2021年上海七年級數(shù)學(xué)期末測試專題-第14章 三角形章節(jié)壓軸題專練

第14章三角形章節(jié)壓軸題專練

I能力提升

一、單選題

1.（2019?上海七年級課時練習(xí)）如圖，OP//QR//ST下列各式中正確的是（）

A.Z1+Z2+Z3=18O°B.N1+N2-N3=9O,

C.Z1-Z2+Z3=9OD.Z2+Z3-Z1=18O

【答案】D

.?.N2=N4,

；N3與NESR互補,

.,.ZESR=180°-Z3,

是aFSR的外角，

.,.ZESR+Z1=Z4,即180°-Z3+Z1=Z2,

/.Z2+Z3-Z1=180°.

故選D.

考點：平行線的性質(zhì).

2.（2018?上海市第八中學(xué)七年級月考）如圖所示，已知點F、E分別在AB、AC上，且AE=AF,

當(dāng)滿足下列條件仍無法確定的AABE烏4ACF是（）

A.AB=ACB.CF=BEC.BF=CED.ZB=ZC

【答案】B

【分析】由條件隱含條件是公共角NA,AE=AF,然后再逐個添加條件，如果不符合判定法則，

即為答案.

【詳解】解：結(jié)合已知條件：可發(fā)現(xiàn)A選項滿足SAS;C選項和已知條件AE=AF,可說明AB=AC,滿

足SAS即C可以；B選項添加條件后變?yōu)镾SA,但SSA不能證明三角形全等，故B錯誤；D選項滿足

ASA;

故選B

【點睛】本題考查添加一個條件讓三角形全等，SSA不能證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

3.（2019?上海閔行區(qū)?七年級期中）如圖，對面積為1的小鉆。逐次進行操作：第一次操

作，分別延長A8、BC、C4至點4、B］、C,,使得A8=2AB,B】C=2BC,C,A=2CA,

順次連接4、4、￡,得到A418G,記其面積為S”第二次操作，分別延長為巴、B￡、

GA至點4、B2、C2,使得&4=24與、BQ=2BC、=2。小，順次連接&、B2C2,

得到A4282c2,記其面積為邑，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到M&CG，則其面積52=

【答案】361

【分析】根據(jù)三角形等高時底之比等于面積比得出AA8C的面積為AABC面積的兩倍，則

△44。的面積是AA8C的2倍…，以此類推，得出A&B2G的面積.

【詳解】

連接AC,,根據(jù)A8=2AB,A41BC的面積為AABC的2倍，所以郎田。的面積

為2；同理想耳。的面積為AABC的2倍，所以A4#C的面積為4；

以此類推：A4cBi的面積為2,A4G用的面積為4,的面積為2,A4￡G的面積為4

/.A4,BC=4=19,即△ABC面積為AABC面積的19倍，以此類推“與C2的面積為

MBC面積的0倍，所以AA/2G=S2=19?x1=361.

故答案為：361

【點睛】利用三角形的底與高之間的數(shù)量關(guān)系判斷面積的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2019?上海奉賢區(qū)?）如圖，已知AADC的面積為4,AD平分N8AC,且4）,80于

點O,那么AABC的面積為.

【答案】8

【分析】延長BD交AC于點E,則可知AABE為等腰三角形，則SAHS皿：,可得出義,、“二

GSAW.即可求出答案.

2

【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E,

；AD平分NBAE,ADXBD,

ZBAD=ZEAD,ZADB=ZADE,

在4ABD和aAED中，

NBAD=NEAD

<AD=AD,

ZBDA=ZEDA

AAABD^AAED（ASA）,

???BD=DE,

=

??SAABDSAADE，SABIX^SACDE9

???SAABD+SABDC=SAADE+SACDI^SAAIK-,

SAADC~-SAABC,

2

??=2x4=8；

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，由BD=DE得

至USAABD=SAADE,SABIGSACDE是解題的關(guān)鍵.

5.（2019?上海普陀區(qū)?七年級期末）已知一個等腰三角形的三邊長都是整數(shù)，如果周長是

10,那么底邊長等于.

【答案】2或4

【分析】設(shè)等腰三角形的腰是X,底是y,然后判斷1至4中能構(gòu)成三角形的情況.

