2020-2021學年北京市大興區(qū)九年級上學期 期末數(shù)學試卷 解析版

2020-2021學年北京市大興區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AB=5,8c=4,則sin4的值是（）

A.AB.3c.AD.3

5435

2.若三至，則立的值是（）

v2y

A.1B.2C.3D.1

22

3.如圖，直線直線/4,/5被直線/l,12,/3所截，截得的線段分別為AB,BC,

DE,EF.若AB=4,8c=6,DE=3,則EF的長是（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

4.將拋物線y=-2?先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（）

A.y=-2（x+1#+3B.>>=-2（^-1）2-3

C.y=-2（x+1）2-3D.y=-2（x-1）2+3

5.如圖，點A是函數(shù)），=2（x>0）圖象上的一點，過點A分別向x軸，y軸作垂線，垂足

X

為B,C,則四邊形A30C的面積是（）

A.3B.6C.12D.24

6.如圖，。0的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E.若NA=30°,AC=2,則C￡）的長是（）

2V3C.2

7.拋物線yuo?+bx+c經過點（1,0）,且對稱軸為直線x=7,其部分圖象如圖所示.下

列說法正確的是（）

A.acX)B.b2-4ac<0

C.9a-3b+c>0D.atn1+bm<a-b(其中"z#-1)

8.如圖，A8是。。的直徑，點尸是。。上一個動點（點P不與點A,8重合），在點尸運

動的過程中，有如下四個結論：

①至少存在一點P,使得

②若窟=2司，則PB=2R4；

③NB4B不是直角；

@ZPOB=2ZOPA.

上述結論中，所有正確結論的序號是（)

C.②③④D.①②④

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

9.已知反比例函數(shù))一四的圖象分布在第二、第四象限，則機的取值范圍是.

x

10.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線的交點，則N4BC與N8CD的

大小關系為：ZABCZBCD(填“>”，“=”或

11.拋物線y=-3(x-2)2-4的頂點坐標是

12.如圖，在RtZkABC中，ZA=90°,AB-=AC,8。是AC邊上的中線，則tanNAOB的

值是.

13.若扇形的圓心角為120。，半徑為2,則該扇形的面積是(結果保留it).

14.請你寫出一個函數(shù)，使得當自變量x>0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，這個函數(shù)的解

析式可以是.

15.如圖，在△ABC中，AB>AC,將aABC以點A為中心順時針旋轉，得到△/!￡：￡>,點。

在8C上，OE交AB于點￡如下結論中，

①D4平分NEQC；

②△AEFsXDBF；

③NBDF=NCAD；

@EF=BD.

所有正確結論的序號是.

16.已知拋物線y^a^+bx+c(a>0)經過A(2,0),B(4,0)兩點.若P(5,yi),Q

Gn,j2)是拋物線上的兩點，且yi>",則，〃的取值范圍是.

三、解答題（本題共52分，第17-21題，每小題5分，第22題6分，第23-25題，每小題

5分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（5分）計算:2sin45°+|遂-1|-tan60°+（n-2）°.

18.（5分）已知拋物線y=/+bx+c經過點（1,-4）,（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線與x軸的交點坐標.

19.（5分）下面是小青設計的“作一個30°角”的尺規(guī)作圖過程.

己知：線段A8.

求作：NAPB,使得NAPB=30°.

作法：

①分別以點A,B為圓心，A3的長為半徑作弧，兩弧交于C,。兩點；

②以點C為圓心，CA的長為半徑作（DC；

③在優(yōu)弧AB上任意取一點P（點尸不與點A,B重合），連接用，PB.

則NAPB就是所求作的角.

根據(jù)小青設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AC,BC.

：AC=BC=AB,

...△ABC是等邊三角形.

是優(yōu)弧AB上一點，

AZAPB=^ZACB（）（填寫推理依據(jù)）.

2

；./APB=30°.

II

AB

20.（5分）在數(shù)學活動課上，老師帶領學生測量校園中一棵樹的高度.如圖，在樹前的平

地上選擇一點C,測得樹的頂端4的仰角為30°,在C,8間選擇一點。（C,D,B三

點在同一直線上），測得樹的頂端A的仰角為75°,CO間距離為20m求這棵樹AB的

高度.（結果保留根號）.

