核心考點03平行四邊形2

核心考點03平行四邊形目錄考點一：多邊形的對角線考點二：多邊形內(nèi)角與外角考點三：平面鑲嵌（密鋪）考點四：平行線之間的距離考點五：平行四邊形的性質(zhì)考點六：中心對稱考點七：平行四邊形的判定考點八：平行四邊形的判定與性質(zhì)考點九：三角形中位線定理考點十：反證法考點考點考向一．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．二．多邊形的對角線（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（2）n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對多邊形對角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個頂點，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程思想，解方程求n．三．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．四．平面鑲嵌（密鋪）（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（2）正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能．（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個正三角形和2個正方形、四個正三角形和1個正六邊形、2個正三角形和2個正六邊形、1個正三角形和2個正十二邊形、1個正方形和2個正八邊形等．（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個平面圖案．五．平行線之間的距離（1）平行線之間的距離從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．（2）平行線間的距離處處相等．六．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．七．中心對稱（1）中心對稱的定義把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點．．（2）中心對稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分．八．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．九．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．十．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．十一．反證法（1）對于一個命題，當(dāng)使用直接證法比較困難時，可以采用間接證法，反證法就是一個間接證法．反證法主要適合的證明類型有：①命題的結(jié)論是否定型的．②命題的結(jié)論是無限型的．③命題的結(jié)論是“至多”或“至少”型的．（2）反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．考點考點精講一．多邊形的對角線（共2小題）1．（2021春?杭州期末）從六邊形的一個頂點出發(fā)最多能畫對角線的條數(shù)為（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【分析】根據(jù)由n邊形的一個頂點可以引（n﹣3）條對角線解答即可．【解答】解：由n邊形的一個頂點可以引（n﹣3）條對角線，故過六邊形的一個頂點可以畫對角線的條數(shù)是3，故選：C．【點評】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?金華期中）若一個多邊形從一個頂點出發(fā)最多可連9條對角線，則這個多邊形是十二邊形．【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線，得出n﹣3＝9，求出n即可．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得n﹣3＝9，解得n＝12．故答案為：十二．【點評】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線是解題的關(guān)鍵．二．多邊形內(nèi)角與外角（共4小題）3．（2022春?富陽區(qū)期中）五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．450° D．540°【分析】根據(jù)多邊形外角和定理求解即可．【解答】解：∵多邊形的外角和為360°，∴五邊形的外角和為360°，故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記多邊形的外角和是360°．4．（2022春?西湖區(qū)期末）一個六邊形的外角和為360°．【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：六邊形的外角和是360°．故答案為：360．【點評】考查了多邊形的外角和定理，任何多邊形的外角和是360度．外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)．5．（2021春?西湖區(qū)校級期末）一個多邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個多邊形是10邊形．【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）×180°＝1440°，解得：n＝10，即這個多邊形是10邊形，故答案為：10．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，能熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解此題的關(guān)鍵，注意：邊數(shù)為n（n≥3）的多邊形的內(nèi)角和＝（n﹣2）×180°．6．（2023?浙江模擬）一個n邊形的內(nèi)角和是540°，那么n＝5．【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°得到（n﹣2）?180°＝540°，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得（n﹣2）?180°＝540°，解得n＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了多邊的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．三．平面鑲嵌（密鋪）（共2小題）7．（2022春?寬城區(qū)校級期末）學(xué)校購買一種正多邊形狀的瓷磚來鋪滿教室的地面，所購買的瓷磚形狀不可能是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正方形【分析】根據(jù)一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360°，進而判斷得出即可．