【詳解】設(shè)等腰三角形的腰是x,底是y,.?.2x+y=10

當(dāng)x取正整數(shù)時，x的值可以是：從1到4共4個數(shù)，

相應(yīng)的y的對應(yīng)值是：8,6,4,2.

經(jīng)判斷能構(gòu)成三角形的有：3、3、4或4、4、2,

故答案為2或4.

【點睛】此題考查二角形的二邊關(guān)系及等腰二角形的定義，首先根據(jù)周長找到整數(shù)的邊長的

情況，判斷其是否為等腰三角形即可解答.

6.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級月考）在中，AB=AC,把AABC折疊，使點3與

點A重合，且折痕交邊A3于點M，交邊于點N.如果AC4N是以CN為腰的等腰三角

形，則D8的度數(shù)是_______.

【答案】45。或36°

【分析】是AB的中垂線，則AABN是等腰三角形，且NA=NB,即可得到

ZB=ZBAN=ZC.然后對AANC中的邊進行討論，然后在AABC中，利用三角形內(nèi)角和

定理即可求得D8的度數(shù).

【詳解】解：?.?把A46C折疊，使點3與點A重合，折痕交AB于點M，交BC于點N,

.?.MN是A3的中垂線.：.NB=NA.：.ZB=ZBAN,

?.?AB=AC，.-.ZB=ZC.

設(shè)ZB=x。，則NC=N￡L47V=x。.

1）當(dāng)⑷V=NC時，NGW=NC=x°.

則在MBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：4%=180,

解得：x=45。則4=45°；

18（）_x

2）當(dāng)C4=GV0寸，NNAC=ZANC=------.

在AA8C中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到：x+x+x+------=18（）.

2

解得：x=36。.故DB的度數(shù)為45?；?6。.

故答案為：45。或36°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角，正確對AANC的邊進行討論是解題的

關(guān)鍵.

7.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級期末）如圖，8/平分NABD,CE平分NACO,BF與

CE交于G,若NBDC=m。,ZBGC=n°,則NA的度數(shù)為.（用〃?，〃表示）

【答案】2n°-m°

【分析】連接BC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得NDBC+NDCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理及三角形角平分線的定義可求得NABC+NACB的度數(shù)，從而不難求得/A的度數(shù).

【詳解】連接BC.VZBDC=m",ZDBC+ZDCB=180°-m°,

VZBGC=n°,AZGBC+ZGCB=180°-n°,

ZGBD+ZGCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°,

???BF是NABD的平分線，CE是NACD的平分線，

ZABD+ZACD=2ZGBD+2ZGCD=2m°-2n°,

/.ZABC+ZACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°,

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°,

故答案為2n°-m°.

【點睛】本題考查的是二角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題

的關(guān)鍵.

8.(2018?上海市第八中學(xué)七年級月考)如圖,在△ABC中，ZA=58°,AB=AC,BD=CF,BE=CD,

貝ijZEDF=度。

【答案】61°

【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)求得NB的大小，再證明4EBD也△DFC,得到/DEB=NFDC;又

由三角形內(nèi)角和為NBED+NB+/EDB=180°,即ZFDC+NB+/EDB=180°,可得/FDC+N

EDB=180°-/B由因為/BDC是平角可得：ZEDF=180°-(/FDC+/EDB),即可完成作答。

【詳解】解：?等腰三角形ABC

在aEBD和aDFC中

BD=CF

<NB=NC

BE=CD

.,.△EBD^ADFC(AAS)

NDEB=NFDC

又；在aEBD中，ZBED+ZB+ZEDB=180

AZFDC+ZEDB=180°-ZB=119°

又ZEDF+(ZFDC+ZEDB)=180°

.,.ZEDF=180°-(ZFDC+ZEDB)=180°-119°=61°

故答案為61°。

【點睛】本題考查了等腰三角形和全等三角形的知識，特別是角的等量代換成為本題解答的

關(guān)鍵。

9.（2018?上海市第八中學(xué)七年級月考）如圖，^ABC中，ZC=90°,DE1AB,ZBAD=ZCAD,

BE=2,AC=4,貝i]AB=。

【答案】6

【分析】根據(jù)已知條件判定△CDATaEDA,然后利用其性質(zhì)得到AE=AC,又AB=AE+EB,即可求出

答案。

【詳解】解：由題意得：

ZAED=ZC

-/BAD=ZCAD

AD=AD

.,.△CDA^AEDA（AAS）

Z.AE=AC=4

又?；AB=AE+EB

；.AB=4+2=6

故答案為6.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、全等三角形的判定以及線段和差，其中分析出利

