1998-歷年全國初中數(shù)學(xué)試題98-05

1998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷...........................1

1998年全國初中數(shù)學(xué)賽參考答案.............................................2

1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷...............................................8

1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽答案...............................................10

2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題解答..........................................21

2001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題B卷.....................................29

2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題..............................................31

2003年“TRULY?信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題.............................34

2003年“TRULY"信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案......................37

2004年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題..............................................45

2005年“卡西歐杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題..................................48

1998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷

一、選擇題：(每小題6分，共30分)

I、已知a、b、c都是實數(shù)，并且a>b>c,那么下列式子中正確的是()

cb

(A)ah>bc(B)a+b>h+c(C)a-h>h-c(D)—>—

ac

2、如果方程/+〃￥+1=0仿>0)的兩根之差是1,那么p的值為()

(A)2(B)4(C)V3(D)V5

3、在AABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那

么△ABC的面積等于()

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知并且竺2==*=那么直線丁=〃％+〃一定通過第()

cab

象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

9x—a>0

5、如果不等式組1的整數(shù)解僅為1,2,3,那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b

8x-8<0

的有序數(shù)對(a、b)共有()

（A）17個（B）64個（C）72個（D）81個

二、填空題：（每小題6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點，PE1BD,PF

±AC,E、F分別是垂足，那么PE+PF=o

7、已知直線y=—2x+3與拋物線y=V相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么AOAB

的面積等于。

8、已知圓環(huán)內(nèi)直徑為acm,外直徑為bcm,將50個這樣的圓環(huán)一個接一個環(huán)套地連成一

條鎖鏈，那么這條鎖鏈拉直后的長度為cm。

9、已知方程//一（3/-84,+2。2-13〃+15=0（其中a是非負整數(shù)），至少有一個

整數(shù)根，那么a=。

10、B船在A船的西偏北45。處，兩船相距10后km,若A船向西航行，B船同時向南航

行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離是km。

三、解答題：（每小題20分，共60分）

11、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1,NA=90。，點E為腰AC中點，點F/

在底邊BC上，且FE_LBE,求4CEF的面積。/

H

12、設(shè)拋物線丁=/+（24+1卜+2。+1的圖象與x軸只有一個交點，（1）求a

的值；（2）求秩+323d的值。

13、A市、B市和C市有某種機器10臺、10臺、8臺，現(xiàn)在決定把這些機器支援給D市

18臺，E市10臺。已知：從A市調(diào)運一臺機器到D市、E市的運費為200元和800元；

從B市調(diào)運一臺機器到D市、E市的運費為300元和700元；從C市調(diào)運一臺機器到D

市、E市的運費為400元和500元。

（1）設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺到D市，當(dāng)28臺機器調(diào)運完畢后，求總運費W（元）關(guān)

于x（臺）的函數(shù)關(guān)系式，并求W的最大值和最小值。

（2）設(shè)從A市調(diào)x臺到D市，B市調(diào)y臺到D市，當(dāng)28臺機器調(diào)運完畢后，用x、y表

示總運費亞（元），并求W的最大值和最小值。

1998年全國初中數(shù)學(xué)賽參考答案

一、選擇題

1.B

根據(jù)不等式性質(zhì).

2.D

由△=p2-4>0及p>2,設(shè)X],X2為方程的兩根，那么有xi+X2=-p,xjX2=l.又

由

(xpX2)2=(x]+X2)2-4X]x2,

得?=(-p)24/.p2=5,

p=V5(p>2).故選D.

3.C

如圖連ED,

則S四坊越BCDE=5BD?CE=12.

又丁DE是AABC兩邊中點連線.

_4_4_

,?S(IABC=gS四達用BCDE=1X12=16.

故選C.

4.B

a+b=pc,

由條件得＜b+c=pa,,三式相加，

a+c=pb.

得2(a+b+c)=p(a+b+c).

/.有p=2或a+b+c=O.

當(dāng)p=2時，y=2x+2.則直線通過第一、二、三象限.

當(dāng)a+b+c=O時，不妨取a+b=-c,于是

a+b/

P-------------1.(C盧0)

C

???y=-x-l,則直線通過第二、三、四象限.

綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限，故選B.

5.C

由原不等式組可得

yo

在數(shù)軸上畫出這個不等式組解集的可能區(qū)間，如下圖

T03123b45

98

不難看出3<^<4.

