數(shù)學(xué)例題與探究：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知函數(shù)y=3sin（x-），(1)用“五點法”畫函數(shù)的圖象；（2）說出此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；（3)求此函數(shù)的周期、振幅、初相；(4）求此函數(shù)的對稱軸、對稱中心、單調(diào)遞增區(qū)間.思路解析：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。五點法畫函數(shù)y=3sin（x-）的圖象時，應(yīng)先找出五個關(guān)鍵點，這五個點應(yīng)該是使函數(shù)取得最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點，找出它們的方法是利用整體思想，由ωx+φ=0，，π，，2π來確定對應(yīng)x的值。求函數(shù)的對稱軸、對稱中心、單調(diào)遞增區(qū)間也是應(yīng)用整體策略來解決。答案：(1)列表：x—0π2πxy030—30描點：在直角坐標系中描出下列各點(，0)，（，3），（，0)，（，—3)，(，0)。連線：將所得五點法用光滑的曲線連接起來，得到所求函數(shù)的圖象,如圖1—圖1這樣就得到了函數(shù)y=3sin(x—）在一個周期內(nèi)的圖象,再將這部分向左或向右平移4kπ（k∈Z）得函數(shù)y=3sin(x-)的圖象.（2)方法一：（相位變換在周期變換的前面）①把y=sinx的圖象上所有的點向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin(x—)的圖象;②把y=sin（x-）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變），得到y(tǒng)=sin(x—）的圖象；③將y=sin（x—）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到y(tǒng)=3sin(x-)的圖象.方法二:（周期變換在平移變換的前面）①把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變）,得到y(tǒng)=sin(）的圖象；②把y=sin()的圖象上所有的點向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin(x-）=sin(-)的圖象;③將y=sin（x—）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)，就得到y(tǒng)=3sin(x-)的圖象.(3）周期T===4π，振幅A=3，初相是-。（4）令x—=+kπ，解得x=+2kπ，k∈Z，即函數(shù)的對稱軸是直線x=+2kπ（k∈Z）.令x—=kπ,解得x=2kπ+,k∈Z，即對稱中心為（+2kπ，0)(k∈Z).令—+2kπ≤x—≤+2kπ，k∈Z，解得—+4kπ≤x≤+4kπ，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-+4kπ，+4kπ］（k∈Z).綠色通道:（1)對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，應(yīng)明確A、ω決定“形變”，φ決定“位變”，A影響值域，ω影響周期，ω、φ影響單調(diào)性。當選用“伸縮在前，平移在后"的變換順序時，一定注意針對x的變化,向左或向右平移｜｜個單位；（2）畫y=Asin（ωx+φ）的圖象常用五點法和變換法;(3）求三角函數(shù)周期的一般方法是：先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ）的形式,再利用公式T=進行求周期,有時還利用圖象法求周期；(4)對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ)+b的單調(diào)性、對稱性的研究,運用整體策略處理,把ωx+φ看作一個整體，化歸為正弦函數(shù)y=sinx來討論，問題自然就迎刃而解。變式訓(xùn)練1（2006福建高考卷,理9）已知函數(shù)f（x）=2sinωx(ω＞0）在區(qū)間［—,］上的最小值是-2，則ω的最小值等于(）A。B。C.2D。3思路解析：思路一：根據(jù)函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0）圖象的大致位置可得≤，又T=，所以有2ω≥3，即ω≥。思路二：（代入驗證法)當ω=時，f（x）=2sin(x)，畫圖象得在區(qū)間［-,]上的最小值是f(-)=2sin(-)＞-2，故排除A項；當ω=時，f（x）=2sin（x)，畫圖象得在區(qū)間［—，］上的最小值是f(—）=-2,故排除C、D兩項.答案：B變式訓(xùn)練2(2006四川高考卷，理5文6)下列函數(shù)中，圖象的一部分是圖1-圖1A。