1”的代換
.利用常數(shù)Lx加=1代換法。多稱之為“1”的代換
m
1.(2022高三上?全國?專題練習)若。,6eR,仍>0且。+6=2,則的最小值為()
ab
A.2B.3C.4D.5
2.(23-24高三?貴州黔南?階段練習)已知尤,y>0且x+4y=l,則工+工的最小值為()
xy
A.4夜B.8C.9D.10
3.(23-24高三?河南南陽?階段練習)若。>0,6>0,。+3b=1,則的工+二最小值是()
a3b
A.2B.4C.3D.8
21
4.(22-23高一下?湖南邵陽?階段練習)設〃>0,匕>0,若2a+b=2,則一+7的最小值為()
ab
21
5.(22-23高三?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)已知x,y為正實數(shù),且—+—=2,則%+2)的最小值是()
A.2B.4C.8D.16
題型五:“1”的代換:有和有積無常數(shù)型
指I點I迷I津
有和有積無常數(shù)
形如+=,可以通過同除ab,化為g+4=t構(gòu)造"1”的代換求解
1.(23-24高三上?江蘇連云港?階段練習)若a>0,b>0,且a+6=",則2a+b的最小值為()
A.3+2夜B.2+2&C.6D.3-2&
2.(23-24高二上?陜西西安?期中)已知。>0,6>0且2"=a+2b,貝!|a+86的最小值為()
27
A.45/2B.10C.9D.
3.(2022?四川樂山?一模)已知尤>0,y>0,且4x+2,一孫=0,則2x+y的最小值為()
A.16B.8+4點C.12D.6+4及
4.(21-22高三?山西太原?階段練習)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則Q+〃的最小值為()
A.2B.3C.2+,\/2D.2+-\/3
5.(23-24高一下?廣西?開學考試)已知a>0,b>0,S.a+b=ab,則2必-a+7Z?的最小值是()
A.6B.9C.16D.19
題型六:“1”的代換:有和有積有常數(shù)型
指I點I迷I津
有和有積有常數(shù)
形如(M+〃y)+g='求7"+改型,可以對“積pxy”部分用均值,再解不等式,注意湊配對應的“和”
的系數(shù)系數(shù),如下:
/、/、〃/、/、/xp(mx)+(ny)
t=(rnx+ny)+pxy=(mx+ny)---(nvc)(ny)<\mx+ny)----(z---------)x2
mnmn2
1.(23-24高三產(chǎn)西渡雙)巨而*/+/=而+4,貝!ja+匕前猿改宿為()
A.2B.4C.8D.2V2
2.(23-24高三?甘肅?模擬)若正數(shù)〃,力滿足刈=々+)+3,則次?的取值范圍是()
A.(-co,6]B.[6,9]
C.[9,+a)D.[9,12]
3.(23-24高三?江蘇?模擬)已知正實數(shù)〃,b滿足"+〃+/?=8,則a+〃的最小值是()
A.8B.6C.4D.2
4.(23-24高三?安徽阜陽?模擬)已知正實數(shù)劉V滿足2x+y+6=w,記沖的最小值為〃;若帆幾>0且
1Q
滿足相+〃=1,記一+―的最小值為b.則Q+〃的值為()
mn
A.30B.32C.34D.36
5.(23-24高三,福建莆田,模擬)已知%>2,>>1,xy=x+2y+2,則%+y的最小值是()
A.1B.4C.7D.3+A/17
題型七:分母構(gòu)造型:分母和定無條件型
指I點I迷I津
無條件分母和定型
;二(,)+J(x)型「滿足
mf^x)+ng^x)=t(定值),則可以構(gòu)造
1
:…(x)一"/⑺+必可^_1
a+/(x)+
9!的最小值為()
1.(2020高三?全國?專題練習)一^+-
acosa
A.2B.16C.8D.12
一14
2.(21-22高三?福建莆田?期末)當Ov犬vl時,-+--的最小值為()
X1-x
A.0B.9C.6D.10
12
3.(2024?山西臨汾?三模)若Ovxvl,則一+;的最小值是()
x1-x
A.1B.4C.2+2垃D.3+20
1?5
4.⑵-23高三江蘇南通?模擬)函數(shù)“正癡+"(-1.)的最小值是()
7896
A.-B.—C.—D.一
6785
132
5.(23-24高三?四川成都?期中)若0<%<不,貝!]丫=<+丁丁的最小值為()
32xl-3x
B.6+4后C.9+76D.不
A.12
題型八:分母構(gòu)造型:分離型型
指I點I迷I津
對勾分離常數(shù)型(換元型)
“C型,可以通過換元f+〃分離降暴,轉(zhuǎn)化為對勾型
mx+n
L_______________________________________________________________________________________________-
1.(21-22高三?遼寧沈陽?模擬)若不等式號產(chǎn)>。在區(qū)間[0,1]上有解,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.ci<A/2—B.avlC.ci<.—D.a<2A/2—