9o

由得0<a<9,

/.a=l,2,3-9,共9個.

由3<4得3X8<b<4X8,

O

...b=3X8+L3X8+2,3X8+3,…，3X8+8.共8個.

79X8=72(個)，故選C.

二、填空題

6.解如圖，過A作AGJ_BD于G,

???”等腰三角底邊上的任意一點到兩腰距離的和等于腰上的高”.

，PE+PF=AG.

VAD=12,AB=5,

；.BD=13.

12X5_6060

/.AG=13=I3.,.PE+PFl3,

7.解如圖，直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點坐標為A(l,1),B(-3,9),

作AA],BB]分別垂直于x軸，垂足為A],Bp

.??S/\OAB=S梯形AAiBiB-Sz\AAiO-SaBB]O

=lx(l+9)X(l+3)-1xiXl-lx9X3=6.

―--義2=2a+b(cm).

8.解如圖，當(dāng)圓環(huán)為3個時，鏈長為3a+2

當(dāng)圓環(huán)為50個時，鏈長為50a+2X上」=49a

2

+b(cm).

9.解,/a^O,解微i=：3=2

a-535

X==-------=1----.

aa

故a可取1,3或5.

10.解如圖，設(shè)經(jīng)過t小時后，A船、B船分別航行到A],Bp設(shè)AA]=x,

于是BB]=2x.

由AB=10應(yīng)，得AC=BC=10.

,

..A1C=|10-x|,B]C=[10-2x|.

/.AJBJ=J|10-X|2+|10-2X|2

=J5(X-6)2+20.

當(dāng)x=6時，A3i=26最小.

三、解答題

11.解法1過C作CD_LCE與EF的延長線交于D,

VZABE+ZAEB=90°,

ZCED+ZAEB=90°,

：.NABE=/CED.

于是RtZ\ABEs^CED,

.$ACDE_zCE2_1CE_AB_

S&EABAB4CDAE

又NECF=NDCF=45°,所以，CF是NDCE的平分線，點F至UCE和CD的距.離

相等.

.S&CEF=CE

S&CDFCD

s二s

°ACEF30ACDE3AABE

=2XJ.X—S=—

342AAsc24'

解法2作FH_LCE于H,設(shè)FH=h.

VZABE+ZAEB=90°,

ZFEH+ZAEB=90°,

AZABE=ZFEH.

ARtAEHF^RtABAE.

..EHAB.

.——=——=2,

FHAE

/.HC=--2h.

即EH=2h,2

又：HC=FH,

h=~―2h,h=—,.

26

?，?SACEP==lx

dCEF222624

12.解(1)因為拋物線與x軸只有一個交點，所以一元二次方程

X，+(2a+l)x+2a+9=0有兩個相等實根，于是

△=(2a+I)2-4(2a+-)=0,即a2-a-LO

,1土石

..a=---.

2

(2)由⑴知，a2=a+l,反復(fù)利用此式可得

a4=(a+l)2=a2+2a+1=3a+2,

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=2la+13,

a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610.

a18=(987a+610)(a+l)=987a2+1597a+610=2584a+1597.

又/=-____-________1_______

a6a4a2(3a+2)(a-1)

1

-8a+5'

a2-a-1=0,，64a2-64a-65=-1,

即(8a+5)(8a-13)=-l.

1

-8a+13.

8a+5

:.a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.解(1)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機器臺數(shù)分x,x,18-2x,發(fā)

往E市的機器臺數(shù)分別為10-x,10-x,2X-10.于是

W=200x+300x+400(l8-2x)+800(l0-x)+700(l0-x)+500(2x-l0)=-800x+17200.

b<x<io,.oCxCio,

X[0<18-2x<8,[5<x<9,

，5WxW9.

；.W=-800x+17200(5WxW9,x是整數(shù))

由上式可知，W是隨著x的增加而減少的，所以當(dāng)x=9時，W取到最小值10000

元；當(dāng)x=5時，W取到最大值13200元.

(2)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機器臺數(shù)分別為x,y,18-x-y,發(fā)

往E市的機器臺數(shù)分別是10-x,10-y,x+y-10,于是

W=200x+800(l0-x)+300y+700(l0-y)+400(l9-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17

200

0<x<10.

y-0<y<10.