y=sin（x+)B.y=sin（2x-)C.y=cos(4x-)D.y=cos(2x-）思路解析：從圖象看出，T=+=，∴函數(shù)的最小正周期為π.∴ω==2.∴排除A、C兩項；∵圖象過點（-，0），代入B項,有f（—）=sin(—-)=—1≠0?！嗯懦鼴.答案：D變式訓(xùn)練3（2005天津高考卷，文8)要得到函數(shù)y=2cosx的圖象，只需將函數(shù)y=2sin（2x+)的圖象上所有的點的()A。橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）,再向左平行移動個單位長度B.橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度C。橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變),再向左平行移動個單位長度D。橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度思路解析:由于y=cosx=sin(x+）,則將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得函數(shù)y=sin(x+）的圖象;再將函數(shù)y=sin(x+）的圖象向左平行移動個單位長度得到函數(shù)y=sin（x+），即函數(shù)y=cosx的圖象。答案：C變式訓(xùn)練4（2005全國高考卷Ⅰ，理17）設(shè)函數(shù)f（x)=sin(2x+φ）(-π＜φ＜0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.(1）求φ;(2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3)畫出函數(shù)y=f(x）在區(qū)間［0,π］上的圖象.思路分析:主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，以及推理和運算能力。正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與其對稱軸交點的縱坐標是函數(shù)的最值.解:(1）∵x=是函數(shù)y=f（x)圖象的對稱軸，∴sin(2×+φ）=±1?！?φ=kπ+，k∈Z?！唳?kπ+，k∈Z.∵-π＜φ＜0，∴-π＜kπ+＜0.∴—＜k＜-∴k=-1。∴φ=-.(2）由（1)知y=sin（2x-).令2kπ—≤2x—≤2kπ+，k∈Z，∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間是［kπ+,kπ+］（k∈Z).(3）由y=sin（2x—)知x0πy--1010-故函數(shù)y=f（x)在區(qū)間[0,π]上的圖象如圖1—圖1例2已知sinα=—，α∈［0，2π］，求角α。思路分析:考查由已知三角函數(shù)值求角.由正弦函數(shù)的圖象可知在區(qū)間[0，2π］內(nèi)符合條件的角有兩個。解:∵sinα=—＜0，∴α是第三或第四象限角。又∵α∈［0，2π］，∴在區(qū)間（π，)和(，2π）內(nèi)各有一個符合題意的角。∵0＜arcsin＜，∴π＜π+arcsin＜，＜2π-arcsin＜2π。∵sin(π+arcsin)=—sin（arcsin）=—,sin(2π-arcsin)=—sin(arcsin)=-，∴α=π+arcsin或2π—arcsin。綠色通道:由已知三角函數(shù)值求角，所得的解可能不是唯一的.一般地說，在0-2π內(nèi)有兩個角（特殊情況，若是象限界角，可能只對應(yīng)一個角），其解法步驟:（1）由已知三角函數(shù)值的符號，確定α所在象限；(2)先求出與其函數(shù)值的絕對值對應(yīng)的銳角α1，再根據(jù)α所在象限，得出0—2π的角;(3）寫出所求角的大小。黑色陷阱:書寫所求的角時，不要將弧度與角度混在一起寫,如180°—,π+40°的寫法都是錯誤的。變式訓(xùn)練A為△ABC的內(nèi)角，且滿足sinA=,求角A的值.思路分析:由角A的范圍和三角函數(shù)值來確定.解:∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0＜A＜π。由正弦函數(shù)的圖象知，在(0,π）內(nèi)有兩個角和的正弦值等于,∴A=或。例3(2006浙江金華一模設(shè))x∈（0，π），則sin+的最小值是__________________.思路解析:本題考查三角函數(shù)的值域和函數(shù)的最值.利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見函數(shù)的最值。設(shè)sinx=t,∵x∈(0,π),∴0＜t≤1。∴+=+?？梢宰C明當0＜t≤1時，函數(shù)y=+是減函數(shù).∴當t=1時，y取最小值，即+的最小值是.答案:綠色通道:求三角函數(shù)最值的方法是換元法，化歸為求常見函數(shù)的最值.變式訓(xùn)練設(shè)a＞0,對于函數(shù)f（x）=(0＜x＜π)，下列結(jié)論正確的是()A.