黃金卷07-【贏在中考黃金8卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷(原卷版+解析)(惠州專用)

【贏在中考·黃金八卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷（惠州專用）第一模擬（本卷滿分120分，考試時(shí)間為90分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、單選題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題意的）1．﹣2.5的相反數(shù)是（）A．2.5 B．﹣2.5 C． D．﹣2．2010年5月1日至2010年10月31日期間在上海舉行的世界博覽會(huì)總投資約450億元人民幣，其中“450億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）元A． B． C． D．3．剪紙是中國(guó)民間流行的一種歷史悠久的鏤空藝術(shù)．剪紙的工具材料簡(jiǎn)便普及，技法易于掌握，有著其他藝術(shù)門類不可替代的特性，因而，這一藝術(shù)形式從古到今，幾乎遍及我國(guó)的城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村，深得人民群眾的喜愛(ài)．下列剪紙圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．4．從小到大的一組數(shù)據(jù)－1，1，2，x，6，8的中位數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)分別是（

）A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，35．已知，則代數(shù)式的值是（

）A．3 B．2 C．5 D．76．正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線AE是⊙O的切線，CD平分∠ACB，若∠CAE=21°，則∠BFC的度數(shù)為（

）A．66° B．111° C．114° D．119°8．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB，若BE=2，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．29．如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，下列結(jié)論：①的形狀是等腰三角形；②的周長(zhǎng)是；③點(diǎn)C到邊的距離是；④的值為2，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)10．如圖，在矩形ABCD中，，，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?，使矩形矩形ADCB；再連接，以對(duì)角線為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?，使矩形矩形，…，按照此?guī)律作下去，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（共7小題，每小題4分，共28分）11．分解因式：4a2﹣a＝_______．12．若，則的值是__________．13．如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在陰影區(qū)域的概率為_(kāi)_______．14．在Rt△ABC中，，，則_____________．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE．則∠EDC的度數(shù)為_(kāi)____．16．如圖，四邊形ABCD為矩形，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，A、B在x軸上．若函數(shù)y=(x)的圖像過(guò)D、E兩點(diǎn)，則矩形ABCD的面積為_(kāi)______________17．如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)(在的左側(cè))，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是_____．三、解答題（共3小題，每小題6分，共18分）18．解不等式組，并寫出其所有的整數(shù)解．19．為了了解某小學(xué)某年級(jí)500名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù)，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)（次數(shù)為整數(shù)，且最高次數(shù)不超過(guò)150次），整理后繪制成如圖的頻數(shù)分布直方圖，圖中的a，b滿足關(guān)系式．由于保存不當(dāng)，部分原始數(shù)據(jù)模糊不清，但已知缺失數(shù)據(jù)都大于120.請(qǐng)結(jié)合所給條件，回答下列問(wèn)題．(1)求出a、b的值；(2)如果一分鐘跳繩次數(shù)在125次以上（不含125次）為跳繩成績(jī)優(yōu)秀，那么估計(jì)該校該年級(jí)學(xué)生跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)大約是多少？20．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，若，求的度數(shù)．四、解答題（共3小題，每小題8分，共24分）21．為了支援本地政府抗擊“新冠肺炎疫情，某校學(xué)生會(huì)發(fā)起了“獻(xiàn)愛(ài)心，自愿捐款”活動(dòng)，已知第一次捐款總額是元，第二次捐款總額是元，而第二次捐款人數(shù)比第一次多了人，兩次人均捐款數(shù)恰好相等．求第一次參加捐款的人數(shù)．22．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(為常數(shù)，且)的圖像交于