21.(5分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/：y=fcv+l(ZW0)與函數(shù)丫=典(x>0)

x

的圖象G交于點A(1,2),與x軸交于點B.

(1)求匕m的值;

(2)點P為圖象G上一點，過點P作x軸的平行線PQ交直線/于點。，作直線外交

：4,求點P的坐標.

點。在對角線AC上，以。為圓心，0C的長為半徑

的。。與AC,C￡)分別交于點E,F,且/D4F=/BAC.

(1)求證：直線AF與。。相切;

(2)若48=4,求O。的半徑.

23.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a?+bx+4+l(〃<0)的對稱軸為直線犬=

1.

(1)用含有〃的代數(shù)式表示R

(2)求拋物線頂點用的坐標；

(3)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點.過點P(0,“)作x軸的平行線交拋物線于A,

B兩點.記拋物線在點A,8之間的部分與線段AB圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.

①當。=-1時，直接寫出區(qū)域卬內整點的個數(shù)；

②若區(qū)域W內恰有3個整點，結合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

24.(7分)在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,。是射線CA上一點，連接BD,

以點8為中心，將線段8。順時針旋轉60°,得到線段BE,連接AE.

(1)如圖1,當點。在線段C4上時，連接Z)E,若。則線段AE,BE的數(shù)量關

系是;

(2)當點。在線段。的延長線上時，依題意補全圖形2.

①探究線段AE,BE的數(shù)量關系，并證明；

②直接寫出線段CO,AB,AE之間的數(shù)量關系.

25.(7分)在平面直角坐標系xOy中，已知線段AB和點P,給出如下定義：若%=PB且

點戶不在線段AB上，則稱點P是線段A8的等腰頂點.特別地，當NAPB290°時，稱

點P是線段AB的非銳角等腰頂點.

(1)已知4(2,0),B(4,2)

①在點C(4,0),D(3,1),￡(-1,5),F(0,5)中，是線段AB的等腰頂點的是:

②若點P在直線y=^+3(AW0)上，且點尸是線段AB的非銳角等腰頂點，求A的取值

范圍；

(2)直線y=-返x+“與x軸交于點與y軸交于點N.0P的圓心為P(0,f),

3

半徑為、B，若0P上存在線段MN的等腰頂點，請直接寫出,的取值范圍.

2020-2021學年北京市大興區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

I.如圖，在Rt/XABC中，NACB=90°,AB=5,BC=4,則sinA的值是（）

3

5

【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可.

【解答】解：在RtZ\ABC中，NACB=90°,AB=5,BC=4,

貝ijsinA=^^=2,

AB5

故選：A.

2.若三=1,則立的值是（）

y2y

A.ZB.2c.3D.1

22

【分析】直接利用已知得出x=§y,進而代入化簡得出答案.

【解答】解：：?三至

y2

故選：A.

3.如圖，直線/1〃/2〃/3,直線Z4,/5被直線/1,12,/3所截，截得的線段分別為AB,BC,

DE,EF.若AB=4,BC=6,DE=3,則EF的長是（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

【解答】解：,?,直線

?ABDE

??而聲

：A8=4,8c=6,DE=3,

???4—==3.一，

6EF

；.EF=4.5,

故選：B.

4.將拋物線y=-2f先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是()

A.y—~2(x+1)2+3B.y--2(x-1)2-3

C.y=-2(x+1)2-3D.y=-2(x-1)2+3

【分析】由拋物線平移不改變二次項系數(shù)a的值，根據(jù)點的平移規(guī)律“左加右減，上加

下減”可知移動后的頂點坐標，再由頂點式可求移動后的函數(shù)表達式.

【解答】解：原拋物線的頂點為(0,0),向右平移1個單位，再向上平移3個單位后，

那么新拋物線的頂點為：(1,3).

可設新拋物線的解析式為y=-2(x-ft)2+k,代入得y=-2(x-1)2+3.

故選：D.

5.如圖，點A是函數(shù))，=2(x>0)圖象上的一點，過點A分別向x軸，y軸作垂線，垂足

X

為B,C,則四邊形A30C的面積是()

A.3B.6C.12D.24

【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義求解.