有最大值而無最小值B。有最小值而無最大值C。有最大值且有最小值D.既無最大值又無最小值思路解析：利用換元法.令t=sinx，0＜x＜π，則t∈（0,1］，那么函數(shù)f(x)=(0＜x＜π）的值域為函數(shù)y=1+,t∈（0，1］的值域，又a＞0，可以證明y=1+,t∈（0,1]是減函減，所以函數(shù)f（x）有最小值而無最大值。答案：B例4已知函數(shù)y=f（x)滿足f(x+2)=f（x-2),求證：函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù).思路分析:考查周期函數(shù)的定義。只需找到一個非零實數(shù)T，滿足f(x+T)=f(x).解:令x—2=t，則x=t+2，于是由f(x+2)=f（x-2),得f(t)=f［(t+2）+2］=f（t+4).∴f(t)=f（t+4）?！鄁（x+4）=f(x）?！嗪瘮?shù)y=f(x）是周期函數(shù)，4是一個周期.綠色通道：證明周期函數(shù)最常用的是定義法，即只需找到一個非零實數(shù)T，對定義域內(nèi)任意x總有f(x+T）=f（x）成立，其難點是如何找到T，要想能夠找到T,需靠平時經(jīng)驗的積累。而此類問題中常結(jié)合換元法共同解決。變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f（x)的定義域為R，且對任意實數(shù)x，總有f（x）=f(x—1）+f(x+1),求證：f（x）為周期函數(shù).思路分析:周期函數(shù)的定義是證明一個函數(shù)為周期函數(shù)的重要方法,證明的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件找到定義中的不為零的常數(shù)T.解:由題意得：對任意實數(shù)x,有f（x+2)=f(x+1）+f(x+3）=［f（x)+f(x+2)]+f(x+3)。∴f（x+3）+f(x)=0。∴f(x+3）=—f(x）。∴f（x+6）=f［(x+3)+3］=—［f（x+3）］=-［—f（x)］=f（x）。∴f（x+6）=f(x）。∴f(x）為周期函數(shù)，6是它的一個周期。變式訓(xùn)練2（2006山東高考卷，理6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x）滿足f(x+2)=—f(x）,則f（6)的值為()A。—1B。0C.1思路解析:∵f（x+2）=—f(x)，∴函數(shù)f(x）是周期函數(shù)，4是一個周期?！鄁（6)=f（4+2)=f(2）.又f（2)=f（0+2)=—f(0）,∴f（6)=-f（0）.又∵f（-0)=—f(0），∴f（0)=0。∴f（6)=0。答案：B問題探究問題1三角函數(shù)最重要的特征之一就是它的周期性，那么具備什么特征的函數(shù)是周期函數(shù)？所有周期函數(shù)都有最小正周期嗎？導(dǎo)思:探究思路是從周期函數(shù)的定義和圖象的特點上分析的.探究:對定義域中的每一個x值來說，只有個別的x值滿足f(x+T)=f（x)或只差個別的x值不滿足f(x+T）=f（x)都不能說f（x)是周期函數(shù)。例如函數(shù)f（x）=x2-2x，f(—1+4）=f（—1）=3，但是f(1+4)=15≠f(1)=—1,所以函數(shù)f(x)=x2-2x不是周期函數(shù).那么具備什么特征的函數(shù)是周期函數(shù)呢？這要從周期函數(shù)的定義來分析：只要存在非零常數(shù)T，對定義域中的每一個x值總有f（x+T)=f（x）成立，就稱函數(shù)y=f(x）是周期函數(shù).T就是函數(shù)的一個周期;從周期函數(shù)的圖象上來分析:如果函數(shù)的圖象每隔“一段”重復(fù)出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就是周期函數(shù).要注意：從等式f（x+T)=f（x）來看，應(yīng)強調(diào)的是給自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f（2x+T）=f(2x)，T不是周期，而應(yīng)寫成f（2x+T)=f［2(x+）］=f(2x)，則是f(x）的周期。對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期.但并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。例如常數(shù)函數(shù)f(x）=C（C為常數(shù)),x∈R，當x為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f（x)的定義域內(nèi)的每一個值x，都有f(x+T）=f（x），因此f（x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者,所以此函數(shù)f(x)沒有最小正周期.