【解答】解：A、等邊三角形的每個內(nèi)角是60°，能整除360°，能密鋪；B、正五邊形的每個內(nèi)角為：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密鋪；C、正六邊形的每個內(nèi)角是120°，能整除360°，能密鋪；D、正方形的每個內(nèi)角是90°，4個能密鋪．故選：B．【點評】本題主要考查了平面鑲嵌，由平面鑲嵌的知識可知只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形．8．（2020春?射洪市期末）在現(xiàn)實生活中，鋪地最常見的是用正方形地板磚，某小區(qū)廣場準備用多種地板磚組合鋪設(shè)，則能夠選擇的組合是（）A．正六邊形，正八邊形 B．正方形，正七邊形 C．正五邊形，正六邊形 D．正三角形，正方形【分析】分別求出各個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【解答】解：∵正三角形的每個內(nèi)角60°，正方形的每個內(nèi)角是90°，正五邊形的每個內(nèi)角是108°，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，正八邊形每個內(nèi)角是180°﹣360°÷8＝135°，∴能夠組合是正三角形，正方形，故選：D．【點評】本題考查平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．四．平行線之間的距離（共2小題）9．（2022春?西湖區(qū)期末）如圖，直線a∥b，則直線a，b之間的距離是（）A．線段AB B．線段AB的長度 C．線段CD D．線段CD的長度【分析】根據(jù)平行線間的距離的定義，可得答案．【解答】解：由直線a∥b，CD⊥b，得：線段CD的長度是直線a，b之間距離，故選：D．【點評】本題考查了平行線間的距離，利用平行線間的距離的定義是解題關(guān)鍵．10．如圖，BC為固定的木條，AB，AC為可伸縮的橡皮筋．當(dāng)點A在與BC平行的軌道上滑動時，你能說明△ABC的面積將如何變化嗎？并簡述你的理由．【分析】由于點A在與BC平行的軌道上滑動，根據(jù)兩平行線間的距離相等，雖然點A在移動，但三角形的高不變，且底為BC不變，故面積不變．【解答】解：設(shè)△ABC的邊BC上的高為h．由于軌道與BC平行，故h保持不變．根據(jù)S△ABC＝BC?h可知，△ABC的面積保持不變．【點評】在三角形的面積公式中底邊和高不變，那么不論三角形如何變化其面積不變．五．平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）11．（2022春?西湖區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，DE＝BF＝3，EF⊥AD，若EF＝8，AE＝9，AB的長為（）A．10 B． C．9 D．6【分析】過點B作BH⊥AD于H，證明四邊形BHEF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出HE＝BF＝3，EF＝BH＝8，由勾股定理可得出答案．【解答】解：過點B作BH⊥AD于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵EF⊥AD，BH⊥AD，∴BH∥EF，∴四邊形BHEF是平行四邊形，∵∠BHE＝90°，∴四邊形BHEF為矩形，∴HE＝BF＝3，EF＝BH＝8，∵AE＝9，∴AH＝AE﹣HE＝9﹣3＝6，∴AB＝＝＝10．故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022春?西湖區(qū)期中）如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE∥DF．（1）求證：AF＝CE；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）先證∠ACB＝∠CAD，再證出△BEC≌△DFA，從而得出CE＝AF．（2）過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AG，進而利用平行四邊形的面積解答即可．【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD．又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴CE＝AF．（2）解：過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∴平行四邊形ABCD的面積＝BC?AG＝4×6＝24．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用AAS證出△BEC≌△DFA解答．13．（2021春?甌海區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OD，OB的中點，連接AE，CF，求證：AE＝CF．【分析】利用SAS證明△ABE≌△CDF后利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可證得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴OE＝ED，OF＝BF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．六．中心對稱（共4小題）14．（2022春?安吉縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC與△A1B1C1關(guān)于E點成中心對稱，點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1，則對稱中心E點的坐標(biāo)是（）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【分析】連接對應(yīng)點AA1、CC1，根據(jù)對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，則交點就是對稱中心E點，在坐標(biāo)系內(nèi)確定出其坐標(biāo)．【解答】解：如圖，連接AA1、CC1，則交點就是對稱中心E點．觀察圖形可知，E（3，﹣1）．故選：A．【點評】此題考查了中心對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．確定E點位置是解決問題的關(guān)鍵．15．（2021春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'關(guān)于D（﹣1，0）成中心對稱．已知點A的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），則點A'的坐標(biāo)是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）【分析】根據(jù)點D是線段AA′的中點以及中點坐標(biāo)公式解答．【解答】解：設(shè)點A'的坐標(biāo)是（a，b），根據(jù)題意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即點A'的坐標(biāo)是（1，2），故選：B．