第1講銳角三角函數(shù)和特殊角九年級數(shù)學(xué)上冊講義（北師大版）

第1講銳角三角函數(shù)和特殊角目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；2．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.知識精講知識精講知識點01銳角三角函數(shù)1.正切當銳角A的大小確定時，∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的．把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA==．2.正弦、余弦在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA==．我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA==；銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．3坡度如圖所示，我們把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即【知識拓展1】若△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則tanα的值是（）A． B． C． D．1【答案】D 【解析】根據(jù)圖形可知∠α的對邊及鄰邊的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．解：根據(jù)圖形可知：△ABC是直角三角形，且AC=3，BC=3．根據(jù)勾股定理得到AB=3，則tanα==1．故選D．【知識拓展2】如圖，在矩形ABCD中，點E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點B落在AD邊上的點F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．故選C．【知識拓展3】如圖，菱形ABCD的對角線AC=6，BD=8，∠ABD=α，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinα= B．cosα= C．tanα=D．tanα=【答案】D【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理可求得AB的長，從而可表示出不同的三角函數(shù)從而驗證得到正確的那個選項．解：菱形ABCD的對角線AC=6，BD=8，則AC⊥BD，且OA=3，OB=4．在直角△ABO中，根據(jù)勾股定理得到：AB=5，則sinα=，cosα=，tanα=，故選D．【知識拓展4】如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5mB．6mC．7mD．8m【答案】A【解析】解：由題知：=0.75，此時坡上株距是4m，設(shè)相鄰兩樹間的坡面距離為xm所以滿足=0.8=解得x=5故選A．【知識拓展5】如圖，修建抽水站時，沿著坡度為i=1：的斜坡鋪設(shè)水管，若測得水管A處鉛垂高度為6m，則所鋪設(shè)水管AC的長度為（）A．8mB．10mC．12mD．18m【答案】C【解析】∵該斜坡的坡度為i=1：，∴AB：BC=1：，∵AB=6m，∴BC=6m，則AC=（m）．故選C．知識點02特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)記憶方法一二三三二一1三九二十七示意圖正弦與余弦的分母都是2,正切的分母是3,,分子是根號對應(yīng)的數(shù).注意：對于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分別為，與．對于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分別為，與．對于正切，60度的正切值為，當角度遞減時，分別將上一個正切值除以，即是下一個角的正切值．【知識拓展1】下列各式正確的是（）A.cos600＜sin450＜tan450B.sin450＜cos600＜tan450C.cos600＜tan450＜sin450D.tan450＜cos600＜sin450【答案】A 【解析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值依次分析各選項即可作出判斷.∵，，∴故選A.【知識拓展2】已知α為銳角，sin（α﹣20°）=，則α=（）A．20°B．40° C．60°D．80°【答案】D 【解析】∵α為銳角，sin（α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故選D．【知識拓展3】當銳角a>60°時，cosa的值（）A．小于B．大于C．大于D．大于1【答案】A【解析】解：當角為銳角時，角越大，則其余弦值越小.故選A．【知識拓展4】在△ABC中，若，則_______.【答案】120°【解析】因為，且，所以，又因為知識點03三角函數(shù)值的計算【知識拓展1】計算5sin30°+2cos245°tan260°的值是()A.B.C.D.1【答案】B【解析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果.5sin30°+2cos245°tan260°故選B.能力拓展能力拓展類型一、三角函數(shù)概念的辨析例1．（1）如圖1．△ABC中，∠C為直角，AC=6，BC=8，D，E兩點分別從B，A開始同時出發(fā)，分別沿線段BC，AC向C點勻速運動，到C點后停止，他們的速度都為每秒1個單位，請問D點出發(fā)2秒后，△CDE的面積為多少？（2）如圖2，將（1）中的條件“∠C為直角”改為∠C為鈍角，其他條件不變，請問是否仍然存在某一時刻，使得△CDE的面積為△ABC面積的一半？若存在，請求出這一時刻，若不存在，請說明理由．【答案】（1）D點出發(fā)2秒后，△CDE的面積為12；（2）D點出發(fā)2秒鐘時△CDE的面積為△ABC面積的一半，理由見解析.【分析】（1）D，E出發(fā)2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的長，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）如圖，過B，D點分別作AC，CE邊上的高，設(shè)D，E運動時間為x秒，根據(jù)根據(jù)三角形的面積公式列出方程式求解即可.解：（1）∵D，E出發(fā)2秒后，BD=AE=2，∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，則S△CDE=CD·CE=×6×4=12.答：D點出發(fā)2秒后，△CDE的面積為12.