用全等正確線段的相等是解題的關(guān)鍵。

10.（2018?上海市第八中學(xué)七年級月考）如圖，已知CDJ_AB于點D,BEJ_AC于點E,CD、

BE交于點0,且AO平分NBAC,則圖中的全等三角形共有對。

［分析］先利用已知條件和隱含條件AO=AO確定△ADOgAAEO,然后再利用由全等得到的條件,

繼續(xù)判定其他三角形的全等。

【詳解】解：VCD±AB,BE±AC,A0平分NBAC

A.ZAD0=ZAE0=90°,ZDAO=ZEAOAO=AO

.,.△ADO^AAEO；(AAS)

,\OD=OE,AD=AE

ZDOB=ZEOC,ZODB=Z0EC=90°

.二△BOD絲△COE：

，.BD=CE,OB=OC,ZB=ZC

VAE=AD,NDAC=NCAB,ZADC=ZAEB=90°

.,.△ADC^AAEB；(ASA)

；.AD=AE,BD=CE

XV.AB=ACOB=OC,AO=AO

△ABO^AACO.(SSS)

故答案為4..

【點睛】本題考查全等三角形的綜合知識，特別是在確定三角形全等后，再應(yīng)用全等三角形

的性質(zhì)得到條件，再證明其他三角形全等，是解答本題的關(guān)鍵。

11.(2018?上海市第八中學(xué)七年級月考)一個三角形有兩邊長分為3與2。若它的第三邊的

長為偶數(shù)。則它的第三邊長為。

【答案】2或4

【分析】根據(jù)三角形的邊的關(guān)系，求得第三邊的取值范圍，在結(jié)合偶數(shù)條件，即可確定答案。

【詳解】解：設(shè)第三邊長為x

根據(jù)三角形的邊的關(guān)系可得：l<x<5,

又由第三邊為偶數(shù)，所以第三邊長為2或4

故答案為：2或4

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，確定第三邊的取值范圍是關(guān)鍵。也可使用列舉，但

是容易因遺漏導(dǎo)致錯誤。

12.(2019?上海七年級期中)在△/比中，ZJ=36°.當(dāng)/小°,四

等腰三角形.

【答案】72°、36°、108°

【分析】在等腰三角形中，當(dāng)不確定//為頂角還是底角時，分類處理：(1)當(dāng)N4=36°為

頂角，可得底角/小勺值.（2）當(dāng)/4=36°為底角時，2物頂角或底角，根據(jù)內(nèi)角和性質(zhì)代

入求解即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）當(dāng)/斤36°為頂角時，4=180-36。=72。；

2

（2）當(dāng)/4=36°為底角時，/相為底角，則/俏24=36°,

N席為頂角,NC=180°-36°-36°=108°，

故答案為72°、36°、108°

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，本題關(guān)鍵在于不確定等腰三角形

的頂角與底角的情況下，要注意分類討論.

三、解答題

13.（2018?上海市第八中學(xué)七年級月考）如圖，已知aABC和4CDE都是等邊三角形，且B、

C、E在一直線上，AC、BD交于F點，AE、CD交于G點，試說明FG〃BE的理由.

【分析】運用SAS證得△ACD04ACE,得到NCAE=NCBD,/BCD=NACE;由公共部分/ACD,利

用角和差可確定/BCF=NDCF,結(jié)合BC-AC,判定△BCF@Z\ACG,可得NACD=/BAC=60°,CF=CG;

可以發(fā)現(xiàn)aCFC也是等邊三角形，則NCFG=60°,即NCFG=NBCA=60°,利用平行線判定定理,

即可判定平行.