【點評】本題綜合考查了中心對稱，坐標(biāo)與圖形的變化，難度不大，掌握對稱中心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春?溫州期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的BC邊在x軸上，點A（0，3），B（﹣1，0），若直線y＝﹣2x+4恰好平分平行四邊形ABCD的面積，則點D的坐標(biāo)是（，3）．【分析】連接BD，設(shè)D（m，3），BD的中點為T．求出點T的坐標(biāo)，利用的待定系數(shù)法，可得結(jié)論．【解答】解：連接BD，設(shè)D（m，3），BD的中點為T．∵B（﹣1，0），∴T（，），∵直線y＝﹣2x+4平分平行四邊形ABCD的面積，∴直線y＝﹣2x+4經(jīng)過點T，∴＝﹣2×+4，∴m＝，∴D（，3），故答案為：（，3）．【點評】本題考查中心對稱，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．17．（2020春?奉化區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一個電動玩具從坐標(biāo)原點O出發(fā)，第一次跳躍到點P1．使得點P1與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點P2，使得點P2與點P1關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點P3，使得點P3與點P2關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點P4，使得點P4與點P3關(guān)于點A成中心對稱；第五次跳躍到點P5，使得點P5與點P4關(guān)于點B成中心對稱；…照此規(guī)律重復(fù)下去，則點P2020的坐標(biāo)為（2，2）．【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找出部分Pn的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【解答】解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n為自然數(shù)）．∵2020＝6×336+4，∴P2020（2，2）．故答案為：（2，2）．【點評】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標(biāo)以及中心對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n為自然數(shù)）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)題意列出部分Pn點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．七．平行四邊形的判定（共6小題）18．（2022春?拱墅區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進行分析即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS），∴DO＝BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；C、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．19．（2022春?錢塘區(qū)期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF與BE交于點H，BG與CF交于點I，則圖中平行四邊形有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【分析】由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，∴四邊形ADEB、四邊形ADFC、四邊形AFGB、四邊形BEFC、四邊形BHFI都是平行四邊形，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，熟記“兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．20．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A、B、C三點的坐標(biāo)為（0，0）、（﹣4，0）、（3，2），以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在第四象限．【分析】根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和平行四邊形的對邊平行且相等可以畫出草圖，然后解答即可．【解答】解：根據(jù)題意畫出草圖得：A、B、C三點位置如圖所示，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則點D有三種可能，即分別以AB、AC、BC為對角線的平行四邊形，故第四個頂點不可能在第四象限，故答案為：四【點評】本題考查了平行四邊形的判斷和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件正確畫圖再數(shù)形結(jié)合，能起到事半功倍的作用．21．在一個平面上有不在同一直線上的三點，則這些點為頂點的平行四邊形的個數(shù)是3個．【分析】設(shè)不在同一直線上的三點為A、B、C，連接AB、BC、CA，分別以其中一條線段為對角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構(gòu)成三個不同的平行四邊形．【解答】解：設(shè)已知三點為A、B、C，連接AB、BC、CA，分別以AB、BC、CA為平行四邊形的對角線，另外兩邊為邊，可構(gòu)成的平行四邊形有三個：?ACBD，?ACEB，?ABCF．故答案為：3．【點評】本題考查了平行四邊形的判定以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中點．求證：四邊形AECD是平行四邊形．【分析】已知BC＝2AD，E是BC的中點，可證CE＝AD，結(jié)合AD∥BC，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證結(jié)論．【解答】證明：∵BC＝2AD，E是BC的中點∴CE＝AD∵AD∥BC∴四邊形AECD是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判斷方法之一：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．23．已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AB＝DC＝5，AC＝4，BC＝3．