實戰(zhàn)演練10 圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題（3大?？键c歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練10圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題①定點問題②定值問題③定直線問題一、定點問題定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．【一般策略】①引進參數(shù).一般是點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等.②列出關系式.根據(jù)題設條件，表示出對應的動態(tài)直線或曲線方程.③探究直線過定點.一般化成點斜式或者直線系方程二、定值問題在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．這些問題重點考查學生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用．【一般策略】①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②引進變量法：選擇適當?shù)膭狱c坐標或動直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值【常用結論】結論1過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.結論2過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.結論3

過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.結論4過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.結論5

設點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1三、定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產(chǎn)生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.【一般策略】①聯(lián)立方程消去參；②挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標；③將橫縱坐標分別用參數(shù)表示，再消參；④設點，對方程變形解得定直線.解題技巧：動點在定直線上：題設為某動點在某定直線．目標：需要消掉關于動點橫坐標或者縱坐標的所有參數(shù)，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種情況：（1），即動點恒過直線．（2），即動點恒過直線．（3），即動點恒過直線．①定點問題一、解答題1．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標原點O），使得當直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解焦點坐標，進而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，結合向量垂直的坐標運算，即可求解.【詳解】（1）由題意過點且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點F的坐標為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設存在定點，設直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當時，點M的坐標為，滿足，，∴存在定點．2．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設，是否存在x軸上的定點P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；（2）由題意可將原問題轉(zhuǎn)換為，設直線的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結合韋達定理可求得的值即可.【詳解】（1）∵的周長為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設直線MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內(nèi)心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當直線MN垂直于x軸，即時，顯然點也是符合題意的點．故在x軸上存在定點，使得的內(nèi)心在x軸上.3．（2024高三·全國·專題練習）已知拋物線的焦點與橢圓的上頂點重合，點是直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為．(1)求拋物線的方程．(2)證明直線過定點，并且求出定點坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點計算求參得出拋物線方程；（2）根據(jù)導數(shù)求出切線斜率再分別表示切線應用同構或待定系數(shù)法求解即可.【詳解】（1）由題意橢圓的上頂點為，，∴，∴．（2）法一（同構法）．設點Mx1,y1由，∴直線的斜率為，∴即同理可得∵點，代入得∵點，代入得∴點、都滿足關系∴①又點，∴，代入①得故直線恒過定點1,4．法二（配極原則）．設定點為，由題目可知點所在直線是點對應的極線，∴由配極原則可得即對比的系數(shù)可得∴直線恒過定點1,4．4．（2025·廣東·一模）設兩點的坐標分別為.直線相交于點，且它們的斜率之積是.設點的軌跡方程為.(1)求;(2)不經(jīng)過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設點的坐標為，然后表示出直線的斜率，再由它們的斜率之積是，列方程化簡可得點的軌跡方程；（2）設，當直線斜率不存在時，求得直線為0，當直線斜率存在時，設直線，由得，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關系，代入上式化簡可得，從而可求得直線恒過的定點.【詳解】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡，得點的軌跡方程為，即點的軌跡是除去兩點的橢圓.（2）證明：設①當直線斜率不存在時，可知，且有，解得，此時直線為0，②當直線斜率存在時，設直線，則此時有：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可得：，根據(jù)韋達定理可得：，，所以，所以，所以所以，則或，當時，則直線恒過點與題意不符，舍去，故，直線恒過原點，結合①，②可知，直線恒過原點，原命題得證.【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓中直線過定點問題，解題的關鍵是設出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系結合已知條件求解，考查計算能力，屬于較難題.5．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點，且．

(1)求的方程；(2)如圖，過作直線（不與軸重合）與曲線的兩支交于兩點，直線與的另一個交點分別為，求證：直線經(jīng)過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用焦距，結合題干條件與漸近線構成的幾何關系，列方程組求出，得到雙曲線方程；（2）設，利用點斜式方程分別寫出直線的方程，和雙曲線聯(lián)立后，得到的坐標，然后得到直線的方程，即可求解.【詳解】（1）漸近線，漸近線．設為坐標原點，由題意，不妨設在上，在上，是線段的中垂線，所以．由對稱性，，所以，從而．，在Rt中，，解得．所以，故C的方程為．（2）設，設直線．