（2）如圖，過B，D作AC邊上的高DH，BG設(shè)D，E運動時間為x秒，則(8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG=×6×8sin∠BCG解得x=2或x=12（舍去），所以D點出發(fā)2秒鐘時△CDE的面積為△ABC面積的一半，【變式1】如圖，在中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，，求的值．【答案】【分析】先證明△ADC∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，再證明CDE∽△CAB，根據(jù)相似三角形的面積比定義相似比的平方計算即可．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴=，∴=，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵，∴=，∴=（）2=（）2=．【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，射線OA放置在4×5的正方形虛線網(wǎng)格中，現(xiàn)請你在圖中找出格點（即每個小正方形的頂點）B，并連接OB、AB使△AOB為直角三角形，并且（1）使tan∠AOB的值為1；（2）使tan∠AOB的值為．【答案】（1）如圖1所示：見解析；（2）如圖2所示；見解析【分析】根據(jù)tan∠AOB的值分別為1、，構(gòu)造直角三角形進而得出答案．解：如圖1所示：∵OA=,且tan∠AOB=1，∴AB=OB=,∴可找到格點B.如圖2所示；同上一問的解法，可以求得AB=,OB=.即可找到點B.【點撥】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．類型二、求三角函數(shù)值例2．如圖，的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，求的三角函數(shù)值．【答案】，，．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．解：不妨設(shè)小正方形的邊長為1，如圖，過點C作于點F，，交的延長線于點E，則，，∵，即，解得，∴在中，，∴，，，故答案為：，，．【點撥】此題考查的是求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．【變式1】已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D點，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD．【答案】sin∠ACD，cos∠ACD，tan∠ACD．【分析】先得到∠B=∠ACD，根據(jù)勾股定理可以求得AC的長度，即可求得∠B即∠ACD的三角函數(shù)值．解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，AC=，∴sin∠ACD=sinB=，cos∠ACD=cosB=，tan∠ACD=tanB=．【點撥】本題考查了直角三角形中三角函數(shù)值的計算，考查了勾股定理的運用，本題中求AC的長是解題的關(guān)鍵．【變式2】.（1）如圖：在中，，，根據(jù)圖中的作圖痕跡可知為的______；（2）在第（1）問的條件下，請完善以下求的過程：作于點，設(shè)為，則列方程得：__________解得：______，∴______．【答案】（1）角平分線；（2）x+x=1，1，1【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法判斷即可．（2）證明BD=DE，根據(jù)BC=1，構(gòu)建方程求解即可．解：（1）由作圖可知，AD平分∠CAB，故答案為：角平分線；（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分線，∴DC=DE，∴∠AED=90°，∵CA=CB=1，∠C=90°，∴∠B=45°，∴BD=DE，∴x+x=1，∴x=1，∴tan∠BAD=tan∠CAD=1，故答案為：x+x=1，1，1．【點撥】本題考查了作圖基本作圖，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．類型三、由三角函數(shù)值求邊長例3．如圖，在中，，點D在邊上，且．（1）求長；（2）求的正弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，勾股定理求得，即可求解；（2）過點A作交延長線于點E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．解：（1），∴，∵∴，∴，∴；（2）如圖，過點A作交延長線于點E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點撥】此題考查了三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】已知：如圖，在四邊形中，，，垂足為，過點作，交的延長線于點.（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）若，，求的長【答案】(1)詳見解析;(2)9【分析】(1)直接利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，進而得出答案；(2)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得，設(shè)，，再利用勾股定理得出AE的長，進而求出答案．解：(1)∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；(2)∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴,∴，設(shè)，，∵，∴，即，解得：，∴，∴．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定以及銳角三角函數(shù)關(guān)系、勾股定理，正確得出是解題關(guān)鍵．【變式2】.如圖，在矩形中，點是邊上的點，，于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，則有，進而可得，然后可得，進而問題可求證；（2）由（1）得：，則有，進而可得，然后可得，設(shè)，則有，最后由三角函數(shù)可得，求解即可．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，設(shè)，則有，∴，即，解得：，∴．【點撥】本題主要考查三角函數(shù)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、三角函數(shù)值的增減性例4．