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】已知AB＝5，AC＝4，BC＝3，可證△ABC為直角三角形，由AD∥BC得∠CAD＝∠ACB＝90°，即△CAD為直角三角形，已知DC＝5，AC＝4，利用勾股定理可求AD＝3，那么兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【解答】證明：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3∴AB2＝AC2+BC2∴∠BCA＝90°∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA＝90°∵DC＝5，AC＝4，∴AD2＝DC2﹣AC2＝9∴AD＝BC＝3∴四邊形ABCD為平行四邊形．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理的運用，平行四邊形的判定方法．在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．八．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共7小題）24．（2022春?杭州期中）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，則AB的長是（）A． B．1 C． D．【分析】證四邊形ABDE是平行四邊形，得AB＝DE＝CD，再由勾股定理求出CE的長，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴AB＝DE＝CD，∴AB＝CE∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∴CE＝＝＝2，∴AB＝CE＝，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022?寧波模擬）如圖，O是?ABCD對角線AC上一點，過O作EF∥AD交AB于點E，交CD于點F，GH∥AB交AD于點G，交BC于點H，連結(jié)GE，GF，HE，HF，若已知下列圖形的面積，不能求出?ABCD面積的是（）A．四邊形EHFG B．△AEG和△CHF C．四邊形EBHO和四邊形GOFD D．△AEO和四邊形GOFD【分析】A、根據(jù)平行四邊形的對角線平分平行四邊形的面積可作判斷；B、先根據(jù)等式的性質(zhì)證明S?BEOH＝S?GOFD，再由同底邊的平行四邊形的面積的比是對應(yīng)高的比可作判斷；C、四邊形EBHO的面積和四邊形GOFD的面積相等，已知四邊形EBHO和四邊形GOFD的面積，不能求出?ABCD面積；D、同選項B同理可作判斷．【解答】解：A、在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四邊形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四邊形，∴S△EOG＝S?AEOG，S△EOH＝S?BEOH，S△FOH＝S?OHCF，S△FOG＝S?OGDF，∴四邊形EHFG的面積＝×?ABCD的面積，∴已知四邊形EHFG的面積，可求出?ABCD的面積，故A不符合題意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S?BEOH＝S?GOFD，∵＝，∴S?BEOH＝S?OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面積，可求出?ABCD的面積，故B不符合題意；C、已知四邊形EBHO和四邊形GOFD的面積，不能求出?ABCD面積，故C符合題意；D、∵＝，∴＝，∴S?OHCF＝S2?OGDF?，∴已知△AEO和四邊形GOFD的面積，能求出?ABCD面積；故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的面積公式和一條對角線平分平行四邊形的面積是解本題的關(guān)鍵．26．（2022秋?婺城區(qū)期末）已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且∠ADE＝∠CBF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．【分析】【分析】根據(jù)平行四邊的性質(zhì)得出：AD＝BC，AB＝CD，∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠ACD，證明△ADE≌△CBF（AAS），得出AE＝CF，DE＝BF，證明△AEB≌△CFD（SAS），得出BE＝DF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠ACD，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，DE＝BF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE＝DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．【點評】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．27．（2022春?臨海市月考）在?ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得DF∥BE，DF＝BE，所以四邊形BFDE是平行四邊形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵AE＝CF．∴DF∥BE，DF＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形．【點評】此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．28．（2022春?溫州校級月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的一點，作DE⊥BC，垂足為E，延長DE到F，連結(jié)CF，使∠A＝∠F．（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形．（2）連接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四邊形ADFC的面積．【分析】（1）由∠ACB＝90°，DE⊥BC，推出AC∥DF，得出∠A＝∠BDF，再證∠BDF＝∠F，則CF∥AB，即可得出結(jié)論；（2）先由AAS證得△ADC≌△FDC，得出AD＝DF，由平行四邊形的性質(zhì)得S四邊形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，設(shè)EF＝x，則DE＝10﹣x，再由勾股定理求出x＝，CE＝，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，延長DE到F，∴AC∥DF，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠F，∴∠BDF＝∠F，∴CF∥AB，又∵AC∥DF，∴四邊形ADFC是平行四邊形；（2）解：∵CD平分∠ADE，∴∠ADC＝∠FDC，在△ADC和△FDC中，，∴△ADC≌△FDC（AAS），∴AD＝DF，由（1）得：四邊形ADFC是平行四邊形，∴S四邊形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，設(shè)EF＝x，則DE＝10﹣x，在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD2﹣DE2，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，解得：x＝，∴CE＝＝＝，∴S四邊形ADFC＝2S△CDF＝2×DF?CE＝2××10×＝96．