可得直線．聯(lián)立得，則，又，所以，所以，所以，同理．則直線，令，得，所以直線過定點．【點睛】方法點睛：直線過定點問題，需將待考察的直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達定理的表達式，將直線方程進行化簡整理后進行求解.6．（2024高三·全國·專題練習）長為3的線段的兩個端點分別在軸上移動，點在直線上且滿足．(1)求點的軌跡方程．(2)記點的軌跡為曲線，過點任作直線交曲線于兩點，過作斜率為的直線交曲線于另一點．求證：直線與直線的交點為定點（為坐標原點），并求出該定點．【答案】(1)(2)證明見解析，．【分析】（1）利用，確定，，坐標之間的關系，由，即可求點P的軌跡方程；（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線與曲線C相切，不合題意；當斜率存在時，設直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定、的方程，聯(lián)立，結合韋達定理，即可證得結論．【詳解】（1）設，由得，即，又由，整理得．（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線與曲線相切，不合題意；當斜率存在時，設直線的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立，消去可得，設，則，又的方程為，與曲線的方程聯(lián)立可得：，，，，直線的方程為，易得，聯(lián)立可得，則，，又，，從而，則，所以直線與直線交于定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.7．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經(jīng)過點．(1)求的離心率；(2)設直線經(jīng)過的右焦點，且與交于不同的兩點，點N關于x軸的對稱點為點P，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由兩點坐標代入待定系數(shù)求出雙曲線方程，進而得離心率；（2）設點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結合韋達定理表示出，，坐標表示直線的方程，由對稱性知直線若過定點必在軸上，直線方程中令，代入韋達定理化簡可得橫坐標為定值即得證.【詳解】（1）由雙曲線經(jīng)過點，則有，解得，即雙曲線的標準方程為，則，所以離心率，故的離心率為；（2）由（1）知的右焦點為，直線，設Mx1,y1聯(lián)立，得，由題可知，即，且，則，則直線的直線方程為，由對稱性可知，直線若過定點，則必在軸上，令，得當，且時，，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的一般解法（1）引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點，或以曲線上的點為參數(shù)，設點，利用點在曲線＝0上，即消參.（2）特殊到一般法：定點問題，先猜后證，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，再加以證明.8．（2024·云南·模擬預測）拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．（2）由（1）知，當時，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.9．（23-24高二下·云南昆明·階段練習）已知雙曲線的焦點為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過點作斜率分別為的直線，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，點分別是的中點，若，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點，【分析】（1）由題意可得，，再結合求出，從而可求得雙曲線的方程；（2）直線的方程為，設，將直線方程代入雙曲線方程化簡，利用根與系數(shù)的關系結合中點坐標公式表示出點的坐標，同理表示出點的坐標，由得，表示出，從而可表示出直線的方程，化簡可得答案.【詳解】（1）由題意知，解得，所以雙曲線的方程是；（2）直線的方程為，設．由，得，所以，所以，所以，所以，同理可得，因為，所以，即，當且時，，所以直線的方程為，，，，，所以，所以直線過定點；當或時，直線的方程為，所以直線過定點．綜上，直線過定點．【點睛】關鍵點點睛：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線中直線過定點問題，解題的關鍵是將直線方程代入雙曲線方程化簡，結合根與系數(shù)的關系的中點坐標公式表示出的坐標，考查計算能力，屬于較難題.②定值問題一、解答題1．（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準線過點，(1)求拋物線的標準方程;(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.【答案】(1)y2＝8x(2)證明見解析，8【分析】（1）根據(jù)準線過點即可求出p，進而可知拋物線標準方程；（2）假設直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進而可以得到與其中垂線的交點坐標，進而可以表示出中垂線方程，進而求點的坐標，再求即可.【詳解】（1）解:(1)由題意得∴拋物線的方程為（2）設，直線AB的斜率為則直線方程為將此式代入，得，故設的中垂線為直線m，設直線m與的交點為則故直線m的方程為令得點P的橫坐標為故∴為定值82．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．(1)求的方程；(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，為定值．【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應用弦長公式，最后計算得出定值.【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以兩點在軸同側，所以．此時，即，所以．設，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當時，為定值，所以，當時，為定值．3．（23-24高三下·江西·階段練習）在直角坐標系xOy中，點到直線的距離等于點到原點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)點A，B，C，D在上，A，B是關于軸對稱的兩點，點位于第一象限，點位于第三象限，直線AC與軸交于點，與軸交于點，且B，H，D三點共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直接法，求軌跡方程；（2）首先設點，并表示直線的方程，并由已知條件求得點的坐標，并利用方程聯(lián)立表示的坐標，并利用坐標表示斜率，即可求解.