如圖，已知和射線上一點（點與點不重合），且點到、的距離為、．（1）若，，，試比較、的大?。唬?）若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，根據(jù)兩個角的正弦的大小進行比較即可得到結(jié)果；（2）運用兩個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦值的變化規(guī)律進行比較．解：在中，在中，又∴；根據(jù)得，又∵∴∴．【點撥】考查了銳角的正弦值的變化規(guī)律：在銳角的范圍內(nèi)，正弦值隨著角的增大而增大．【變式1】我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)概念結(jié)合圖中幾個銳角角，就能發(fā)現(xiàn)隨著一個銳角的增大，它的對邊在減小，鄰邊在增大，即可找到正余弦變化規(guī)律（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可解：（1）由題圖可知，.∵，，，又∵，且，∴，∴∵，，，又∵，∴，∴．∵，，又∵，，∴.∴.規(guī)律：銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小.銳角的正切值隨著角度的增大面增大.（2）；；.【點撥】本題考查銳角三角函數(shù)的求法以及比較大小，熟練掌握銳角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵【變式2】.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是，，．（1）將向下平移4個單位后得到，請畫出；（2）將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，請畫出，并直接寫出的值；【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，【分析】（1）將的向下平移4個單位后得到坐標，依次連接即可；（2）將三點繞繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，依次連接即可得到，作C2D⊥B2C2，求出，即可求出的值.解：（1）將的向下平移4個單位后得到坐標，依次連接即可得到如圖所示；（2）將三點繞繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，依次連接即可得到如圖所示，作C2D⊥B2C2，在Rt△中，，.【點撥】本題是對圖形平移旋轉(zhuǎn)的考查，熟練掌握圖形平移，旋轉(zhuǎn)的作法及三角函數(shù)知識是解決本題的關(guān)鍵.類型五、由函數(shù)值確實銳角的取值范圍例5．如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點B與梯架之間的距離．（1）現(xiàn)在某一時刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，求滑梯的高；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（）不超過30°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？【答案】（1）2米；（2）符合【分析】（1）利用影長物高成比例求解即可；（2）先求出銳角三角函數(shù)值，再利用銳角三角函數(shù)值求出角的范圍即可．解：（1），，答：滑梯高為2米；（2）∵AC=2m,BC=4m，∴，∵正切值隨著角的增大函數(shù)值增大，，這架滑梯的傾斜角符合安全要求．【點撥】本題考查影長物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性，掌握影長物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，在中，，，點是的中點，是等腰直角三角形，，線段與線段相交于點，將繞點逆時針轉(zhuǎn)動，點從線段上轉(zhuǎn)到與點重合的過程中，線段的長度的取值范圍______．【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=CD=3，由點Q在EF上運動，可得當點Q與點E重合時，DQ有最大值為3，當DQ⊥EF時，DQ有最小值，由銳角三角函數(shù)可求解．解：∵BC=6，點D是BC的中點，∴CD=BD=3，∵將△DEF繞點D逆時針轉(zhuǎn)動，點E從線段AB上轉(zhuǎn)到與點C重合，∴DE=CD=3，∵線段EF與線段AB相交于點Q，∴點Q在EF上運動，∴當點Q與點E重合時，DQ有最大值為3，如圖，連接DQ，當DQ⊥EF時，DQ有最小值，∵△DEF是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴DQ的最小值為故答案為：【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，利用垂線段最短解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式2】.函數(shù)對任意實數(shù)都有，且是三角形的內(nèi)角，則的取值范圍是________【答案】【分析】因為cosθ＞0，所以只要△＜0，函數(shù)值恒為正．由△＜0，得到三角函數(shù)不等式，再把正弦轉(zhuǎn)化為余弦，解不等式，最后利用三角函數(shù)的增減性求出θ的取值范圍．解：由題意得：即：，（2cosθ1）（cosθ+2）＞0，解得cosθ＞，又因為0°＜θ＜180°，所以θ的取值范圍為0°＜θ＜60°．故答案是：0°＜θ＜60°．【點撥】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，銳角的余弦隨著角度的增大而減小；同角的正余弦的平方和為1．記住特殊角的三角函數(shù)值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示．則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，故選C.2.如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cos∠ABC等于（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】在格點中構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求得cos∠ABC=，故選C.3.在坡度為1:2的斜坡上，某人前進了100米，則他所在的位置比原來升高了米．【答案】【解析】根據(jù)坡度為1:2，可設(shè)對邊為x米，鄰邊為2x米，再根據(jù)勾股定理即可列方程求解.