0<18-x-y<8,

0<x<10,

10<x+y<18,

;.W=-500x-300y+17200,

0<x<10,

且，04yC10,(x,y為整數(shù))

10<x+y<18,

W=-200x-300(x+y)+l7200

2?200X10-300X18+17200=9800.

當(dāng)x=10,y=8時，W=9800.所以，W的最小值為9800.

又W=-200x-300(x+y)+17200W-200X0-300X10+17200=14200.

當(dāng)x=0,y=10時，W=14200,所以，W的最大值為14200.

1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷

一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分.每小題均給出了代號為A,B,C,

D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的.請將正確答案的代號填在題后的括號里）

1.一個凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°,那么n的最大值是（）.

A.11B.12C.13D.14

2.某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8

元收費；如果超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費.已知某用戶4月份的煤

氣費平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

--1<?|=1—+1?^|

3.已知。門,那么代數(shù)式。?的值為（）.

A.—B.--C.-V5D.V5

22

4.在三角形ABC中，D是邊BC上的一點，已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么

三角形ABC的面積是（）.

A.30B.36C.72D.125

5.如果拋物線y=x2-（k-l）x-k-l與x軸的交點為A,B,項點為C,那么三角形ABC

的面積的最小值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點P,使得4PCD與4BCD的面積相等，并

且4ABP為等腰三角形，這樣的不同的點P的個數(shù)為（）.

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分）

x=1J1

7.已知+&、巧-0,那么X：+y2的值為.

8.如圖1,正方形ABCD的邊長為10cm,點E在邊CB的延長線上，且

EB=10cm,點P在邊DC上運動，EP與AB的交點為F.設(shè)DP=xcm,AEFB與

四邊形AFPD的面積和為yen?,那么，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

（0<x<10）.

圖1

9.已知ab￥O,a2+ab-2b2=0,那么2a+b的值為.

10.如圖2,已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標系中，A,B兩點在第I象限

內(nèi)，0A與x軸的夾角為30°,那么點B的坐標是..

11.設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作用（如圖3）,將4的每條邊三等分，在

中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A?（如圖4）；

將Az的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3（如圖5）；再將船的每條

邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A”，那么人的周長是_____________.

12.江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等.如果

用兩臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完.如果要在

10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機臺.

三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）

13.設(shè)實數(shù)s,t分別滿足19s2+99s+1=0,t2+991+19=0,并且stWl,

st+4s+1

求t的值.

14.如圖6,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓0,對角線AC是直徑，對角線AC

和BD的交點是P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.

15.有人編了一個程序：從1開始，交錯地做加法或乘法（第一次可以是加

法，也可以是乘法）每次加法，將上次的運算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將

上次的運算結(jié)果乘2或乘3.例如，30可以這樣得到：

8—^10^^30.

(1)(10分)證明：可以得到22；

(2)(10分)證明：可以得到2'°°+2”—2.

1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽答案

一、1.C2.B3.D4.B5.A6.D

選擇題

1.解因為凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°,所以(n-2)?180°<1999°,

n-2V12,n<14.

又凸13邊形的內(nèi)角和為

(13-2)X180°=1980°<1999°,

故n的最大值是13.答(C).

2.解因為〉，所以這用戶4月份用的煤氣超過60立方米.設(shè)用了x立方米,

那么

6OXO.8+1.2(x-,

，x=75,75X0.88=66(元).答(B).

3.解由已知，可得到a,l+|a|都是正數(shù)，所以

a

(--|a[)2=1,4+|a「=3,(1+,歸=5,二+同=有.

aaaa

答(D).

4.解如圖，過點C作CH，AD于H,因為4ACD是等腰三角形，所以，在

直角三角形ACH中，AC=5,AH=3.于是CH=4.

5D=-AD?CH=1x6x4=12,

AAe22

a_BC_l5y1__?

SJLABC--x12-36?

答：(B).

5.解首先，A=(k-1)2+4(k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0,所以對于任意的k

值，拋物線與x軸總有兩個交點，設(shè)拋物線與x軸的交點的橫坐標為xi，X2,那么

=/k2+2k+5?

又拋物線的頂點坐標是0（土異，k，+：k+1）,所以

-=1U■三——二---二I1+2k+川

Si1ABeWJk+2k+5*-

=.Jg+2k+5）K

因為11-4-2k-+-5=（k+1）2+4>4,當(dāng)k=—1時等

毋成立，所以S&-c1.答，CA）.