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2022春?南湖區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四邊形AFCE的面積．【分析】（1）證明△AED≌△CFB，得到DE＝BF，進而可以解決問題；（2）根據(jù)勾股定理可得BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，所以EF＝BE﹣BF＝11cm，進而可以求四邊形AFCE的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（AAS），∴DE＝BF，∴OD﹣DE＝OB﹣BF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF＝12cm，∵AD＝BC＝13cm，∵AE⊥BD，CF⊥BD，AB＝20cm，∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∵S四邊形AFCE＝AE?EF＝11×12＝132cm2，∴四邊形AFCE的面積為132cm2．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△AED≌△CFB．30．（2022春?下城區(qū)校級期中）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E，點F分別是AD，BC的中點，連接比BE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四邊形ABCD的周長．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)可得DE＝BF，即可得結(jié)論；（2）由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證AB＝AE＝5，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點E，點F分別是AD，BC的中點，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝5，∴AD＝2AE＝10，∴平行四邊形ABCD的周長＝2×（5+10）＝30．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．九．三角形中位線定理（共7小題）31．（2022春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，F(xiàn)是AB邊上的一個動點，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)D．若△ABC的面積為20，則△DEF的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接BE，根據(jù)三角形的面積公式求出△DEB的面積，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，得到△DEF的面積＝△DEB的面積，得到答案．【解答】解：連接BE，∵點E是AC的中點，△ABC的面積的為20，∴△CEB的面積＝×△ABC的面積＝10，∵點D是AB的中點，∴△DEB的面積＝×△CEB的面積＝5，∵D，E分別是BC，AC的中點，∴DE∥AB，∴△DEF的面積＝△DEB的面積＝5，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的面積計算，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．32．（2022春?金華月考）如圖，DE是△ABC的中位線，直角∠AFB的頂點在DE上，AB＝5，BC＝8，則EF的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．不能確定【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF＝AB，再利用三角形中位線定理可得DE＝4，進而可得答案．【解答】解：如圖，∵D為AB中點，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．33．（2022春?濱江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為9．【分析】根據(jù)線段中點的概念分別求出AD、AF，根據(jù)三角形中位線定理分別求出DE、EF，計算即可．【解答】解：∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴AD＝AB＝2，AF＝AC＝2.5，DE、EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB＝2，DE＝AC＝2.5，∴四邊形ADEF的周長＝AD+DE+EF+AF＝2+2.5+2+2.5＝9，故答案為：9．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．34．（2022春?富陽區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，點M是BC邊上的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，若AB＝8，MN＝2，則AC的長為12．【分析】延長BN交AC于D，證明△ANB≌△AND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理計算即可求出AC的長．【解答】解：如圖，延長BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴MN是△BCD的中位線，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故答案為：12．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．35．（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連接BE，過點C作CF∥BE，交DE的延長線于點F，若EF＝3，求DE的長．【分析】先證明DE為△ABC的中位線，得到四邊形BCFE為平行四邊形，求出BC＝EF＝3，根據(jù)中位線定理即可求解．【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC＝EF＝3，∴DE＝BC＝．【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．36．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于點F，交AB于點G，連接EF，求線段EF的長．