浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊《第四章相似三角形》單元測試卷及答案

第第頁浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊《第四章相似三角形》單元測試卷及答案一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．圖上1厘米，表示實際5米，這幅圖的比例尺為（）A．1：5 B．1：50 C．1：500 D．1：50002．如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上，則△ABC的重心是（）.A．點D B．點E C．點F D．點G3．若兩個相似三角形的相似比是1:2，則這兩個相似三角形的面積比是（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:84．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，且OA:OD=1:2，若△ABCA．4 B．22 C．16 5．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，若∠ADE=∠C，AD=2，AC=4，BC=6，則DE的長度為（）A．43 B．2 C．3 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△OCD是以原點O為位似中心的位似圖形．若OB=2OD，△OCD的周長為3，則△OAB的周長為（）A．6 B．9 C．12 D．307．如圖，下列條件不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠1=∠2，∠B=∠D B．ABC．∠1=∠2，ABAD=BCDE 8．如圖，在△ABC中，DE∥BC，則下列比例式不一定正確的是（）A．DEBC=ADAB B．ADAE=9．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）A．20?x2=20x B．x2=2020?x10．如圖，點A是反比例函數(shù)y=kxk<0,x<0圖象上的一點，過A作AB⊥x軸于點B，點D為x軸正半軸上一點且DO=2BO，連接AD交y軸于點C，連接BC．若△CODA．?3 B．?4 C．?5 D．?6二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．若ab=34，則12．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE∥BC，若△ADE與△ABC的周長之比為2：3，AD=4，則DB=。13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的面積為．14．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，且△AOB與△DOC的面積比是1：4，若AB＝6，則CD的長為．15．如圖，線段AB=9，AC⊥AB于點A，BD⊥AB于點B，AC=2，BD=4，點P為線段AB上一動點，且以A、C、P為頂點的三角形與以B、D、P為頂點的三角形相似，則AP的長為．16．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)在CD的延長線上，E在AD上，BE延長線交AF于點H，若AH=AB，DF=8，AE=9，則HF=．三、解答題（本題共8小題，第17題6分，第18題6分，第19題9分，第20題9分，第21題10分，第22題6分，第23題8分，第24題12分，共66分）17．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的頂點D，E在邊BC上，點F，G分別在邊AC，AB上．（1）求證：△DBG∽△EFC．（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的長．18．如圖，在由邊長為1的小正方形構(gòu)成的5×6的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．請按要求完成作圖：①僅用無刻度直尺；②保留作圖痕跡并標(biāo)注相關(guān)字母．（1）如圖1，在線段AC上找一點D，使得ADDC（2）如圖2，在三角形內(nèi)尋找格點P，使得∠BPC=2∠A．19．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，過點E作EF⊥EC交邊AB于點F，交CB的延長線于點G，且EF=EC．（1）求證：CD=AE；（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求CG的長．20．綜合與實踐主題：某數(shù)學(xué)實踐小組以標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表為例，探索視力表中的數(shù)學(xué)知識操作：步驟一：用硬紙板復(fù)制視力表中視力為0.1，0.2所對應(yīng)的“E”，并依次編號為①，②，垂直放在水平桌面上，開口的底部與桌面的接觸點為D1，D步驟二：如1圖所示，將②號“E”沿水平桌面向右移動，直至從觀測點O看去，對應(yīng)頂點P1，P結(jié)論：這時我們說，在D1處用①號“E”測得的視力與在D（1）探究：①如1圖，b1l1②由標(biāo)準(zhǔn)視力表中的b1=72mm，l1=5m，可計算出l（2）運用：如果將視力表中的兩個“E”放在如2圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心為點O，①號“E”與②號“E”的相似比為2:1，點P與點Q為一組對應(yīng)點．若點Q的坐標(biāo)為(?3,4)，則點P的坐標(biāo)為．21．已知，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，D為BC的中點，作∠MDN=30°，∠MDN繞D點旋轉(zhuǎn)．（1）提出問題：如圖1，當(dāng)∠MDN的兩邊分別交AB、AC于點E、F時.求證：△BDE∽△CFD；（2）類比探究：將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)到圖2情形時，∠MDN的兩邊分別交BA的延長線.邊AC于點E、F.①△BDE與△CFD的關(guān)系是▲（填相似或不相似）；②連接EF，求證：△BDE∽△DFE.（3）問題解決：根據(jù)圖2，設(shè)FE=x，△EDF的面積為y，試用x的代數(shù)式表示y.22．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項.（2）已知x：y＝4：3，求y?xy23．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的長．24．如圖，AB為⊙O的直徑，C為AB右側(cè)半圓上一點，且BC的長度是AC長度的2倍，D為AB左側(cè)半圓上一點，CD與AB交于點F，點E為CF上一點，且.∠CAE=∠ABC（1）求∠CAE的度數(shù).（2）求證：AC（3）若AB=8,參考答案與解析1．【答案】C【解析】【解答】解：∵5m=500cm，

