專題15 橢圓（4大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題15橢圓命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對橢圓的考查，重點是（1）橢圓的定義、幾何圖形、標準方程。（2）橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）。（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。橢圓的定義和弦長2022·新高考Ⅰ卷，16橢圓的離心率2023·新高考Ⅰ卷，5直線與橢圓的應(yīng)用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5橢圓的軌跡方程2024·新高考Ⅱ卷，5命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會解讀。Ⅱ卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點，由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·5）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023新高考Ⅱ卷·5）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·16）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.4．（2022新高考Ⅱ卷·16）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率準線方程點和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點）（為切點）對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點弦所在的直線方程焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【橢圓常用結(jié)論】1、過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．距離的最大值為，距離的最小值為．2、橢圓的切線①橢圓上一點處的切線方程是；②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．一、單選題1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個焦點為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用橢圓的標準方程與焦點位置即可得解.【詳解】由題意得，，，，所以．故選：D．2．（2024·山東煙臺·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率相等列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則，解得滿足題意.故選：A.3．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，,

,設(shè)，其它邊全部用t表示,運用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點,為線段的中點,,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.4．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點為，短軸長為，點在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】依題意，橢圓短軸長為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D5．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的左焦點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義與勾股定理可將分別用和表示，即可得離心率.【詳解】取右焦點，連接、，由在以線段為直徑的圓上，故，結(jié)合對稱性可知四邊形為矩形，有，有，又，由，則，，由橢圓定義可得，故，則.故選：C.6．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設(shè)橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到四邊形為矩形，由直線過原點且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計算得，結(jié)合橢圓的定義,求得離心率，進而計算出.【詳解】如圖所示，

因為，且分別為和的中點，，所以四邊形為矩形，又直線過原點且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，所以，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，同時，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，所以，可得，.故選：B.7．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡得，則，所以，，當且僅當，即時，等號成立；故選：C8．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內(nèi)心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】合理構(gòu)建圖形，利用角平分線定理和等比定理得到，再求短軸長度即可.【詳解】如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長為，故B正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理構(gòu)建圖形，然后利用角平分線定理和等比定理得到，再求解短軸長度即可．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是上任意一點，則下列不正確的是（

）A．的離心率為 B．的最小值為2C．的最大值為16 D．可能存在點，使得【答案】D【分析】求出橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐項分析計算即可.【詳解】橢圓：的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率，A正確；對于B，由，得，因此，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，當不在x軸上時，，，當且僅當取等號，當在x軸上時，，上述不等式成立，因此最大為，D錯誤.故選：D10．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點分別為，過向圓引切線交橢圓于點為坐標原點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先畫出圖形，由得，進而得，，然后由橢圓的定義可得，由勾股定理，從而即可得到離心率.【詳解】由題意畫出圖形，如下圖：設(shè)切點為M，連接，由已知，∴，∵，∴，又是的中點，圓的半徑為，，，∴，即，得，.故選：C.11．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積關(guān)系得出，再由勾股定理及橢圓定義求出，利用余弦定理及求解即可.【詳解】設(shè)，由可得，由于與等高，所以，

又，，∴，又，∴，在中，，∵，在中，，化簡可得，解得，故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點之一根據(jù)三角形面積關(guān)系得出，其次需要根據(jù)建立關(guān)系.二、多選題12．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為8【答案】ABD【分析】根據(jù)以及橢圓的對稱性可得，進而可求解，即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對于A，焦距為，故A正確，對于B，短軸長為，B正確，對于C，離心率為，C錯誤，對于D，的周長為，D正確，故選：ABD13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為、和的橢圓，點是橢圓與其長軸的一個交點，點是橢圓與其短軸的一個交點，點和為其焦點，．點在橢圓上，若，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．橢圓的離心率D．的面積不小于的面積【答案】BD【分析】AB選項，根據(jù)垂直關(guān)系得到，求出，得到A錯誤，B正確；C選項，根據(jù)得到，進而求出離心率；D選項，計算出和的面積，作差法結(jié)合基本不等式求出答案.【詳解】AB選項，橢圓方程為，不妨設(shè)，，故，因為，且直線的斜率存在，所以，即，故，成等比數(shù)列，A錯誤，B正確；C選項，因為，，所以，方程兩邊同除以得，，解得，負值舍去，故離心率為，C錯誤；D選項，由橢圓定義得，，因為，所以，兩邊平方得，故，，，又，且，由基本不等式得，所以即的面積不小于的面積，D正確.故選：BD14．（2024·河南·三模）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點，則（