再如狄利克萊函數(shù):D(x）=設(shè)r是任意一個有理數(shù),那么當x是有理數(shù)時，x+r也是有理數(shù)，當x是無理數(shù)時，x+r也是無理數(shù)，就是說D（x)與D(x+r)或者同時等于1或者同時等于0，因此總有D(x+r)=D（x)，所以D(x）是周期函數(shù)，r是D（x）的周期,由于r可以是任一有理數(shù),而正有理數(shù)集合中沒有最小者，所以D（x)沒有最小正周期.對于周期函數(shù)還應(yīng)當注意，“f（x+T）=f（x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即它對定義域內(nèi)的每一個值都成立，T是非零常數(shù)，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值；周期函數(shù)的周期不只一個，若T是周期，則kT（k∈N＊)一定也是周期；在周期函數(shù)y=f（x)中，T是周期，若x是定義域內(nèi)的一個值，則x+kT也一定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域一定是無限集,就是說,周期函數(shù)的定義域一定無上界也無下界.問題2在學(xué)習(xí)正切函數(shù)性質(zhì)時，與正弦、余弦函數(shù)對比，要注意些什么問題？導(dǎo)思：探究思路1：分析定義域;探究思路2：分析圖象；探究思路3：分析圖象的畫法；探究思路4:分析定義。探究：正切函數(shù)y=tanx，其定義域不是R,而是x≠kπ+（k∈Z),值域不是［-1，1]，而是R。又正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的定義不同，因此一些性質(zhì)與正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)有了較大的差別。如正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，而正切函數(shù)則是無界函數(shù)；正弦、余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，反映在圖象上是連續(xù)無間斷點，而正切函數(shù)在其定義域上不連續(xù)，它有無數(shù)條漸近線x=kπ+（k∈Z），圖象被這些漸近線分割開來；正余弦函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間又有單調(diào)減區(qū)間，而正切函數(shù)僅有單調(diào)遞增區(qū)間（kπ—，kπ+）（k∈Z)，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.同作為三角函數(shù)，它們也存在許多相同點：如均為周期函數(shù)，且對y=Atan(ωx+φ)（ω＞0)而言，T=，y=tanx是奇函數(shù)，它的圖象既可以用三角函數(shù)線作出，又可以類似于“五點法"用“三點兩線法”作簡圖，這里三個點為（kπ,0）,（kπ+,1),(kπ—，—1）,直線x=kπ+,直線x=kπ—（其中k∈Z），作出這三個點和這兩條漸近線，便可得到y(tǒng)=tanx在一個周期上的簡圖。還需注意的是，對正弦、余弦函數(shù)的結(jié)論作一般的推廣到正切函數(shù)，需論證后加以應(yīng)用。例如y=｜sinx｜的周期是y=sinx的周期的一半，而y=｜tanx|與y=tanx的周期卻相同，均為π,再如y=sinωx+cosax的周期可用最小公倍數(shù)法求，而y=tanωx+cotax的周期用最小公倍數(shù)計算時不一定是最小正周期.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期是，而函數(shù)y=Atan（ωx+φ）的周期是.問題3觀察正弦函數(shù)y=sinx的圖象,你發(fā)現(xiàn)有什么對稱性？并證明你的結(jié)論.導(dǎo)思:探究思路是由特殊到一般,利用歸納推理，先歸納，再猜想出結(jié)論，最后利用對稱的定義作出證明.也可以用計算機探究。探究：觀察正弦函數(shù)y=sinx的圖象，發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)對稱軸為直線x=±,±,±,…；對稱中心為(0，0),(±π，0），（±2π，0）,（±3π,0)，….由此可猜想正弦函數(shù)的對稱軸為直線x=kπ+(k∈Z），并且每條對稱軸與正弦曲線的交點的縱坐標是函數(shù)的最值；對稱中心為（kπ,0）(k∈Z）,并且正弦函數(shù)圖象與x軸的交點均是正弦函數(shù)圖象的對稱中心。下面給出證明：設(shè)點P(x，sinx)是正弦函數(shù)y=sinx的圖象上任意一點，點P關(guān)于直線x=kπ+(k∈Z）的對稱點M（2kπ+π-x，sinx)，點P關(guān)于點（kπ，0）的對稱點Q(2kπ—x，—sinx)。∵sin(2kπ+π—x）=sinx,sin（2kπ-x）=—sinx，∴點M和點Q均在正弦函數(shù)y=si