【詳解】（1）設，則，兩邊平方，化簡得，故的方程為.（2）證明:設點的方程為，則，因為，所以從而直線BD的方程為聯(lián)立可得，所以，則，所以聯(lián)立可得，所以，則，所以.所以直線CD的斜率為.所以直線與直線的斜率之比為.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是設出點的坐標，并找到坐標的關系，從而求得斜率的關系.4．（2024·甘肅武威·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為是上在第一象限內(nèi)的點，且直線的傾斜角為，點到的距離為．(1)求的方程；(2)設直線與交于兩點，是線段上一點（異于兩點），是上一點，且軸．若平行四邊形的三個頂點均在上，與交于點，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線定義得到，再根據(jù)條件得到，代入拋物線方程得到方程，即可求出結果；（2）設直線的方程為，Nx2,y2，根據(jù)條件得到，從而有直線的方程為，得到直線過點，又由題設知的中點坐標為，得到為的中點，即可解決問題.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，得，過點作軸，垂足為，則，又，所以，代入，得，整理得，解得（舍去）或，故的方程為．（2）設，顯然，與軸不平行，設直線的方程為，Nx2,聯(lián)立得，則，且，因為四邊形為平行四邊形，所以，即，所以，得到，又，即，由點在上，得，解得，所以直線的方程為，即，所以直線過點，又將代入，得，所以的中點坐標為，即為的中點，所以，故為定值．5．（23-24高二下·上?！るA段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為、，是雙曲線C上一點，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P作直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于R、S兩點.若點P恰為線段RS的中點，求直線l的方程；(3)設斜率為-2的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，點B關于坐標原點的對稱點為D.若直線PA、PD的斜率均存在且分別為、，求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）代入得到，由得到，聯(lián)立即可得解；（2）由在直線上，且為中點，解出值即可；（3）設出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線的方程得到，結合題意解出即可.【詳解】（1）因為是雙曲線C上一點，所以，由，所以，因為，所以，即，聯(lián)立解得：，所以雙曲線的方程為：.（2）由（1）知：雙曲線的漸近線方程為，由圖象可知直線的斜率存在并大于1，不妨設，，由的方程為：，將代入得：，同理，由為中點，則，所以，解得，所以直線l的方程為.（3）設Ax1,y1,Bx設直線的方程為，由，得，由可知或，則，所以，由題意知：，所以，所以為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.6．（24-25高三上·海南·開學考試）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于兩點，是橢圓上位于直線兩側的動點，且直線的斜率為.①求四邊形的面積的最大值；②設直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.【答案】(1)；(2)①；②是，0【分析】（1）設橢圓的方程為，由題意得，再結合可求出，從而可求出橢圓方程；（2）①求出，設直線的方程為，設點，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關系，再由是橢圓C上位于直線PQ兩側，求出的范圍，然后表示出四邊形的面積，化簡可求出其最大值；②表示出直線的斜率和直線的斜率，然后結合前面的式子化簡可得答案.【詳解】（1）設橢圓的方程為.由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）①當時，，解得，所以點的坐標為，則，設直線的方程為，設點，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達定理知：，又是橢圓C上位于直線PQ兩側，則，解得四邊形的面積故當時，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則..所以的值為常數(shù)0.【點睛】關鍵點點睛：本題第（2）問解題的關鍵是設出直線的方程，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，然后結合已知條件求解，考查計算能力，屬于較難題.7．（23-24高二上·北京·期末）已知橢圓過點，且．(1)求橢圓ω的方程；(2)設O為原點，過點的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M，N兩點．求證為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題可得，進而得出，即可得出橢圓方程；（2）先考慮直線斜率不存在時，可得，當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，得出韋達定理，得出直線的方程，可表示出坐標，同理表示出的坐標，進而利用韋達定理可求出.【詳解】（1）因為橢圓過點，所以.因為，所以.所以橢圓的方程為.（2）當直線斜率不存在時，直線的方程為.不妨設此時，，所以直線的方程為，即.直線的方程為，即.所以.當直線斜率存在時，設直線的方程為，由，得.依題意，.設，，則，.又直線的方程為，令，得點的縱坐標為，即，同理.所以.綜上，為定值，定值為.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為Ax1,（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.8．（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知點，，過的直線交曲線于A，兩點，交曲線于，交曲線于，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）設動圓的半徑為，分析可得，利用橢圓的定義可求得軌跡的方程；（2）根據(jù)條件可得直線AM和BM的方程，與橢圓C方程聯(lián)立，利用韋達定理法結合斜率公式計算即得.【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，因為，則，可知圓內(nèi)含于圓，設動圓的半徑為，若動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，