【解答】解：矩形OABC的面積=|川=6.

故選：B.

6.如圖，O0的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E.若NA=30°,AC=2,則CD的長是（)

C.2D.73

【分析】利用垂徑定理得到CE=DE,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系求出

CE,從而得到C￡>的長.

【解答】解：?.?ABLCD,

：.CE=DE,

在RtZ\ACE中，VZA=30°,

：.CE=1AC=^X2=\,

22

：.CD=2CE=2.

故選：C.

7.拋物線），=0?+及+。經過點（1,0）,且對稱軸為直線x=-l,其部分圖象如圖所示.下

列說法正確的是（）

A.”c>0B.b2-4ac<0

C.9a-3b+c>0D.an/+而?<“-/,（其中mw-i）

【分析】利用拋物線開口方向得到“VO,利用拋物線與y軸的交點位置得到c>0,則可

對A選項進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3,

0）,則根據(jù)判別式的意義可對B選項進行判斷；由于x=-3時，），=0,則可對C選項錯

誤；根據(jù)二次函數(shù)的最值問題可對。選項進行判斷.

【解答】解：?.?拋物線開口向下，

；拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，

：.ac<0,所以A選項錯誤：

???拋物線的對稱軸為直線x=-1,拋物線與x軸的一個交點坐標為（1,0）,

拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3,0）,

；.△=/-4ac>0,所以8選項錯誤；

".'x--3時，>=0,

：.9a-3b+c=0,所以C選項錯誤；

-1時，y有最大值，

'.an?+bm+c<a-b+c,

即airr+bm<a-b,所以。選項正確.

故選：D.

8.如圖，AB是。。的直徑，點P是。。上一個動點（點P不與點A,B重合），在點尸運

動的過程中，有如下四個結論：

①至少存在一點P,使得布>AB；

②若席=2寸，貝IJPB=2R4；

③/以8不是直角；

（4）ZPOB=2ZOPA.

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①③B.③④C.②③④D.①②④

【分析】根據(jù)圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關系解決問題即可.

【解答】解：①至少存在一點P,使得%>A8,錯誤.不存在.

②若降=2而，則PB=2B4,錯誤，應該是P3V2B4.

③/%B不是直角，正確.

@ZP0B^2Z0PA.正確.

故選：B.

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

9.已知反比例函數(shù)丫=旦的圖象分布在第二、第四象限，則〃?的取值范圍是m<0.

x

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質，結合圖像所在的象限，求出，”的取值范圍.

IU

【解答】?.?反比例函數(shù)yq圖像在第二、四象限,

m<0

10.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,O是網(wǎng)格線的交點，則/A8C與/BC。的

大小關系為：ZABCZBCD（填“>”，"=”或

【分析】連接AC,BC,根據(jù)勾股定理得到AC2=BC2=8￡)2=22+I2=5,AB2=CD2=32+]2

=10,求得AC2+BC2=AB2,BL^+BduCD2,于是得到/ABC=NBCf)=45°,進而得

到結論.

【解答】解：連接AC,BD,

根據(jù)勾股定理得到AB2=CZ)2=32+l2=10,

.'.A^+BC^^AB2,B*+Bd=Ca,

...△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，

...NA8C=NBCQ=45°.

故答案為：=.

11.拋物線y=-3（x-2）2-4的頂點坐標是（2,-4）

【分析】直接由拋物線解析式可求得答案.

【解答】解：-3（x-2）2-4,

拋物線頂點坐標為（2,-4）,

故答案為:（2,-4）.

12.如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC,8。是AC邊上的中線，則tan/AOB的

值是2.

【分析】根據(jù)中線的性質和A8=AC,可得到A￡>與AB間關系，利用直角三角形的邊角

間關系可直接得結論.

【解答】解：???BD是AC邊上的中線，

:.AD=1AC.

2

'：AB=AC,

J.AD^IAB.

2

在Rt/\ABD中，

tan/AOB=-j^-=2.

yAC

故答案為：2.

13.若扇形的圓心角為120。，半徑為2,則該扇形的面積是IJT（結果保留n）.