【詳解】解：理由如下：

,/已知△ABC和4CDE都是等邊三角形

.\AC=AB,CD=CE,ZBAC=ZABC=ZBCA=ZDCE=ZCED=ZEDC=60°

，ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即/BCD=NACE

在AACD和4ACE中

BC^AC

</BCD=NACE

CD=CE

.,.△ACD^AACE(SAS)

NCAE=NCBD,ZBCD=ZACE

ZBCD-ZACD=ZACE-ZACD即NACD=NBCA=60°；

在4BCF和4ACG中

NCAE=ZCBD

<AC=BC

ZACD=ZBCA

.,.△BCF^AACG(ASA)

.,.CF=CG

...△CFG是等邊三角形

ZCFG=60°

，ZCFG=ZBCA=60°

...FG〃BE(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的判定，其中

全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

14.(2019?上海浦東新區(qū)?七年級期末)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,

則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為多少？

【答案】120°或20°

【分析】等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,不能確定誰是頂角，需要分類討論進行解答.

【詳解】解：①頂角為底角的4倍，則設(shè)三角形的三個內(nèi)角為4《，H，k"，

則4Z+Z+Z=180,解得。=30,42=120,則頂角為120。.

②底角為頂角的4倍，則設(shè)三角形的三個內(nèi)角為4/，4k，k。，則軟+4%+4=180,解得

4=20,則頂角為20。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的概念，解題的關(guān)鍵是理解等腰三角形的概念進行分類討論.

15.(2019?上海浦東新區(qū)?七年級月考)已知，MBC、&回均為等邊三角形，點E是

△ABC內(nèi)的點

(1)如圖①，說明3￡>=CE的理由；

圖①

(2)如圖②，當(dāng)點E在線段CD上時，求NCDB的度數(shù);

c

圖②

（3）當(dāng)AD5E為等腰直角三角形時，ZABD=度（直接寫出客案）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）45?；?0。或15°.

【分析】（1）先理由等邊三角形的性質(zhì)得出=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE,即可

得出結(jié)論；

（2）同（1）得AC4E三ABAD,再判斷出=進而求出NAEC=120°,即

可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)ADBE為等腰直角三角形時，有三種情況：/.當(dāng)/&W=90°,D4D睨,”.當(dāng)N

BED=90°,B&D州,當(dāng)N應(yīng)注90°,腔物寸，分別作出圖形，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即

可求出.

【詳解】解：（1）；AABC和A4￡E>都是等邊二角形（已知）

AAC=AB,AE=AD，ZCAB=ZEAD=60°（等邊三角形的性質(zhì)）。

AZCAB-ZEAB^ZEAD-ZEAB（等式性質(zhì)），即NCAE=N班。，

在△（"七和AR4O中，

AC=AB

<NCAE=NBAD,

AE=AD

：.ACAE=^BAD（SAS）

:.BD=CE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

（2）是等邊三角形（已知）。

AZAED=ZA￡>￡：=60°（等邊三角形的性質(zhì)）。

AZA￡C+ZA￡D=180°（鄰補角的意義）

AzL4EC=120°（等式性質(zhì)）

二同理（1）得△C4￡MAB4）（S4S）

/.ZADB=ZAEC=12Q°（全等三角形對應(yīng)角相等）

二ZCDB=ZADB-ZADE=60°（等式性質(zhì)）

（3）當(dāng)455￡為等腰直角三角形時，有三種情況：

/.當(dāng)/應(yīng)比90。，妗歷時，如圖③-1：

圖③-1

?.?/力夢60°,

ZADB-ZADB-Z￡95=60°+90°=150°,

又,：AFDE,

:.AD=BD,

二ZDAB=NAB2-(180°-150°)；

2

〃.當(dāng)/必萬90。，陷加時，如圖③-2：

在和中：

"AE=AD

<AB=AB,

EB=DB

:./\AB監(jiān)XADB(SSS)

二NAB斤NABD,

：.ZABD=-ZDBE=45°；

2

III.當(dāng)ZED斤9Q°，龐=耐,如圖③一3：

同可得：，

■:NEBA450,

：.4ABD=3U.

綜上所述：//吠45°或30。或15°.

故答案為：45°或30?；?5°.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，

等腰直角三角形性質(zhì)，（2）中求出NAEC=120。是解本題的關(guān)鍵.（3）中關(guān)鍵是根據(jù)題意

畫出等腰直角三角形.

16.（2019?上海嘉定區(qū)?）在等腰AABC中，AB=AC,點M是直線上一點（不與民C

重合），以AM為一邊在AM的右側(cè)作等腰使=AV=AN,連結(jié)CN.