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下求的面積.23．某校七年級(jí)為了開(kāi)展球類興趣小組，需要購(gòu)買一批足球和籃球，若購(gòu)買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購(gòu)買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元．(1)求出足球和籃球的單價(jià)分別是多少？(2)已知該年級(jí)決定用800元購(gòu)進(jìn)兩種球，若兩種球都要有，請(qǐng)問(wèn)有幾種購(gòu)買方案，并請(qǐng)加以說(shuō)明．五、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）24．如圖，內(nèi)接于圓，為直徑，于點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是圓的切線；（2）當(dāng)時(shí)，連接，①求證：；②若，求線段的長(zhǎng)．25．定義：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，那么這個(gè)四邊形叫做平衡四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，AC＝5．①判斷四邊形ABCD是否是平衡四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若△ACD是等腰三角形，求sin∠DAC的值；（2）如圖2，在平衡四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，AC⊥BD交于點(diǎn)O，AD＝2，若S△CBO﹣S△ADO＝12，求AB的長(zhǎng)．【贏在中考·黃金八卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷（惠州專用）第一模擬（本卷滿分120分，考試時(shí)間為90分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、單選題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題意的）1．﹣2.5的相反數(shù)是（）A．2.5 B．﹣2.5 C． D．﹣【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：﹣2.5的相反數(shù)是2.5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵．2．2010年5月1日至2010年10月31日期間在上海舉行的世界博覽會(huì)總投資約450億元人民幣，其中“450億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）元A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，故選A.3．剪紙是中國(guó)民間流行的一種歷史悠久的鏤空藝術(shù)．剪紙的工具材料簡(jiǎn)便普及，技法易于掌握，有著其他藝術(shù)門類不可替代的特性，因而，這一藝術(shù)形式從古到今，幾乎遍及我國(guó)的城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村，深得人民群眾的喜愛(ài)．下列剪紙圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行分析即可．【詳解】A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．4．從小到大的一組數(shù)據(jù)－1，1，2，x，6，8的中位數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)分別是（

）A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，3【答案】B【分析】先利用中位數(shù)的定義求出x的值，再根據(jù)眾數(shù)的定義和平均數(shù)的公式，即可求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)．【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)－1，1，2，x，6，8的中位數(shù)為2，∴x＝2×2－2＝2，2出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)，平均數(shù)及中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．5．已知，則代數(shù)式的值是（

）A．3 B．2 C．5 D．7【答案】D【分析】先將原式變形為，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：可變形為，∵∴原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求代數(shù)式的值，將所求代數(shù)式進(jìn)行正確的變形是解此題的關(guān)鍵．6．正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180計(jì)算出六邊形的內(nèi)角和，然后再除以6即可．【詳解】解：由題意得：（6-2）×180÷6=120°，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線AE是⊙O的切線，CD平分∠ACB，若∠CAE=21°，則∠BFC的度數(shù)為（