-3-

【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可.

【解答】解：■“=12答，R=2,

?C-120HX22_4K

.?D-----------------?

3603

故答案為2n.

3

14.請你寫出一個函數(shù)，使得當自變量x>0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，這個函數(shù)的解

析式可以是—、尸2（答案不唯一）.

X

【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質得出答案

【解答】解：???當自變量x>0時，函數(shù)），隨x的增大而增大，

只要反比例函數(shù)比例系數(shù)0就符合題意，

/.y=-2（答案不唯一）.

X

故答案為：y=-2.

X

15.如圖，在△ABC中，AB>AC,將△ABC以點A為中心順時針旋轉，得到△AED,點。

在8c上，DE交AB于點F.如下結論中，

①D4平分/EDC；

②bAEFsXDBF；

③/BDF=NCAD；

④EF=BD.

所有正確結論的序號是①②③.

【分析】根據(jù)旋轉的性質對①進行判斷；利用“兩角法”對②中的相似三角形進行判斷;

利用三角形的外角性質對③進行判斷；利用全等三角形判定的條件對④進行判斷.

【解答】解：①由旋轉的性質知：AD=AC,ZADE=ZC.

'：AD=AC,

：.ZADC^ZC.

：./ADC=NADE,即DA平分/E￡>C.

故①符合題意；

（2）'：ZE=ZB,NAFE=NBFD,

：.AAEFSADBF.

故②符合題意；

③；NADB=ZADE+ZBDF=ZC+ZCAD,ZADE=ZC,

:.NBDF=NCAD.

故③符合題意;

④物。不一定等于NCAO,AD=AD,ZADC=ZADE,

...不能證明△AOF全等于△A￡>C,

故CD不一定等于DF.

.?.Of-。尸=BC-C。不一定成立，即無法證明EF=BD.

故④不符合題意.

故答案是：①②③.

16.已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經過4(2,0),B(4,0)兩點.若P(5,yi),Q

(m,”)是拋物線上的兩點，且yi>”，則，7?的取值范圍是l</nV5.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線x=-l,即可求得

點P(5,yi)關于直線x=-1的對稱點為(1,yi),根據(jù)點的坐標特征即可得出答

案.

【解答】解：：拋物線、=加+以+。(a>0)經過A(2,0),8(-4,0)兩點，

...該拋物線的對稱軸為直線x=2哇=-1,函數(shù)圖象開口向上，

2

.?.點P(5,yi)關于直線x=-1的對稱點為(1,yi),

Vyi>y2,

故答案為1<機<5.

三、解答題(本題共52分，第17-21題，每小題5分，第22題6分，第23-25題，每小題

5分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.(5分)計算：2sin45°+|遂-1|-tan60°+(ir-2)°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值的性質和零指數(shù)幕的性質分別化簡得

出答案.

【解答】解：原式=2X返+近-1-?+1

2

=V2-*V2-1-V3+1

=2V2-V3.

18.(5分)己知拋物線y=7+bx+c經過點(1,-4),(0,-3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線與x軸的交點坐標.

【分析】(1)把兩已知點的坐標代入尸中得到關于b、c的方程組，然后解方程

組；

（2）通過解方程?-2x-3=0可得到拋物線與x軸的交點坐標.

【解答】解：（1）???拋物線y=f+fex+c經過點（1,-4）,（0,-3）,

,fl+b+c=-4；解得（b=-2,

Ic=_3Ic=-3

拋物線解析式為-2x-3；

（2）當y=0,則/-2x-3=0.解得xi=-l,X2=3,

...拋物線與x軸的交點坐標是（7,0）,（3,0）.

19.（5分）下面是小青設計的“作一個30°角”的尺規(guī)作圖過程.

已知：線段A8.

求作：NAP8,使得NAPB=30°.

作法：

①分別以點4,8為圓心，A8的長為半徑作弧，兩弧交于C,C兩點；

②以點C為圓心，C4的長為半徑作。C；

③在優(yōu)弧AB上任意取一點P（點P不與點A,8重合），連接M,PB.

則NAP8就是所求作的角.

根據(jù)小青設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AC,BC.