）A．C的方程B．直線OP與的斜率之積為-1C．直線OP，l與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形D．直線PA，PB與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根據(jù)題干列出方程組，解方程組可判斷A；根據(jù)直線與橢圓相切的可求出直線的方程即可判斷B，C；通過計算可判斷D.【詳解】橢圓方程為：，故A正確；如圖，因為點在第一象限，取橢圓方程的右半部分得：，則，所以，所以，故B錯誤；，則為等腰三角形，故C正確；，消可得，與坐標軸圍成的三角形是等腰三角形，故D正確.故選：ACD15．（2024·全國·二模）已知圓O：經(jīng)過橢圓C：（）的兩個焦點，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓C的長軸長為2 B．橢圓C的短軸長為2C．橢圓C的離心率為 D．點P的坐標為【答案】BD【分析】根據(jù)圓的方程確定的值，再由的面積可得點P的坐標，從而可得的值，再逐項判斷即可得答案.【詳解】因為圓O：經(jīng)過橢圓C：（）的兩個焦點，，所以，又P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點，則，故，代入圓方程可得，所以，故點P的坐標為，故D正確；將點P的坐標代入橢圓方程可得，又，解得，故橢圓C的長軸長為，短軸長為，故A不正確，B正確；則橢圓C的離心率為，故C不正確.故選：BD.16．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個焦點 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性，求解頂點坐標，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點在該橢圓上，則其關(guān)于的對稱點代入橢圓方程有，即，則該對稱點位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對稱點代入橢圓方程有，即，則該對稱點位于橢圓方程上，則關(guān)于對稱，所以，故D正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點為，所以，故A正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點為，所以，則，則，故B錯誤；所以焦點坐標為或，所以C正確；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵通過證明該非標準橢圓的對稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計算即可，也可將該過程想象成坐標系的旋轉(zhuǎn).17．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，坐標原點為O．若橢圓C上存在一點P，使得，則下列說法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知求出P點坐標，根據(jù)兩點間距離公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量數(shù)量積公式可判定B，三角形面積公式可判定C，根據(jù)等面積法可判定D.【詳解】法1：由題意得，，則，．由對稱性可設(shè)（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由橢圓的定義得，在中，由余弦定理，得，即，解得，故A正確；，故B錯誤；的面積為，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．法2：設(shè)，，．易知，，由極化恒等式，得，故B錯誤；由中線長定理得，由橢圓定義得，所以，所以，所以，故A正確；由，得，所以，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．三、填空題18．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差中項的意義及橢圓的定義列式求出即可得解.【詳解】令橢圓長半軸長為，半焦距為，依題意，，即，解得，則橢圓短半軸長，所以橢圓C的標準方程為.故答案為：19．（2024·四川攀枝花·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】延長交于點,由題意可求出，因為點在上，代入橢圓的方程，化簡即可得出答案.【詳解】延長交于點，因為，所以，所以點在軸上，因為，所以為等腰直角三角形，所以，過點作交于點，所以，所以，因為點在上，所以，即，則，即，即，所以，因為，所以，所以.故答案為：.

20．（2024·山西·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，若C上存在一點P，使線段的中垂線過點，則C的離心率的最小值是．【答案】【分析】由題意可知：，可得，運算求解即可.【詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為，由題意可知：，根據(jù)存在性結(jié)合橢圓性質(zhì)可知：，解得，可得C的離心率，