∴圖上距離：實際距離=1cm：500cm=1：500

故答案為：C

【分析】比例尺=圖上距離：實際距離，單位需要一致.2．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，直線CD經(jīng)過△ABC的AB邊上的中線，直線AD經(jīng)過△ABC的BC邊上的中線∴點D是△ABC重心.故答案為：A.【分析】根據(jù)三角形的重心的定義“三角形重心是三角形三邊中線的交點”并結(jié)合網(wǎng)格圖的特征可判斷求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：兩個相似三角形的相似比是1:2，則這兩個相似三角形的面積比是1:4，故答案為：C．【分析】根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，OA:OD=1:2

∴周長比也為1：2

∵△ABC的周長為8，則△DEF的周長為2×8=16

5．【答案】C【解析】【解答】∵∠A=∠A,∠ADE=∠C，

∴△ABC~△AED,

∴DEBC=ADAC,

∴DE6=246．【答案】A【解析】【解答】解：∵△OAB和△OCD是以原點O為位似中心的位似圖形，OB=2OD，△OCD的周長為3，∴△OAB和△OCD的相似比為：2:1，∴△OAB和△OCD的周長比為：2:1，∴△OAB的周長為6；故答案為：A【分析】根據(jù)位似結(jié)合OB=2OD即可得到△OAB和△OCD的相似比為：2:1，進(jìn)而即可求解。7．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，

∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，

∵∠B=∠D，

∴△ABC∽△ADE，此選項不符合題意；

B、∵ABAD=ACAE=BCDE

∴△ABC∽△ADE，此選項不符合題意；

C、∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠DAE，

又∵ABAD=BCDE，

故答案為：C.【分析】根據(jù)“有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可判斷A選項；根據(jù)“三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似”可判斷B選項；根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似”可判斷兩個三角形相似，但給定的條件是“兩邊對應(yīng)成比例且其中一邊的對角相等”，這兩個條件不能判斷兩個三角形相似，據(jù)此可判斷C選項；根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似”可判斷D選項.8．【答案】B【解析】【解答】解：A.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBCB.∵DE∥BC，∴ADAEC.∵DE∥BC，∴ADDBD.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC故答案為：B.【分析】A、根據(jù)相似三角形的判定“平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的性質(zhì)可得比例式DEBC=ADAB；

B、根據(jù)平行線分線段成比例定理“兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例”可得比例式ADAE=BDEC≠DEBC9．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)他至少走x米，則較長線段長為20?x，則20?x2故答案為：A．

【分析】黃金分割點的定義：如果線段上一點把線段分成兩條線段，較長線段是較短線段和全長線段的比例中項，那么這個點就是線段的黃金分割點，根據(jù)定義列式即可作答．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵DO=2BO，

∴設(shè)BO=x，則DO=2x，

∴BD=3x，

∵AB⊥x軸，∠COD=90°，

∴∠ABD=∠COD=90°，

∴AB∥OC，

∴△DOC∽△DBA，

∴DOBD=OCAB=2x3x=23，

∴AB=32OC，

∵△COD的面積為4，

∴S△COD=12DO?OC=12·2x·OC=x·OC=4故答案為：D．【分析】設(shè)BO=x，則DO=2x，得BD=3x，易證AB∥OC，從而證出△DOC∽△DBA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得DOBD=OCAB=2311．【答案】7【解析】【解答】解：∵a∴a=3∴a+b故答案為：7.【分析】先根據(jù)等式用b表示出a，得到：a=312．【答案】2【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴C△ADEC△ABC=ADAB，

∴4AB【分析】首先求出△ADE和△ABC相似，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比列式，先求出AB的長，則DB的長可求.13．【答案】12【解析】【解答】解：由題意可得：

AC=AB2?BC2=8

由平移可得：DF||EC，DF=EC

∴四邊形DFCE為平行四邊形

∵點F是AB中點

故答案為：12【分析】根據(jù)勾股定理求出AC長，再根據(jù)平移性質(zhì)，平行四邊形的判定定理及性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例性質(zhì)即可求出答案。14．【答案】12【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴△BOA∽△COD，∴S△BOA∴14∴CD=12，故答案為：12【分析】先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△BOA∽△COD得到S△BOA15．【答案】1或3或8【解析】【解答】解：設(shè)AP=x，則BP=9-x，∵以A、C、P為頂點的三角形與以B、D、P為頂點的三角形相似，①當(dāng)ACBD=APPB時，②當(dāng)ACBP=APBD時，∴當(dāng)以A、C、P為頂點的三角形與以B、D、P為頂點的三角形相似時，AP的長為1或3或8，故答案為：1或3或8．