【分析】首先證明△AGF≌△ACF，則AG＝AC＝4，GF＝CF，證明EF是△BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．【解答】解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）．∴AG＝AC＝8，∴GF＝CF，則BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位線．∴EF＝BG＝2cm．答：EF的長為2cm，【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確證明GF＝CF是關(guān)鍵．37．（2021春?越城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，點D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的長；（2）若F是BC中點，求線段EF的長．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得DE＝5，根據(jù)勾股定理計算AE的長即可；（2）根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，∴AD＝23﹣10＝13，∵AB＝13，∴AB＝CD，∵AE平分∠BAC，∴DE＝BE，AE⊥BD，∵BD＝10，∴DE＝5，∴AE＝＝＝12；（2）∵E是BD的中點，F(xiàn)是BC中點，∴EF＝CD＝＝5．【點評】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．一十．反證法（共3小題）38．（2021春?嵊州市期末）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B＜90°③假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應(yīng)是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【解答】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟：1、假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，4、因此假設(shè)不成立．∴∠B＜90°，故選：D．【點評】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．39．（2022春?溫州校級月考）若用反證法來證明命題“若a＞1，則a2＞1”，第一步應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)2＞1 B．a(chǎn)2≥1 C．a(chǎn)2≤1 D．a(chǎn)2＜1【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【解答】解：用反證法來證明命題“若a＞1，則a2＞1”，第一步假設(shè)a2≤1，故選：C．【點評】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．40．（2022秋?江北區(qū)期末）反證法是數(shù)學(xué)中經(jīng)常運用的一類“間接證明法”．用反證法證明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”時，第一步應(yīng)假設(shè)∠B≥90°．【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【解答】解：用反證法證明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”時，第一步應(yīng)假設(shè)：∠B≥90°，故答案為：∠B≥90°．【點評】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022春·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）一個多邊形的內(nèi)角和為，那么這個多邊形是（）A．七邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形【答案】B【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是，列出方程即可求解．【詳解】解：這個正多邊形的邊數(shù)是n，則，解得：．故這個正多邊形是六邊形．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用反證法證明命題“已知在中，，則”時，首先應(yīng)該假設(shè)（

）A． B．C． D．且【答案】A【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【詳解】解：用反證法證明命題“已知在中，，則”時，首先應(yīng)該假設(shè)．故選：A【點睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．3．（2019秋·浙江·八年級統(tǒng)考期末）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a，AI＝MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點I，使AI等于河寬．連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求．故選：D．【點睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運用到了兩點之間線段最短，平行四邊形等知識點，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點．4．（2023春·八年級單元測試）小明家住黃山市，小明的爸爸剛在市區(qū)買了一套住房，帶著小明去選地磚準備裝修，看著滿目美麗的正三角形，正方形、正六邊形、正八邊形地磚，不知道選哪種好，但是爸爸告訴小明：有一種地磚是不能單獨鋪滿地面的，必須與另外一種形狀的地磚混合使用，讓小明指出這種地磚，小明略加思考便選出來了，小明選擇的地磚的形狀是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正八邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角能整除進行判斷即可．