備用圖

（1）如圖1,當(dāng)點“在線段8C上時，如果N84C=90。，則N8CN=______

（2）設(shè)ZBAC=a,4BCN=0.

①如圖2,當(dāng)點M在線段8C上移動時，尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

②當(dāng)點M在直線上移動時，以尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出你的結(jié)論.

【答案】（1）N3CN=90。；（2）①/尸之間的數(shù)量關(guān)系是a+￡=180。，理由見解析；

②結(jié)論：a+4=180。，a=（3.

【分析】（1）先用等式的性質(zhì)得出NCAN=/BAM,進而得出△ABM絲AACN,有/B=NACE,最

后用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論

（2）①由（1）的結(jié)論即可得出a+。=180°；②同（1）的方法即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）-：AMAN=ABAC,ZBAC=ZBAM+ZMAC=ZNAC+ZMAC

：./CAN=NBAM

在aABM和AACN中

AB^AC

<NBAM=NCAE

AM=AE

;.AABM=AACN（S4S）

ZB=ZACN

乙BCN=/BCA+NACN=NBCA+N5=180°-ZBAC=90"

，ZBCN=90°

（2）①解：a,夕之間的數(shù)量關(guān)系是a+￡=180。

理由：

-,-ZMAN=ZBAC（已知）

AMAN-NM4c=^BAC-ZMAC（等式性質(zhì)）

即ZCAN=ZBAM

在AABM和AAOV中

AB=AC

<ZBAM=/CAN

AM=AN

/\ABM/AACN（5.AS）

:"B=ZACN（全等三角形對應(yīng)角相等）

-,-^BAC+ZB+ZACB=ISO°（三角形的內(nèi)角和為180°）

ABAC+ZAC7V+ZACfi=180°（等量代換）

ABAC=Na,ZBCN=NBCN=AACN+ZACB

"+力=180。（等量代換）

②結(jié)論：

D當(dāng)點〃（不與B,C.重合）在射線BC上時,

A

同（1）的方法可得△ABM絲△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

0=/BCN=NACB+ZACN=ZACB+ZABM=180°-ABAC=180°-a

：.a+P=\80

a,B之間的數(shù)量關(guān)系是a+尸=180。

2）當(dāng)點M（不與匹C重合）在射線8C的反向延長線上時，

同（1）的方法可得絲△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

p=ZBCN=ZACN-ZACB=ZABM-ZACB=ZABM-ZACB=ABAC=a

a，4之間的數(shù)量關(guān)系是a=￡.

【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的

關(guān)鍵.

17.（2019?上海奉賢區(qū)?）如圖1,已知NABC=90。，△ABE是等邊三角形，點尸為射

線8c上任意一點（點尸與點3不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

線段A。，連結(jié)QE并延長交射線于點

（1）如圖1,當(dāng)8P=84時，NEBF=°,猜想/?；?。=°；

（2）如圖2,當(dāng)點尸為射線3C上任意一點時，猜想NQFC的度數(shù)，并說明理由；

【答案】（1）30，60；（2）NQFC=6。。,理由見解析

【分析】（1）NEBF與NABE互余，而NABE=60°,即可求得/EBF的度數(shù)；先證明NBAP=N

EAQ,進而得到AABP絲△AEQ,證得/AEQ=/ABP=90°,則NBEF=180°-ZAEQ-ZAEB=180"

-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案；

（2）先證明NBAP=NEAQ,進而得到△ABPgAAEQ,證得NAEQ=/ABP=90°,則NBEF=180°

-ZAEQ-ZAEB=180°-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案.

【詳解】證明：（1）??,ZABC=90°,Z\ABE是等邊三角形，

/.ZABE=60°,

；.NEBF=30°；

猜想：ZgFC=60°:

理由如下：如圖，

宜

BFPC

圖1

ZBAP=ZBAE-ZEAP=（G°-ZEAP,NE4Q=/QAP-NE4P=60°-/E4P,

NBAP=NEAQ,

VAB=A￡.AP=AQ,

：.AABP^AA￡C（SAS）,

ZAEQ=ZABP=90°,

：.NBEF=180°-Z.AEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°,

ZQFC=ZEBF+ZBEF=30°+30°=60°；

故答案為：30；60；

（2）結(jié)論：NQFC=60。,

如圖：

圖2

?；ZBAP=NBAE+NEAP=60°+NE4P,Z￡AQ=NQAP+NEAP=60°+ZE4P

NBAP=NEAQ

在AA8P和△4EQ中，AB=AE，ZBAP=ZEAQ,AP=AQ

△ABP四△A￡Q（SAS）

ZAEQ=ZABP=90°.