【分析】分類討論：①當(dāng)ACBD=APPB時，2416．【答案】2【解析】【解答】解：如圖所示，延長BE，CD交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，DF=8，AE=9，AH=AB，∴設(shè)AH=AB=AD=x，則DE=AD?AE=x?9，∵AB∥CD，∴△ABE∽△DGE，∴ABDG=AEDE，即∴FG=DG?DF=x∵AB∥CD，∴△ABH∽△FGH，∴ABFG=AH∴FH=x29∵∠ADF=90°，∴AD2+DF2∴FH=x故答案為：2．【分析】延長BE，CD交于點G，設(shè)AH=AB=AD=x，證得得到△ABE∽△DGE，代入得到DG=x29?x，進(jìn)而求得FG；然后同理證明出△ABH∽△FGH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABFG=AH17．【答案】（1）證明：∵四邊形DEFG是正方形，∴∠GDE＝∠FED＝90°，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，∴∠B＝∠EFC，∴△DBG∽△EFC；（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，∴DG＝DE＝EF，∵△DBG∽△EFC，∴BDEF＝DG∴BDDE∵BD＝4，CE＝3，∴4DE∴DE＝23或DE＝﹣23（舍去），∴DE＝23．【解析】【分析】

(1)先證明∠GDB＝∠FEC，∠B＝∠EFC，再證明△DBG∽△EFC即可。

(2)由△DBG∽△EFC得出線段間的比例關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可。18．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)連接格點M，N，構(gòu)造△AMD∽△CND，且相似比為1：4

(2)構(gòu)造三角形ABC的外心，即AB，BC的垂直平分線的交點P即可.19．【答案】（1）證明：在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°．∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC，在Rt△AEF和Rt△DCE中，∠FAE=∠EDC=90°∠AEF=∠ECD∴Rt△AEF≌Rt△DCE(AAS)．∴AE=CD．（2）解：∵AD=AE+4，∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2(AE+AE+4)=32．解得AE=6．∴AF=4，BF=2．由AD//BC可證△AEF∽△BGF．∴AE∴BG=3．∴CG=13．【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS證明Rt△AEF≌Rt△DCE，可得AE=CD；

（2）由矩形的性質(zhì)及線段的和差可得AD=AE+4，2(AE+AE+4)=32，據(jù)此求出AE，從而求出AF，BF的長，由AD∥BC可證△AEF∽△BGF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BG，繼而得出CG.20．【答案】（1）解：①相等，理由如下：∵由題意，得P1D1∥P2D2，∴（2）(?6,8)【解析】【解答】解：②∵b1=72mm，l1=5m，l2=3m，

∴725=b23，

∴b2=72×35=43.2；

故答案為：43.2；

（2）根據(jù)題意可知，點P的坐標(biāo)為（-3×2，4×2），即（-6，8）.

故答案為：（-6，8）.

【分析】（1）①根據(jù)題意證明△P1D21．【答案】（1）證明：∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，

∵∠MDN=30°，

∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，

∴∠DFC=∠BDE，

又∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD；（2）解：①相似②由①知：△BDE∽△CFD，

∴DEDF=BECD，

∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

∴DEDF=BE（3）解：連接AD，分別過到點D作DG⊥EB于點G，DH⊥EF于點H，

由（2）②知△BDE∽△DFE，

∴∠BED=∠DFE，

∴DG=DH，

∵AB=AC=6，點D式BC的中點，

∴∠ADB=90°，

∵∠B=30°，

∴AD=3，

∴BD=33，

∴DG=332，

∴DH=DG=332，

【解析】【解答】（1）

（2）①相似。

如圖2，

∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，

∵∠MDN=30°，

∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，

∴∠DFC=∠BDE，

又∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD；【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角定義得出∠DFC=∠BDE，進(jìn)一步即可得出△BDE∽△CFD；

（2）①根據(jù)（1）的思路可得△BDE與△CFD的的關(guān)系是相似；

②根據(jù)兩角對應(yīng)成比例且夾角相等，可證明△BDE∽△DFE；

（3）連接AD，分別過到點D作DG⊥EB于點G，DH⊥EF于點H，根據(jù)△BDE∽△DFE，可得出∠BED=∠FED，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出DH=DG，然后根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)可得出DH=DG=33222．【答案】（1）解：設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝±32∴線段a，b的比例中項是32.（2）解：設(shè)x＝4k，y＝3k，∴y?xy＝3k?4k3k＝【解析】【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，根據(jù)比例的性質(zhì)可得x2=ab，據(jù)此建立方程，求解檢驗即可；

（2）根據(jù)比例的性質(zhì)這x＝4