）A．66° B．111° C．114° D．119°【答案】C【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及角平分線的定義求得∠ACD的度數(shù)．根據(jù)切線的性質(zhì)可得出∠BAE的度數(shù)，從而可得出∠BAC的度數(shù)．最后在△ACF中，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=45°．∵直線AE是⊙O的切線，AB是圓的直徑，∴∠BAE=90°，即∠BAC+∠CAE=90°，∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-21°=69°，∴∠BFC=∠BAC+∠ACD=69°+45°=114°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，切線的性質(zhì)定理以及三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB，若BE=2，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】解：∵BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D∴BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝∴∠B＝∠ECD，又∵∠B=30°，BE=2∴∠ECD=30°，CE=2，DE==1又∵CE平分∠ACB∴∠ECD＝∠ACE＝30°∴∠ACB＝60°又∵在△ABC中，∠B=30°∴∠BAC＝90°在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°∴AE＝＝1；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)算，合理的推理．9．如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，下列結(jié)論：①的形狀是等腰三角形；②的周長(zhǎng)是；③點(diǎn)C到邊的距離是；④的值為2，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB長(zhǎng)，即可判斷①和②，求出AC邊上的高，根據(jù)三角形面積公式即可判斷③；由③根據(jù)正切函數(shù)的意義可以判斷④．【詳解】∵由勾股定理得：AB=，AC=，BC=，∴AB=BC，∴△ABC的形狀是等腰三角形，∴①正確；由①可得△ABC的周長(zhǎng)是2，∴②錯(cuò)誤；過(guò)B作BN⊥AC于點(diǎn)N，由①可得：AN=CN=AC=，∠BNC=90°，∴由勾股定理可得：BN=，∴△ABC的面積是，設(shè)C到AB的距離是h，由三角形面積公式得：，∴h=，∴③錯(cuò)誤；由上可得=，∴④正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)、利用勾股定理求出直角三角形的邊長(zhǎng)、正切函數(shù)的意義等是解題關(guān)鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，，，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦危咕匦尉匦蜛DCB；再連接，以對(duì)角線為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?，使矩形矩形，…，按照此?guī)律作下去，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，，的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴，∴．∵按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛DCB的相似矩形，∴矩形的邊長(zhǎng)和矩形ADCB的邊長(zhǎng)的比為，即，∴，∴，依此類推，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．第II卷（非選擇題）二、填空題（共7小題，每小題4分，共28分）11．分解因式：4a2﹣a＝_______．【答案】【分析】提公因式，將式子化簡(jiǎn)到不能再因式分解即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分解因式，先提公因式，再利用平方差或完全平方公式等進(jìn)行因式分解，直到不能再分解因式．12．若，則的值是__________．【答案】2【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值非負(fù)性，求解出和的值，然后代入即可得解.【詳解】由已知，得∴故答案為2.【點(diǎn)睛】此題主要考查絕對(duì)值非負(fù)性的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.13．如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在陰影區(qū)域的概率為_(kāi)_______．【答案】【分析】用陰影區(qū)域的圓心角度數(shù)除以周角度數(shù)即可得．【詳解】解：針落在陰影區(qū)域的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．14．在Rt△ABC中，，，則_____________．【答案】300【分析】已知∠C=90°，AB=10，根據(jù)勾股定理可得，可求得=100，然后可求出的值．【詳解】解：∵∠C=90°，AB=10，∴=100，∴=300，故答案是：300．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE．則∠EDC的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】15°【分析】由∠BAC=90°，AB=AC，可知△ABC為等腰直角三角形，即∠B=45°，∠BAC=90°，已知∠BAD=30°，得∠DAE=90°-30°=60°，又AD=AE，則△ADE為等邊三角形，∠ADE=60°，由外角的性質(zhì)可求∠EDC的度數(shù)．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，又∵∠BAD＝30°，∴∠DAE＝90°﹣30°＝60°，而AD＝AE，∴△ADE為等邊三角形，則∠ADE＝60°，又∵∠EDC+∠ADE＝∠B+∠BAD（外角定理），即∠EDC＝45°+30°﹣60°＝15°．故答案為15°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)以及外角定理解題．16．如圖，四邊形ABCD為矩形，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，A、B在x軸上．若函數(shù)y=(x)的圖像過(guò)D、E兩點(diǎn)，則矩形ABCD的面積為_(kāi)______________【答案】8【分析】過(guò)作于，由三角形中位線定理可得，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，得出，即可得出，根據(jù)圖象上的坐標(biāo)特征得出的橫坐標(biāo)為，繼而得出，然后根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)作于，點(diǎn)是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，是的中位線，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)在反比例函數(shù)上，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，矩形的面積，故答案為：8．【點(diǎn)睛】主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積的關(guān)系即．17．如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)(在的左側(cè))，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是_____．【答案】##【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)，，坐標(biāo)，從而得出，，，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最??；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由中位線定理得出，的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：令，則，解得，，，，，，令，則，，，，為中點(diǎn)，，由沿折疊所得，，在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，又，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出，，的坐標(biāo)．三、解答題（共3小題，每小題6分，共18分）18．解不等式組，并寫出其所有的整數(shù)解．【答案】，不等式的所有整數(shù)解為、、【分析】首先解不等式組，然后從中找出所有的整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，所以原不等式組的解集為，故此不等式的所有整數(shù)解為、、．【點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式組，掌握解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．19．為了了解某小學(xué)某年級(jí)500名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù)，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)（次數(shù)為整數(shù)，且最高次數(shù)不超過(guò)150次），整理后繪制成如圖的頻數(shù)分布直方圖，圖中的a，b滿足關(guān)系式．由于保存不當(dāng)，部分原始數(shù)據(jù)模糊不清，但已知缺失數(shù)據(jù)都大于120.請(qǐng)結(jié)合所給條件，回答下列問(wèn)題．(1)求出a、b的值；(2)如果一分鐘跳繩次數(shù)在125次以上（不含125次）為跳繩成績(jī)優(yōu)秀，那么估計(jì)該校該年級(jí)學(xué)生跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)大約是多少？【答案】(1)(2)100人【分析】（1）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根據(jù)a+b=20，2a=3b，即可求出a和b的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的方法即可估計(jì)該校該年級(jí)學(xué)生跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)大約是多少人．（1）解：由題意所給數(shù)據(jù)可知：的有4人，的有16人，∴，∵，∴，解得∴，．（2）解：40名學(xué)生所在的樣本中，跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人所占的百分比為，∴該校該年級(jí)500名學(xué)生中跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)大約是(人)．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、總體、個(gè)體、樣本、用樣本估計(jì)總體，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)概念，數(shù)形結(jié)合．20．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，若，求的度數(shù)．【答案】110°【分析】延長(zhǎng)到G使，連接，先證明得到再證明得到然后利用得到．【詳解】解：延長(zhǎng)到G使，連接，如圖，∵∴在和，，∴∴∵∴在和中，，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建．四、解答題（共3小題，每小題8分，共24分）21．為了支援本地政府抗擊“新冠肺炎疫情，某校學(xué)生會(huì)發(fā)起了“獻(xiàn)愛(ài)心，自愿捐款”活動(dòng)，已知第一次捐款總額是元，第二次捐款總額是元，而第二次捐款人數(shù)比第一次多了人，兩次人均捐款數(shù)恰好相等．求第一次參加捐款的人數(shù)．【答案】第一次參加捐款的人數(shù)為人．【分析】設(shè)第一次捐款的人數(shù)為人，則設(shè)第二次捐款的人數(shù)為()人，再根據(jù)兩次人均捐款額恰好相等列出方程，再解即可．【詳解】解：設(shè)第一次參加捐款的人數(shù)為人，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根．答：第一次參加捐款的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程，注意分式方程必須檢驗(yàn)．22．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(為常數(shù)，且)的圖像交于