【詳解】解：A、正三角形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故A不符合題意;B、正方形的每個內(nèi)角是，4個能密鋪，故B不符合題意;C、正八邊形每個內(nèi)角是，不能整除，不能密鋪，故C符合題意;D、正六邊形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故D不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了正多邊形的鑲嵌，能正確求出正多邊形的一個內(nèi)角是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）若一個多邊形的每個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】一個多邊形的外角和為360°，而每個外角為，進而求出外角的個數(shù)，即為多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和是360°是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，公共頂點為，且正六邊形的邊與正方形的邊在同一條直線上，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和共求出六邊形的內(nèi)角，然后根據(jù)正多邊形內(nèi)角與外角的互補即可求得正六邊形和正方形的外角，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵正六邊形的內(nèi)角為：，正方形的內(nèi)角為：，∴，,∴在中，，故選．【點睛】本體考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，正多邊形的外角與內(nèi)角的互補，熟記正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分交AC于點D，且，F(xiàn)在BC上，E為AF的中點，連接DE，若，，，則AB的長為（

）A． B． C． D．9【答案】A【分析】證明，推出，，得到，設(shè)，求得，在中，利用勾股定理求得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵BD平分交AC于點D，且，∴，，又，∴，∴，，∵E為AF的中點，∴，設(shè)，則，，，∴，在中，，解得，∴，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·浙江舟山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從正八邊形（各邊相等，各內(nèi)角也相等）草地的一邊AB上一點S出發(fā)，步行一周回到原處在步行的過程中，小明轉(zhuǎn)過的角度的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的內(nèi)角和求出每個內(nèi)角，再求出每次轉(zhuǎn)過的角度45°，一共轉(zhuǎn)8次，利用45°×8計算即可.【詳解】解：∵ABCDEFGH為正八邊形，∴每個內(nèi)角為（82）×180°÷8=135°，小明每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)過的角為180°135°=45°，步行一周回到原處，小明一共轉(zhuǎn)八次所有轉(zhuǎn)過的角度之和為45°×8=360°，故選:D．【點睛】本題考查正八邊形的內(nèi)角和、每個內(nèi)角、外角與外角和，掌握正多邊形相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9．（2021春·浙江寧波·八年級校考期中）下列說法：①伸縮門的制作運用了四邊形的不穩(wěn)定性；②夾在兩條平行線間的垂線段相等；③成中心對稱的兩個圖形不一定是全等圖形；④一組對角相等的四邊形是平行四邊形；⑤用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，必先假設(shè)“四邊形中至多有一個角是鈍角或直角”；其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】直接利用四邊形的性質(zhì)以及中心對稱圖形的性質(zhì)和反證法分別分析得出答案．【詳解】①伸縮門的制作運用了四邊形的不穩(wěn)定性；正確；②夾在兩條平行線間的垂線段相等；正確；③成中心對稱的兩個圖形不一定是全等圖形；錯誤，一定全等；④一組對角相等的四邊形是平行四邊形；錯誤；⑤用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，必先假設(shè)“四邊形中至多有一個角是鈍角或直角”；錯誤．故選：B【點睛】本題考查四邊形的性質(zhì)以及中心對稱圖形的性質(zhì)和反證法，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，過對角線的交點，交于點，交于點，則：①；②圖中共有4對全等三角形；③若，，則；④；其中正確的結(jié)論有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，判斷①，根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，得出6對全等三角形，進而判斷②，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出的取值范圍，判斷③，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴；故①正確，由平行四邊形的中心對稱性，全等三角形有：，，，，，共6對，故②錯誤；∵，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴；故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）把一個多邊形割去一個角后，得到的多邊形內(nèi)角和為1440°，則原來這個多邊形的邊數(shù)為_______．【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n2）?180°求出截去一個角后的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1，不變，減少1討論得解．【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，則（n2）?180°=1440°，解得n=10，∵截去一個角后邊上可以增加1，不變，減少1，∴原多邊形的邊數(shù)是9或10或11．故答案為：9或10或11．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，關(guān)鍵是理解多邊形截去一個角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．12．（2020春·浙江杭州·八年級期末）過六邊形一個頂點的所有對角線將六邊形分成______個三角形；內(nèi)角和是1080°的多邊形是______邊形．【答案】

4