232
2.(23-24高三?海南海口?階段練習)若函數(shù)/(尤)=立空±£在》€(wěn)[0,內(nèi))是增函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍
X+1
是()
A.(-8,2]B.[0,1]
C.D.[1,2]
3.(2020高三?河北石家莊?階段練習)已知x<3,則y=的最大值是()
x—3
A.-1B.-2C.2D.7
.丫2―y?1
4.(20-21高三?遼寧大連?模擬)24"是"關(guān)于-的不等式x丘(%>1)有解"的()
X—1
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5.(20-21高三?浙江紹興?期中)若,貝蜂=上^^—有()
2尤-2
A.最大值-IB.最小值-1C.最大值1D.最小值1
題型九:分母構(gòu)造型:一個分母構(gòu)造型
指I點I迷I津
單分母
形如a+6=t,求—+1■型,則可以湊配(°+加)+伍)=/+〃2,再利用“1”的代換來求解。
a+mb
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù),來進行變換湊配。
1.(23-24高三?浙江溫州?模擬)已知非負實數(shù)羽》滿足%+y=l,則一+一的最小值為()
x1+y
794
A.—B.2C.—D.一
353
2.(23-24局一下,福建南平,期中)已知a>0,b>0,2a+b-3=0貝!J.+的取小值為()
f2〃+17b
33
A.2B.1C.-D.-
24
7I
3.(23-24高三下?江蘇揚州?開學考試)已知實數(shù)。>1,b>0,滿足a+6=3,則義+1的最小值為(
a—1b
八3+2^D3+20r3+4003+4四
4224
i4
4.(23-24IWJ二,浙江,模擬)已知b>0,且。+工=2,則的最小值為()
ba-1
A.4B.6C.8D.9
44
5.(23-24IWJ三?廣東肇慶?模擬)已知a>0,b>l,a+---=1,則—的最小值為()
b-\a
A.15B.16C.17D.18
題型十:分母構(gòu)造型:兩個分母構(gòu)造型
指I點I迷I津
雙分母
形如a+6=f,求—1—+」—型,則可以湊配(a+M+0+〃)=f+〃z+〃,再利用“1”的代換來求解。
a+mb+n
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù),來進行變換湊配。
L⑵24?全國?模擬預測)設正實數(shù)“’6滿足a”=2‘則£+為的最小值為()
345
A2B.一C.一D.
?3456
2.(23-24高三?浙江?期中)已知且2a+Z?=3,則---+——的最小值為()
2a-12b-1
9i
A.1B.-C.9D.-
22
41
3.(23-24高三?江蘇徐州?階段練習)已知正實數(shù)滿足--+-=1,不等式相+恒成立,則實
a+bb+l
數(shù)機的取值范圍是()
A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8
4.(23-24高三上?江蘇南京?階段練習)已知非負實數(shù)X,y滿足一一+丁二=1,則x+y的最小值為()
3X+y2y+2
5.(23-24高三?湖北?階段練習)若x>0,y>0,且一二則3x+y的最小值為()
x+1x+2y
A.3B.275C.;+逐D.4+2君
題型十一:分離常數(shù)構(gòu)造型
指I點I迷I津
對于分式型不等式求最值,如果分子上有變量,可以通過常數(shù)代換或者分離常熟,消去分子上變量,轉(zhuǎn)化
為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解
cx+dcx+dccx+d
43x-7
1.(23-24圖二?廣東佛山?階段練習)已知正數(shù)x,丁滿足x+y-2,貝IJ+/的最小值是()
x+23y+4
1113527
A.—B.—C.—D.—
1616816
(高三上?廣東東莞?期中)已知為正實數(shù),且則生的最小值為()
2.23-24a,b0+?=1,±±1+±1
ab
A.1+25/2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2A/2
r2+4y2+1
3.(23-24高三?全國,期末)已知尤>0,>>0,且x+y=4,則^—+—的最小值為()
xy
725
A.4B.-C.——D.5
44
X22
4.(23-24高三?湖北武漢,模擬)已知%且無+>=1,則一—v的最小值為()
x+1y+2
111
A.-B.-C.1D.一
423
5.(22-23高一下?云南?階段練習)已知〃>一2,b>0,a+2b=3,則即+g的最小值為()
a+2b
A.4B.6C.8D.10
題型十二:換元構(gòu)造型
指I點I迷I津
若已知=r(定值),一^+77'型,則可通過線性換元,令[?產(chǎn)’?,反解出x,y
g(x,y)h[x,y)\b=h[x,y)