：AC=BC=AB,

.,△ABC是等邊三角形.

AZACB=60°.

是優(yōu)弧AB上一點，

AZAPB=1ZACB（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）（填寫推理

2

依據(jù)）.

：.ZAPB=^30°.

II

AB

【分析】（1）根據(jù)小青設計的尺規(guī)作圖過程，即可補全圖形；

（2）根據(jù)作圖過程可得△ABC是等邊三角形，再根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的

圓心角的一半.即可完成證明.

【解答】解：（1）補全的圖形如圖所示:

（2）證明：如圖，連接AC,BC.

...△ABC是等邊三角形.

AZACB=60°.

是優(yōu)弧AB上一點，

AZAPB^XZACB（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）.

2

...NAPB=30°.

故答案為：60；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

20.（5分）在數(shù)學活動課上，老師帶領學生測量校園中一棵樹的高度.如圖，在樹前的平

地上選擇一點C,測得樹的頂端A的仰角為30°,在C,8間選擇一點。（C,D,B三

點在同一直線上），測得樹的頂端A的仰角為75°,C。間距離為20〃?，求這棵樹A8的

高度.（結果保留根號）.

【分析】作。E，AC,垂足為E,根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出結果.

【解答】解：如圖，作。EJ_AC,垂足為E,

在Rt^CEQ中，

：.DE=\Om.

cosC=-^5.,

_CD

,MCE

240

；.CE=1O?(M.

*/NAO8是△AC。的外角，

ZADB=15°,ZC=3O°,

：.ZCAD=45°.

在RtZsADE中，

VtanZ￡AD=^P.=i,

AE

.\AE=]Om.

：.AC=AE+CE^(IO+IOA/3)m.

在RtZ\A8C中，VsinZC=.^.,

AC

(5+55/3)m-

答：這棵樹A8的高度是(5+573)m.

21.(5分)如圖，在平面直角坐標系％Oy中，直線/：y=kx+\(ZW0)與函數(shù)丁=螞(x>0)

x

的圖象G交于點A(1,2),與x軸交于點艮

(1)求2,m的值；

(2)點P為圖象G上一點，過點P作R軸的平行線尸。交直線/于點。，作直線而交

X軸于點C,若SziAPQ：SMCB=1：4,求點尸的坐標.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；

（2）分兩種情況討論，通過證得△APQS/\ACB,從而得到旭」，即可求得P點的坐

AG2

標.

【解答】解：（1）將點A（1,2）代入）=丘+1（人力0）中，得葉1=2,

：.k=l,

將點A（1,2）代入y=&（x>0）中得m=2；

X

（2）①當點P在點A下方時，

過點4作軸，交直線PQ于點H,

???P。平行于x軸，

:.AAPQs叢ACB,

S

：.(APX2^.AAPQZAH)2=1

ACJSAACB4

?AH1

??二"一，

AG2

,點A(1,2),

...點p縱坐標為1.

'：m=2,

二尸點坐標為(2,1).

②當點P在點A上方時，

過點A作AG_Lx軸，交直線PQ于點從

XAPQsXkCB.

...(AP)2=^AAPQ_AH2=1,

ACSAACBAG4

???AH~1>

AG2

?.?點A(1,2),

點縱坐標為3.

代入yj?得，X上，

x3

???P點坐標為心，3)，

3

點坐標為(2,1)或(2,3).

3

22.(6分)如圖，在矩形A8CO中，點。在對角線AC上，以。為圓心，0C的長為半徑

的。。與AC,CO分別交于點E,F,且ND4尸=/A4C.

(1)求證：直線AF與。0相切；

(2)若tan/D4F=返，AB=4,求。。的半徑.

2

D

B

【分析】（1）連接。F.由等腰三角形的性質得出NOCF=NOFC.由矩形的性質得出/

B=ND=NDCB=90：證得/AFO=90°.則可得出結論;

（2）由勾股定理求出AC=2近,求出AF的長，設OO的半徑為r,由勾股定理得出（2網(wǎng)

-r）2=J+i2,解方程可得出答案.

【解答】（1）證明：連接。尺

\'OC=OF,

:.NOCF=/OFC.