6.解如圖，點P只能在直線1]（即直線BE）與直線12上，其中12與直線CD

的距離等于L與直線CD的距離，所以，等腰三角形PAB中，AB為底邊時，AB的

垂直平分線與11交于P1，與12交于P2.

等腰三角形PAB中，PA為底邊時，以B為圓心，BA為半徑在直線h上可截得

點P3、P4.等腰三角形PAB中，PB為底邊時，點E符合條件.

所以，共有P「P2,P3，?4-E五個點符合條件.答：（D）.

5十1/-1+后1+5、64

二、7.108.y=5x+509.33io.22H.912.6

填空題

7.解因為xy=J5+、加，所以

x2+y2=（近_短『+（、后+魚產(chǎn)=10.

8.解由DP=x得

PC=10-X,FB=^（10-x）.

所以y=Axl0xA（i0-x）4--i[10--1-（10-x）4-

x]X10

=5x+50.

9.解由a2+ab-2b2=0得a=b或a=-2b,

2a-b_2b—b_1

于是

2a-Ft>2b+E>3

2a—b_—4b—b_5

或

2a+t>—4b4-b3

10.解作AD_Lx軸于D,BE_Lx軸于E,AF_LBE于F.易知

△AFB^AADO,

FB=OD,FA=ED=DA.

因為OA=1,ZDOA=30°,

J-FA=ED=—.

2

XOI>='—DA2=，所以

2

EB=EF+=IDA+OI>=1+'后,

2

_1-i—、后

OE=or>-=OE>>。A=--------

2

所以.點B■的塵桿為（一1：6?

11.解從A］開始，每進行一次操作，所得

到的圖形的周長是原來圖形周長的2倍?

月f以V,A?的1唐）~^:是:等X3=4,_A.3^3唐）4^:是13X

-16.&it—i?+1?=?41664

4=§-A_4白勺J?JpC—x3=9-

12.解設(shè)開始抽水前管涌已經(jīng)涌出的水量為a立方米，管涌每分鐘涌出的

水量為b立方米，又設(shè)每臺抽水機每分鐘可抽水c立方米(cr0),由條件可得

{n-I-Ot>=NxOex

a.I1￡t>=x15o

;_1夕。c

_t>—J-■奉昱陽?-彳導(dǎo)/

t>=——Q

L三

如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，至水需要抽水機的臺數(shù)為

16020

a+10b3,+?

-JJ—rs

10c-10c-

E.13.解：TsWO,...第一個等式可以變形為:

+99@+19=0

又?.'stWl,

工

...S,t是一元二次方程x2+99x+19=0的兩個不同的實根，于是,

有

l+r=-99,l.f=19

55.

即st+1=-99s,t=19s.

st+4s+1-99s+4su

.??t195

14.解：設(shè)圓心為0,連接BO并延長交AD于H.

VAB=BD,0是圓心，

ABH±AD.

XVZADC=90°,

ABH//CD.

從而△0PBs/\CPD.圖7

CDCPBnCD0.6

BOPO'1.51.5-0.6,

；.CD=1.

22

于是AD=^C-CD==2點.

_i2

又OH=1CD=1,于是

AB=J>lff2+即2=72+4=J6,

BC=>lAC2-AB2=79^6=73.

所以，四邊形ABCD的周長為1+2/+啰+后.

15.證明：

(1)

^10^-^20—^22.

也可以倒過來考慮：

2220104^-^2^-^1.

(或者2—^4^^8—^11^^22.)

(2)

1上~3x2-4—^-3x2-21f3x2?-4—^93x2?-2」f3x23-4

—^3X23-2……(不斷乘以2,再加2)上f3x296-4—3x296-13-2。9+

或倒過來考慮:

10097_^^9996_^2_^9S)96

2+222+212+2_3^3^3X296_1^3^3X296_4

-^3X295-2

3x295-4—^f3x294-2」T3X294_4,

（不斷地除以2,再減去2）

—^3x23-2=22,

2220104^-^2^-^1.

注意：加法與乘法必須是交錯的，否則不能得分.

2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分）

1.設(shè)a、b、c的平均數(shù)為M,a、b的平均數(shù)為N,N、c的平均數(shù)為P.若a>b>c,則M

與P的大小關(guān)系是（）.