代入條件等式y(tǒng)),中,換元為簡單的條件不等式
?___________________________________________________________________________________________________
1.(23-24高三上?四川巴中?開學考試)已知x>y>0且4x+3y=l,則:的最小值為()
2x—yx+2y
A.10B.9C.8D.7
21
2.(23-24高三上?山東?階段練習)已知實數(shù)x,y滿足了>>>0,且3x-y=2,則——+——的最小值為
x+yx-y
()
A.3B.4C.5D.6
38
3.(21-22高三?河南洛陽?階段練習)已知正數(shù)x,3滿足(x+2y)y+(3x+2y)Y=2,則孫的最小值是()
381
4.(22-23高三上?江西南昌?階段練習)已知正數(shù)工,丁滿足白喬+西西1=1'則孫的最小值是()
5845
A.-B.一C.一D.一
4332
21
(2022?安徽合肥?模擬預測)已知正數(shù)X,y滿足+-=1,則x+y的最小值(
x+3y3x+y
A3+203+6_3+2五D3+及
A.----------RC.----------
4488
題型十三:分母拆解湊配型
指I點I迷I津
湊配拆解型
形如a+b=r,求—型,則可以湊配("+M+(bx+〃)=rS+b),再利用“1”的代換來求解。
ax+mbx+n
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù),來進行變換湊配
1.(22-23高三上?河北保定?階段練習)不等式/一4x+/,0的解集為口嬴后,其中0(根<4,貝!J
11
----------------1---------------的最小值為(
10a+2b4b-4a
1111
A.-B.—C.-D.—
2468
549
2.(22-23高三?河北承德?期末)已知正實數(shù)a/滿足。+6==,則一十+「「的最小值為()
3a+2b2a+b
A.6B.5C.12D.10
3.(19-20高三上?陜西榆林?階段練習)已知>=1嗝,-17)的值域為[私+劃,當正數(shù)a,b滿足
91
-——-+——不~=初時,則7a+4b的最小值為()
3a+ba+2b
A2R1r5+2「
44
4.(2024?四川成都?模擬預測)若是正實數(shù),且+=則。+6的最小值為()
3a+b2a+4b
42
A.-B.-C.1D.2
53
1323
5.(23-24高三下?河北?開學考試)已知。,b均為正實數(shù),且滿足一+1=2,則三一+7r1的最小值為
ab2a-l2b-3
()
A.2B.2A/2C.2A/3D.276
題型十四:萬能“K”型
指I點I迷I津
一般情況下的“萬能K法”
設K法的三個步驟:
團、問誰設誰:求誰,誰就是K;
回、代入整理:整理成某個變量的一元二次方程(或不等式);
回、確認最值:方程有解(或不等式用均值放縮),20確定最值。
求誰設誰,構(gòu)造方程用均值
1.(22-23高三上?江蘇南京?模擬)已知正實數(shù)x,V滿足x+'+4y+'=10,則x+4y的最大值為()
尤y
B.1C.2D.9
1Q
2.(2022?全國?高一課時練習)已知〃/為正實數(shù),且〃+〃=6+—+丁,則,+人的最小值為()
ab
A.6B.8C.9D.12
14
3.(2022秋?四川成都?高一成都外國語學校??计谥校┮阎龜?shù)〃/滿足〃+b+—+:=16,貝g+〃的最大值
ab
是.
14
4.(21-22高三上?湖北襄陽?期中)若正數(shù)無,丁滿足2x+2y+—+—=9,則工+丁的最小值是()
xy
153
A.-B.-C.-D.2
242
題型十五:均值不等式應用比大小
r旨?點?迷?津
幾個重要不等式
;(1)a2+b2>_2ab(a,beR);
[(2)ny[ab(a,匕£R);
(3)—l—22(a,b同號);
ba
\(4)e審]_或而(a,6eR);
:(5)尸葉2箍2口(a,beR,a,6>0)
L___2__?___3________a二_______________
1.(23-24高三下.全國?階段練習)已知。=1,6=ln/=(log67-l)ln5,則()
A.a>b>cB.b>c>a
C.a>c>bD.c>a>b
2.(2023?河南洛陽?一模)下列結(jié)論正確的是()
2U232023
log2023<log2022
A-1°§20212022<log20222023<^22B.20222021
20232023
C.^<log20222023<log20212022D.^<log20212022<log20222023
3.(22-23高三?江蘇常州?模擬)若a>方>7>1且a”#?,設a=bg/,b=\ogpa,c=logzj3,IJllJ()
A.a<b<cB.b<a<c
C.b<c<aD.c<a<b
4.(2022?全國?模擬預測)已知2
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