：.NBEF=180°-ZAEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°

，NQFC=NEBF+NBEF=300+30°=60°；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，

以及二角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性

質(zhì)進行證明猜想成立.

18.（2019?上海金山區(qū)?七年級期中）如圖NEOP,O用平分NEO尸，點A、B、C分

別是射線OE、OM、OF上的點（點A、B、C不與點。重合），聯(lián)結(jié)AC,交射線與

點、D.

（1）如果AB〃OC,AC平分NQ4B,試判斷AC與射線的位置關(guān)系，試說明理由；

（2）如果NEC尸=40°,AB1OE,垂足為點A，中有兩個相等的角，請直接寫出

ND4O的大小.

【答案】（1）AC與射線OB垂直，理由見解析；（2）NZMO的大小為20°或35?；?0°.

【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得出加￡>=48,再根據(jù)角平分線

的定義得出最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、領(lǐng)補角的定義即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)求出ZAOD和NABD的度數(shù)，再根據(jù)

“△AZ出中有兩個相等的角”分三種情況，然后分別根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角的和差求解

即可得.

【詳解】（1）AC與射線08垂直，理由如下：

如圖1,-.-AB//OC

：.ZABD=ZCOD

（2。0平分2￡0尸，AC平分NOAB

：.ZAOD=ZCOD,ZBAD=ZOAD

:.ZABD=ZAOD

ZADO=ZABD+ZBAD

由三角形的外角性質(zhì)得:

ZADB=ZAOD+NOAD

:.ZADO=ZADB

又NADO+NADB=180°

.?.ZA￡X9=ZAD8=90°

AC±OB

即AC與射線08垂直；

(2)QOM平分NEOF,NEOF=40°

ZAOD=ZCOD=-aEOF=20°

2

-,-AB1OE

：.ZBAO^90°

ZABD=90°-ZAOD=70°

如圖2,由題意，分以下三種情況：

①當(dāng)ZADB=ZABD=70°時

NDAO=ZADB-ZAOD=70°—20。=50。(三角形的外角性質(zhì))

②當(dāng)44。=NA8￡>=70。時

ZDAO=NBAO-ABAD=90°-70°=20°

③當(dāng)。時，

ZADB=ZDAO+ZAOD=ZDAO+20°

NBAD=ZBAO-ZDAO=90°-ZDAO

則ZDAO+20°=90°-ZDAO

解得4X0=35。

綜上，ND4O的大小為20°或35°或50°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直的定義、二角形的外角性質(zhì)等知識點，較難的是題

（2）,依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵.

19.（2019?上海閔行區(qū)?七年級期中）（1）在銳角ZVLBC中，AC邊上的高所在直線和A3

邊上的高所在直線的交點為P,"PC=110。，求NA的度數(shù).

(2)如圖，AE和CE分別平分㈤。和NBC。，當(dāng)點。在直線AC上時，ZAPC=100°,

則/B=.

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，當(dāng)點O在直線AC外時，如下圖：NADC=130°,ZAPC=100°,

求D3的度數(shù).

【答案】(1)70°；(2)20°；(3)70°.

【分析】(1)根據(jù)對頂角相等以及四邊形的內(nèi)角和進行判斷即可；(2)根據(jù)NAPC=100。

以及AF和CE分別平分ZBAD和ZBCD,算出ABAD和NBCD,從而算出DB

【詳解】

如圖AC邊上的高所在直線和A3邊上的高所在直線的交點為尸

二ZBDA=ZCEA=9Q°

又：=110°

/.NEPD=NBPC=110。

?.?在四邊形中，內(nèi)角和為360°

/.ZA=360°-l100-900-900=70°

?；AF和CE分別平分ZBAD和NBCD

：.ZBAP=ZFAC,NBCE=ZACE

又：NAPC=100。

AFAC+ZACE=180°-100°=80°

二ZBAC+ZBG4=160°

二駢=180-160鞍20

(3)如圖：連接AC

■:ZADC=130°,ZAPC=100°

/.ADAC+ZDCA=180。-130°=50°,ZPAC+ZPCA=180°-100°=80°

/.Z2+Z3=30°

又；AF和CE分別平分ZBAD和ZBCD

：.Nl+N4=N2+N3=30°

ZBAC+ZBCA=1W°

：.W=180-11嫩70

【點睛】三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵.