A.M=P

B.M>P

C.M<P

D.不確定

2.某人騎車沿直線旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（b<a）,再前

進c千米，則此人離起點的距離s與時間t的關(guān)系示意圖（圖1）是（）.

圖】

3.甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲.那么（）.

A.甲比乙大5歲

B.甲比乙大10歲

C.乙比甲大10歲

D.乙比甲大5歲

4.一個一次函數(shù)的圖象與直線y=54x+954平行，與x釉、y軸的交點分別為A、B,并且過點

（-1,-25）,則在線段AB上（包括端點A、B）,橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（）.

A.4個

B.5個

C.6個

D.7個

aa+b

5.設(shè)a,b,c分別為△ABC的三邊的長，且3a+b+ct則它的內(nèi)角NA、NB的關(guān)系

是（）.

A.ZB>2ZA

B.ZB=2ZA

C.ZB<2ZA

D.不確定

6.已知△ABC的三邊長分別為a、b、c,面積為S；4A'B'C'的三邊長分別為a'、b'、

c',面積為S',且a>a',b>b',c>c',則S與S'的大小關(guān)系一定是（）.A.S

>S'

B.SVS'

C.S=S'

D.不確定

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分）

7.已知a=游+也+/，那么3/a+3/aM-l/a^=.

B

DE

圖2

8.如圖2,在梯形ABCD中，AB〃CD,AB=8,BC=6亞，ZBCD=45°,ZBAD

=120°,則梯形ABCD的面積等于_

9.已知關(guān)于x的方程(a-1)x?+2x-a—1=0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有

個.

圖3

10.如圖3,工地上豎立著兩根電線桿AB、CD,它們相距15m,分別自兩桿上高出地面4m、6

m的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D,B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD

與BC的交點P離地面的高度為.m.

rB(15,6)

OA

圖4

11.如圖4,在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為(15,6),直線y=l/3x+b

恰好將矩形0ABC分成面積相等的兩部分，那么b=__.

12.某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4%,使得利潤率增加了8個百分點，

那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是—.

銷售價-進價

(注：利潤率=進價X100%)

三、解答題(本題共3小題，每小題20分，滿分60分)

13.設(shè)m是不小于一1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程x?+2(m—2)x+nV—3m+3=0有兩個不相

等的實數(shù)根x“x2.

(1)若X『+X2?=6,求m的值;

22

mN]+

(2)求1_勺]一芯2的最大值.

圖5

14.如圖5,已知四邊形ABCD的外接圓00的半徑為2,對角線AC與BD的交點為E,AE=

EC,AB=V2AE,且BD=2右.求四邊形ABCD的面積.

15.一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33

層中的某一層停一次.對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分

不滿意.現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層.問：電梯停在哪一層，

可以使得這32個人不滿意的總分達到最??？最小值是多少？(有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上

樓)參考答案

參考答案

一、選擇題

-、，a+c5a+b_N+ca+3+2c

1.?.?M=------------,N=-----，尸=------

3224

a+b-2c

M-P=

12

)c+c-2c

乂?：a>b>c,..--------------=0,

1212

.*.M>P.

2.因為圖A沒有反映休息所消耗的時間，圖D沒有反映沿原路返回的一段路程，圖B盡管表明了折

返后s的變化，但沒有表示消耗的時間，所以上述三圖均有誤，故選C.

3.設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，顯然x>y,依題設(shè)，有

y—(x—y)=10,①

x+(x-y)=25,②

②一①，得x—y=5.

故選A.

4.設(shè)y=5x/4+b,由-25=5/4X(-1)+b,得b=-95/4,二y=5x/4-95/4.A

有A(19,0),B(0,-95/4).

由y=5(x-19)/4,0WxW19,取x=3,7,11,15,19時，y是整數(shù).

因此，在線段AB上(包括端點A、B),橫、縱坐標都是整數(shù)的點有5個.選B.

5.由條件，得a'+ab+ac=ab+b~,即

b2=a(a+c),

.\b/a=(a4-c)/b.

如圖6,延長CB至D,使BD=AB,于是CD=a+c.

在△ABC與△DAC中，NC為公共角，且AC/BC=DC/AC,

AAABC^ADAC,NBAC=ND.

???NBAD=ND,

故NABC=ND+NBAD=2ND=2NBAC.選B.

6.構(gòu)造aABC與4A'B'C‘如下：

(1)作△ABCS^A'B'C',顯然S/S'=(a/a')2>1,即S>S'.