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下求的面積.【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式：;

(2);

(3)的面積為.【試題分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；代入反比例函數(shù)求出答案；（2）根據(jù)“小馬飲水”的思路解決即可，關(guān)鍵是先畫出圖形，再解答；（3）用割補(bǔ)法求三角形的面積.【試題解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，得A(-1，3)和B(-3，1)，因?yàn)辄c(diǎn)A(-1，3)在，則；（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D(-3，-1)，連接DA，則直線DA的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，x=，故點(diǎn)P（）；（3）用割補(bǔ)法求三角形的面積，的面積為提醒ABGH的面積減去三角形BGH的面積減去三角形APH的面積，即.23．某校七年級(jí)為了開(kāi)展球類興趣小組，需要購(gòu)買一批足球和籃球，若購(gòu)買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購(gòu)買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元．(1)求出足球和籃球的單價(jià)分別是多少？(2)已知該年級(jí)決定用800元購(gòu)進(jìn)兩種球，若兩種球都要有，請(qǐng)問(wèn)有幾種購(gòu)買方案，并請(qǐng)加以說(shuō)明．【答案】(1)足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；(2)有三種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購(gòu)進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購(gòu)進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【分析】（1）設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，根據(jù)“若購(gòu)買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購(gòu)買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案．（1）解：設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，依題意，得：，解得：，答：足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，依題意，得：50m＋40n＝800，解得：n∵m，n均為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝4時(shí)，n＝15；當(dāng)m＝8時(shí)，n＝10；當(dāng)m＝12時(shí)，n＝5；∴有三種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購(gòu)進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購(gòu)進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．五、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）24．如圖，內(nèi)接于圓，為直徑，于點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是圓的切線；（2）當(dāng)時(shí)，連接，①求證：；②若，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②2【分析】（1）連接，證得，即可證得結(jié)論；（2）①通過(guò)證得，得出，即可證得；②作于，首先證得，得出垂直平分，然后通過(guò)三角形平分線的性質(zhì)證得，即可證得，從而證得，即可證得．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，