8【分析】從n邊形的一個頂點出發(fā)，連接這個點與其余各頂點，可以把一個多邊形分割成（n2）個三角形，依此作答．【詳解】解：過六邊形的一個頂點的所有對角線可將六邊形分成62=4個三角形，設(shè)此多邊形邊數(shù)是n，則（n2）?180°=1080°，解得n=8．故答案為：4，8．【點睛】本題主要考查多邊形的對角線，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．13．（2023春·八年級單元測試）一個正八邊形，從它的一個頂點可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則___________．【答案】【分析】過八邊形的一個頂點可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，據(jù)此求得的值，繼而即可求解．【詳解】解：過八邊形的一個頂點可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，掌握過多邊形的一個頂點的對角線條數(shù)為是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期末）已知一個正多邊形的一個外角為36°，則這個正多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】10【分析】先思考正多邊形的外角和為360°，再根據(jù)一個外角為36°，即可求出正多邊形的邊數(shù)即可．【詳解】正多邊形的邊數(shù)是：360°÷36°=10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了正多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學(xué)?？计谥校┮阎?，，將按照如圖所示折疊，若，則_____．【答案】【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理的推論，先用表示出，再利用鄰補角和四邊形的內(nèi)角和定理用表示出，最后再利用三角形的內(nèi)角和定理求出．【詳解】解：由折疊知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是”、“四邊形的內(nèi)角和是”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解決本題的關(guān)鍵．16．（2021春·浙江紹興·八年級紹興市元培中學(xué)?？计谥校┮阎粋€多邊形的內(nèi)角和是900°，把這個多邊形剪去一個角，則剩下多邊形的內(nèi)角和可以是___________．【答案】或或【分析】先求出原多邊形是七邊形，剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應(yīng)內(nèi)角和就增加180度，由此即可求出答案．【詳解】解：∵多邊形的內(nèi)角和是，∴，解得：，即原多邊形是七邊形，因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當(dāng)多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內(nèi)角和；當(dāng)多邊形的邊數(shù)不變，內(nèi)角和；當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內(nèi)角和．答：將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，在理解剪掉多邊形的一個角的含義時，確定其剩余幾邊形是關(guān)鍵．三、解答題17．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平分，平分，，垂足為，的周長為，面積為，求的長．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可．【詳解】解：如圖，連結(jié)CD．平分，平分，點D到，，的距離相等，即為的長．的周長為，面積為，，即，解得．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三個距離相等．18．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在方格網(wǎng)中已知格點和點O．

（1）畫和關(guān)于點O成中心對稱；（2）請在方格網(wǎng)中標(biāo)出所有使以點A、O、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的D點．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)中心對稱的作法，找出對稱點，即可畫出圖形；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，畫出使以點A、O、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點即可．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：【點睛】此題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換，用到的知識點是旋轉(zhuǎn)、中心對稱、平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握中心對稱的作法，作平行四邊形時注意畫出所有符合要求的圖形．19．（2023春·八年級單元測試）已知：如圖，在四邊形中，，，垂足分別為，，延長、，分別交于點，交于點，若，．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)5．【分析】（1）證明，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可解決問題；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，然后根據(jù)勾股定理可得，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：，，，∵，，在和中，，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：四邊形為平行四邊形，，，，，，，在中，，，，，．．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．20．（2021春·浙江杭州·八年級期中）如圖，在中，是的中點，延長到點，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，根據(jù)是的中點，，即可判定四邊形是平行四邊形；（2）過點作于點，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，又根據(jù)四邊形是平行四邊形，，；根據(jù)直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長度，即可求解．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵F是AD的中點，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，（2）∵四邊形是平行四邊形∴，又∵四邊形是平行四邊形∴，∴過點作于點∴∵∴∴∴【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半．21．（2023春·八年級單元測試）在平行四邊形中，，，垂足為E、F．(1)求證：．(2)連接，交于點M，交于點N，請直接寫出圖中所有的全等三角形．【答案】(1)證明見解析(2)；；；；【分析】（1）先證明四邊形DEBF是平行四邊形，即可得出；（2）根據(jù)題目所給的條件以及全等三角形的判定定理寫出圖中所有的全等的三角形即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形