20.（2018?上海楊浦區(qū)?七年級期末）如圖，已知。是等邊三角形ABC內(nèi)一點，。是線段

80延長線上一點，且00=04,4408=120。，求N8DC的度數(shù).

【答案】60。

【分析】先證AAOD是等邊三角形，得出AABC是等邊三角形，再證AABOgAACD,得

NAQ?=NAZ）C=120°，從而得出NBOC的大小.

【詳解】VZA0B=120°,ZA0D=60°

,.,AO=OD,.?.△AOD是等邊三角形

ABAC=60°,AB^AC

「△ABC是等邊二角形，ZBAC=60°,AB=AC

ZBAC=ZOAD,二ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD

ZBAO=ZCAD

在ABAO和△CADU」

-AO=AD

<NBAO=ZCAD

AB=AC

：.AABO^MCD

：.ZAOB=ZADC=\2Q°

NBDC=ZADC-ZADO=60"

【點睛】本題考查全等的證明和等邊三角形的性質(zhì)和證明，解題關(guān)鍵是證AABO之AACD.

21.（2019?上海市松江區(qū)九亭中學(xué)七年級期中）如圖（1）A8=8cm,AC±AB,B"AB，

AC=8O=6cm,點尸在線段A3上以2a〃/s的速度由點A向點3運動，同時，點Q在線段

5。上由點B向點。運動，它們的運動時間為/（5）.

（1）若點。的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)1=1時，A4cp與是否全等，請說

明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

（2）如圖（2）,將圖（1）中的“ACLM,BD±AB"改為"NC4B=NOB4=60”，

其他條件不變，設(shè)點Q的運動速度為xa〃/s,是否存在實數(shù)x,使得A4CP與全等？

若存在，求出相應(yīng)的x、f值；若不存在，請說明理由.

圖(1)圖(2)

((f-2

t=1

【答案】(1)Z\ACP絲△BPQ,PCVPQ.(2)存在!\3，使得AACP與ABPQ全

x=2x=—

LI2

等.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明aACP絲△BPQ,利用全等三角形的性質(zhì)即可得到PC_LP。；

(2)分兩種情況：①若△ACPgABPQ,②若△ACPgZ\BQP,利用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)線

段相等，由此求出答案.

【詳解】

(1)當(dāng)f=l時，AP^BQ=2,BP=AC=6.

又NA=NB=90°,

在AACP與^BPQ中

AP=BQ

<NA=NB,

AC=BP

.?.△ACP/△BPQ(SAS),

：.ZACP=ZBPQ,

ZAPC+NBPQ=ZAPC+ZACP=90,

:.ZCPQ=90\

即PCLPQ.

(2)①若AACP絲△BPQ,

則AC=BP,AP=BQ,

8-2z=6

2t=xt

t=l

解得《

x=2

②若AACP絲ZXBQP,

則AC=BQ,AP=BP，

6=xt

'2t=8-2t'

解得，=：

\x=3

t=17=2

綜上所述，存在《c,使得A4cp與ABPQ金等.

x=2x=3

【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)定理，（2）中利用分類思想分別利用全等三角形

的性質(zhì)求出未知數(shù)的值，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.（2020?上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)七年級期末）如圖，已知，aABC和4ADE都是

等邊三角形，連接BD、CE.

（1）說明BD=C￡的理由；

（2）延長BD,交CE于點F,求/BFC的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）60°.

【分析】（1）證明aABD絲Z\ACE即可得到結(jié)論；

（2）由△ABD/Z\ACE得到NABD=NACE,根據(jù)NABC=NACB=60°推出NFBC+NACB+NACF=N

ABC+ZACB=120°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBFC的度數(shù).

【詳解】（1）證明：:△ABC和4ADE都是等邊三角形，

.'.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

.".△ABD^AACE,

/.BD=CE；

(2)VAABD^AACE,

ZAB