(2)設(shè)a=b=7101,c=20,則hc=l,S=10,a'=b'=c'=10,則S'=J

/4X100>10,即有SVS'.

(3)設(shè)a=b=VlOl,c=20,則h0=1,S=10,a'=b'=729,c'=10,則hJ

=2,S'=10,即有S=S'.

因此，S與S'的大小關(guān)系不確定.選D.

二、填空題

7.因為(北一1)a=2-1,即1/a=%一1,

所以3/a+3/al+l/a'=[3+3/a+1/a/a

=(瑜7乂3+3(短7)+服_訓(xùn)

=(時-1)(彝+時+1)=2-1=1.

8.作AE、BF垂直于DC,垂足分別為E、F.

由BC=6亞，ZBCD=45",得AE=BF=FC=6.由NBAD=120°,得NDAE=

30°.因AE=6,得DE=2看.

AB=EF=8,DC=2后+8+6=14+2右.

所以S極修ABC尸(8+14+2右)72X6=66+6^3.

9.(1)當(dāng)a=1時，x=1.

2

(2)當(dāng)aWl時，易知x=l是方程的一個整數(shù)根，再由l+x=l一以且x是整數(shù)，知1—a=土1,

±2.

所以a=-L0,2,3.

由(1)、(2)得符合條件的整數(shù)a有5個.

10.作PQ_LBD,垂足為Q,設(shè)BQ=xm,PQ=ym.由AB〃PQ〃CD,得

y/6=x/15,①

4-15②

①+②得5y/12=l,所以y=12/5=2.4,即點P離地面的高度為2.4m.

11.設(shè)矩形OABC的對角線的交點為P,則P是它的對稱中心，P點的坐標為(7.5,3).過矩

形對稱中心的直線，總是將矩形分成面積相等的兩部分.將P點的坐標代入y=x/3+b,得b=l/2

(或0.5).

一―五

12.設(shè)原進價為x元，銷售價為y元.那么按原進價銷售的利潤率為XX100%,原進價降低后

y-93.6%x丁一文y-93.6%x

在銷售時的利潤率為93.6%xxioo%,根據(jù)題意，得xxioo%+8%=93.6%xx100%,

解得y=1.17x.

1.17x-x

故這種商品原來的利潤率為XX100%=17%.

三、解答題

13.因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A=4?(m-2)2-4(m-3m+3)=-4m+4>0,

解得mVI.

結(jié)合題設(shè)知一lWmVl.

2

(1)因為X5+X22=(x1+x2)"—2x)x2=4(m—2)~—2(m?—3m+3)=2m—10m+10,

所以2m2—10m+10=6,

5-Vn

解方程，并考慮一IWmVl,故111=2

=心飛一川+苫???！?]

(1-々)(1-叼)

2

_幽NJ+x2-XrX2(X1+X2)

一占一X?+1

_冽[(2加2-10w+10)+(冽*-3m+3)(2掰-4)]

(m1-3fn+3)+(2加-4)+1

_幽(2幽3g幽2+gw-2)

冽2—冽

_2也伽一1)(加'-3冽+1)

m(m-1)

=2(m2—3m4-l).

設(shè)y=2(m2—3m+l)=2(m—3/2)2—5/2,—IWmVl.因為y在一IWmVI上是遞減的,

所以當(dāng)m=-1時，，y的最大值為10.

MX、2+mx)2

故1-再1-*2的最大值為10.

14.由題設(shè)得AB?=2AE?=AE?AC,

AB/AC=AE/AB.

又NEAB=NBAC,

AAABE^AACB,

???NABE=NACB,

AB=AD.

連結(jié)AO,交BD于H,則BH=HD=J3,所以

OH=《O那-BH，

AH=OA—OH=1,

SAAHD=12BD?AH=

因為E是AC的中點，所以SAABE=SABCE,SDE=SACDE，

??SZiABD=SABCD.

???S四邊形ABCD=2S△ABD=2V.

15.易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人.對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層

數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù).事實上，設(shè)住s層的人乘電梯，而住t層的人直接上樓，s<

t.交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少.

設(shè)電梯停在第x層，在第一層有y個人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為

s=3[1+2+-+(33-x)]+3(1+2H----1-y)+[1+2+-+(x-y-2)]

_3x(33-x)(34-x)3y(y+1)(x-y-2)(x-.y-1)

2