設(shè)對邊為x米，鄰邊為2x米，由題意得解得則他所在的位置比原來升高了米．4.計算sin45°的結(jié)果等于()A.B.1C.D.【答案】B【解析】原式=×=1．故選B．5.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，則α等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】根據(jù)0°＜α＜90°可知α為銳角，再根據(jù)sin60°=即可求解．解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα=．∴α=60°．故選C．6.計算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的結(jié)果是（）A．2B．C．D．1【答案】C【解析】原式=+﹣=．故選：C．題組B能力提升練1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把這個直角三角形的各邊長都擴大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（）A.擴大2倍 B.縮小2倍 C.擴大4倍 D.大小不變【答案】D【解析】把這個直角三角形的各邊長都擴大2倍，那么所得到的直角三角形與原三角形相似，則∠B的大小不變，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．把這個直角三角形的各邊長都擴大2倍，那么所得到的直角三角形與原來的三角形相似，則∠B的大小不變，則∠B的正切值不變．故選D．2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此題考查直角三角形中銳角的正弦、余弦和正切的定義和勾股定理的應(yīng)用；如右圖：所以，，所以選A；3.sin60°的相反數(shù)是（）。A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值及相反數(shù)的定義求解即可.，相反數(shù)為，故選C.4.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，則α等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】根據(jù)0°＜α＜90°可知α為銳角，再根據(jù)sin60°=即可求解．解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα=．∴α=60°．故選C．5.RtΔABC中,∠C=900,sinA和cosB是關(guān)于x的方程kx2－kx+1=0的兩個根,求∠B的度數(shù).【解析】sinA和cosB是關(guān)于x的方程kx2－kx+1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系有因，所以，所以，于是所以有，即因為，所以題組C培優(yōu)拔尖練1.在Rt△ABC中，若各邊的長度同時擴大5倍，那么銳角A的正弦值和余弦值（）A.都不變B.都擴大5倍C.正弦擴大5倍、余弦縮小5倍D.不能確定【答案】A【解析】∵銳角A的正弦值是對邊和斜邊的比，余弦值是鄰邊和斜邊的比，∴邊長同時擴大5倍對于銳角A的正弦值和余弦值沒有影響，∴銳角A的正弦值和余弦值沒有改變．故選A．2.如圖，從山頂A望地面C、D兩點，測得它們的俯角分別是45°和30°，已知CD=100m，點C在BD上，則山高AB等于（）A．100mB．50mC．50mD．50（+1）m【答案】D【解析】在兩個不同的三角形中利用三角函數(shù)就行了.3.如圖，斜坡AC的坡度（坡比）為1:，AC＝10米．坡頂有一垂直于水平面的旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．DDACB【答案】6米【解析】延長BC交AD于E點，則CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的長度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的長，那么就可求出AE的長，然后求出BE、CE的高度，BC=BECE，即可得出結(jié)果．延長BC交AD于E點，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1:可知：∠CAE＝30°．∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cos30°＝10×＝．在Rt△ABE中，BE＝＝=11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝115＝6（米）．答：旗桿的高度為6米．4.如圖，在4×4的正方形方格中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的正弦值是．【答案】【解析】由勾股定理可得，AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ACB＝＝＝．5.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這【答案】2【解析】如圖所示，連接AE、BE，易證CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，顯然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．6.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將矩形ABCD沿BE折疊，點A落在A′處，若EA′的延長線恰好過點C，則sin∠ABE的值為．AAEDBCA′【答案】【解析】由折疊知∠BA′E=∠A=90°，AE=A′E，A′B=AB=6，故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C===8，設(shè)AE=A′E=x，則CE=x+8，DE=10－x，在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x+8)2=62+(10－x)2，解得x=2．(或由Rt△CDE∽Rt△BCA′求得DE長，進而得AE的長．)在Rt△ABE中，BE==2．所以sin∠ABE===．7.如圖，∠POQ=90°，邊長為2cm的正方形ABCD的頂點B在OP上，C為CQ上，且∠OBC=30°，分別求點A，D到OP的距離．【答案】見解析【解析】過點A、D分別作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分別為E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．