則，可得，所以動圓的圓心的軌跡是以、為焦點的橢圓，設其方程為，其中，，則，，所以軌跡的方程為.（2）設，

則有，則直線AM的方程為：，直線AB的方程為，則，聯(lián)立方程，解得：，又點Ax，代入上式化簡得：

，；同理可得：，所以，即，為定值.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結論．9．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線C的中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過A?2,0，兩點．(1)求C的方程；(2)設P，M，N三點在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）△MNP的面積為定值．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）設C的方程為，其中．由C過A，B兩點，代入解得，即可.（2）（ⅰ）設Px0,y0，Mx1,y1，Nx聯(lián)立結合韋達定理得到，．同理，．再結合向量運算即可解決.（ⅱ）結合前面結論，運用點到直線距離公式，三角形面積公式可解.【詳解】（1）設C的方程為，其中．由C過A，B兩點，故，，解得，．因此C的方程為．（2）（ⅰ）設Px0,y0，Mx1

因為，所以直線BM的斜率為，方程為．由，得，所以，．因此．同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．由，得，所以，，因此．則，即存在，滿足．（ⅱ）由（ⅰ），直線MN的方程為，所以點P到直線MN的距離．而，所以的面積為定值．【點睛】難點點睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問設問基礎，但需要注意所設方程的形式；第（2）（?。┬栐陬}干條件翻譯上未設置較多障礙，但是對4個坐標分量的求解非?？简瀸W生的代數(shù)基本功和計算能力，區(qū)分度較大．③定直線問題一、解答題1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知雙曲線的左?右頂點分別是，直線與交于兩點（不與重合），設直線的斜率分別為，且.(1)判斷直線是否過軸上的定點.若過，求出該定點；若不過，請說明理由.(2)若分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線與的交點在定直線上.【答案】(1)過定點.(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)題意設出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達定理的等式，再通過斜率之間的關系即可得出，即可得出定點坐標.（2）根據(jù)題意得出兩條直線方程，再聯(lián)立化簡得到關于的等式，從而得到定直線方程.【詳解】（1）由題意可知，設直線的方程為.由消去，可得，則，，即，.因為，所以，故直線的方程為，恒過點.（2）由題可知，直線的方程為，直線的方程為，因為，所以，故點在定直線上.

2．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．(1)設點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設Mx1,（2）由題意求出橢圓方程，與直線方程聯(lián)立，韋達定理表示根與系數(shù)的關系，聯(lián)立直線與直線的方程，化簡可求得交點在定直線上．【詳解】（1）設Mx1,y1由兩式相減得，即．所以．（2）解法一：由解得所以橢圓的方程為．將直線的方程代入橢圓的方程，化簡整理得．①

由，解得．由韋達定理，得，．②設，，則直線的方程為，③直線的方程為，④由③④兩式解得，即，所以直線與直線的交點在定直線上．解法二：設直線（即直線）與直線（軸）的交點為，直線與直線的交點為，則點，，構成橢圓的自極三點形，點一定在點對應的極線上，其方程為，即，就是說直線與直線的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（2024高三下·河南·專題練習）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當直線的斜率為0時得到，當直線的斜率不為0時，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結合韋達定理和得到點在定直線上，又也在直線上，即可證明點在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡得，的方程為.（2）依題意，設，①當直線的斜率為0時，則，因為，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當直線的斜率不為0時，設的方程為，由消去，得，則且，因為，所以，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點在直線上.【點睛】方法點睛：求解動點在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動點的橫縱坐標，然后消參，即可得到直線方程.4．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的對稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理及焦點弦公式求出，即可得解；（2）設直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】（1）當直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設兩點的橫坐標分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知F1,0，依題意，可設直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設Ax1,y設，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.5．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知橢圓C：的右頂點為，離心率為，過點的直線l與C交于M，N兩點．(1)若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(2)過點M且垂直于x軸的直線交直線AN于點Q，證明：線段MQ的中點在定直線上．【答案】(1)-3(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，待定系數(shù)法求出，，，得到橢圓方程，設直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，，代入兩根之和，兩根之積，求出的值；（2）設線段MQ的中點為，又Mx1,y1，故，根據(jù)三點共線，得到，計算出，故，得到線段MQ的中點在定直線上.【詳解】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為，顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：，Mx1,y由，得，由方程的判別式，可得，所以，，易得，所以，，所以，（2）證明：設線段MQ的中點為，又Mx1,y所以，，即，又A，N，Q三點共線，所以，即，所以，又，又所以，所以，即線段MQ的中點在定直線上．【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.6．（2024·湖南長沙·三模）已知拋物線，過點的直線與交于不同的兩點.當直線的傾斜角為時，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點的點，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)點恒在直線上.【分析】（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達定理及兩點距離公式，求弦的長即可；（2）設直線方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達定理及相似三角形求解即可.【詳解】（1）設Ax若直線的傾斜角為，則直線的方程為.聯(lián)立得，則，且，所以.因為，所以，故的方程為.（2）存在，定直線為.由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，.聯(lián)立得.由，得且，.不妨設，則，過點向軸作垂線，垂足分別為點，如圖所示，則，.因為，所以，整理得，所以.代入直線的方程得.因為，所以點恒在直線上.7．（2024·河北衡水·模擬預測）已知橢圓的左?右焦點分別為是上一點，且點到點的距離之和為.(1)求的方程；(2)斜率為的直線與交于兩點，則的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知可得，求解即可；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，且，，可求得，設直線的方程為，即，與橢圓聯(lián)立方程組可得，求得的垂直平分線方程，同理可求的垂直平分線方程，可求得的外心在定直線上.【詳解】（1）由題意，得，解得，故的方程為.（2）的外心在定直線0上.理由如下：由題