?.?四邊形"CO是矩形，

AZB=ZD=ZDCB=9Q0.

又；NDAF=NBAC,

NAFZ)=ZACB,

VZACB+ZACD=90°,

:.NAFD+NOFC=90°.

ZAFO=90°.

OF1AF于F.

直線AF與。。相切；

(2)解：'：tanZDAF=^-,ZDAF=NBAC,

2

/.tanZBAC=y-=-.

2

VZB=90°,

；.tanNBAC=W=返.

AB2

VAB=4,

：.BC=2yf2>

AC=VAB2+BC2=2V6'

又?.?四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD=2-/2-

又；NO=90°,tan/￡）AF=2Zl,

2

：.DF=AD-tanZDAF=2y[2X^-=2.

2

設。。的半徑為r,在RtZXAFO中，NAPO=90°.

：.OA2=OF2+AF2.

即（2加-r）2=A12.

解得r=退.

2_

.??O。的半徑為逅.

2

23.（7分）在平面直角坐標系x0），中，拋物線>=以2+公+4+1（〃<0）的對稱軸為直線苫=

1.

（1）用含有a的代數(shù)式表示〃；

（2）求拋物線頂點M的坐標；

（3）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點.過點P（0,a）作x軸的平行線交拋物線于A,

B兩點.記拋物線在點A,8之間的部分與線段AB圍成的區(qū)域（不含邊界）為W.

①當。=-1時，直接寫出區(qū)域W內整點的個數(shù)；

②若區(qū)域W內恰有3個整點，結合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式即可求得；

（2）把/?=-2a代入y=ax2+Z?x+“+l得：y—ax2-2ax+a+l.把解析式化成頂點式即可求

得；

（3）①當a=-1時，拋物線經過原點，此點關于對稱軸的對稱點為（2,0）,畫出圖象,

根據(jù)圖象，即可求得；

②分兩種情況，當拋物線過（-1,0）時和當拋物線過（0,-2）時，畫出函數(shù)的圖象,

結合圖象確定有3個整數(shù)點時a的值，進而確定。的范圍.

【解答】解：（1）???拋物線），=/+公+〃+1（a<0）的對稱軸為直線x=l.

??b—--2a；

（2）把b=-1a代入y=ax2+bx+a+］得：y=ax2-2ax+a+\,

配方得：y=a（x-1）2+l.

，頂點加（1,1）；

（3）①當a--1時，a+l=0,

.?.拋物線與y軸的交點為（0,-0）,此點關于對稱軸的對稱點為（2,0）,如圖1,

由圖象可知，區(qū)域W內整點有（1,0）1個；

②由①得，a=-l時，區(qū)域W內有1個整點.

（I）當拋物線過（-1,0）時，區(qū)域W內恰有3個整點.如圖2,

結合圖象可得，-l<a<-A;

4

（II）當拋物線過（0,-2）時，區(qū)域W內恰有3個整點.如圖3,

??**R*??z

圖3

將（0,-2）代入y=cv?-2"+。+1,

得a--3.

綜上所述，〃的值范圍是或〃=-3.

4

24.（7分）在RtZ\A8C中，ZC=90°,N8AC=30°,。是射線C4上一點，連接B。,

以點8為中心，將線段8。順時針旋轉60°,得到線段BE,連接AE.

(1)如圖1,當點。在線段CA上時，連接。E,若OELAB,則線段4E,BE的數(shù)量關

系是AE=BE；

(2)當點。在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2.

①探究線段AE,8E的數(shù)量關系，并證明；

②直接寫出線段C。，AB,4E之間的數(shù)量關系.

【分析】(1)由旋轉的性質得出BD=BE,Z￡?B￡=60°,由等腰三角形的性質得出/

DBA=NDAB,得出QE是AB的垂直平分線，則可得出結論；

(2)由題意補全圖形，

①過點￡作EMLAB于M.證明(4AS).由全等三角形的性質得出BC

=BM,由直角三角形的性質得出可得出ME是AB的垂直平分線，則可得

2

出結論；

②由①得出AE=8O,根據(jù)勾股定理可得出答案.

【解答】解：(1)AE=BE.

?.?將線段8。順時針旋轉60°,得到線